点线面之间的位置关系

1、基础回顾】 一、三个公理和三条推论公理 1：一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。 这是 判断直线在平面内的常用方法 。经过不在同一直线上的三点有且只有一个平面。 经过直线和直线外一点有且只有一个平面。 经过两条相交直线有且只有一个平面。 经过两条平行直线有且只有一个平面。公理 2、如果两个平面有两个公共点，它们有无数个公共点，而且这无数个公共点都在 同一条直线上。这是 判断几点共线 （证这几点是两个平面的公共点）和 三条直线共点 （证其 中两条直线的交点在第三条直线上）的方法之一。公理 3推论 1推论 2推论 3二、平行和垂直位置关系的判断方法1、两直线平行的判

2、定 ：（1）公理 4：平行于同一直线的两直线互相平行；（2）线面平行的性质 ：如果一条直线和一个平面平行， 那么经过这条直线的平面和这个平面 相交的交线和这条直线平行；（3）面面平行的性质 ：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行；（4）线面垂直的性质 ：如果两条直线都垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。勾股定理 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说两条直线互相垂直； 如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面上所有的直线； 如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条 三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，

3、那么它2、两直线垂直的判定 ：（1）（2）（3）（4）（5） 也和这条斜线垂直。（6）三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么 它也和这条斜线在平面内的射影垂直。3、直线与平面平行的判定和性质 ：（ 1）判定定理 ：如果不在平面内的一条直线和平面内的一条直线平行， 那么这条直线和 这个平面平行；（ 2）面面平行的性质 ：若两个平面平行， 则其中一个平面内的任何直线与另一个平面平 行。4、直线和平面垂直的判定和性质 ：（ 1）判定：如果一条直线和一个平面内的 两条相交 直线都垂直，那么这条直线和这个平 面垂直。(2)性质：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直

4、于它们交线的直线垂直于另一个 平面。5、两个平面垂直的判定和性质：(1)判定：判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相 垂直。(2) 定义法：即证两个相交平面的二面角为直角；6两个平面平行的判定和性质：(1)判定：如果一个平面内有两条相交直线和另一个平面平行，则这两个平面平行。三、异面直线所成角(1) 范围：(0,；2(2) 求法：计算异面直线所成角的关键是平移(中点平移，顶点平移以及补形法：把空间图 形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，以便易于发现两条异面 直线间的关系)转化为相交两直线的夹角。四、直线和平面所成角定义：平面的一条斜线和它在平

5、面内的射影所成的锐角，叫这条直线和这个平面所成的 角。范围：0o,90o；求法：作出直线在平面上的射影，将直线与平面的夹角转化为平面角来求;(4)特征：斜线与平面中所有直线所成角中最小的角。六、二面角:(1) 平面角的三要素：顶点在棱上；角的两边分别在两个半平面内；角的两边与棱都垂直。(2)作平面角的主要方法：定义法：直接在二面角的棱上取一点(特殊点)，分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性；三垂线法：过 其中一个面内一点作另一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；垂面 法：过一点作棱的垂面，则垂面与两个半平面的交线所成的角即为平面角;(3)二

6、面角的范围：0,；(4)二面角的求法：转化为求平面角；面积射影法：利用面积射影公式5射=S原 cos ，其中 为平面角的大小。对于一类没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使之相交出 现棱，然后再选用上述方法(尤其可考虑面积射影法) 七、空间距离的求法 (立体几何中角和距离的计算，要遵循“一作，二证，三计算”的原则(1)异面直线的距离：直接找公垂线段而求之；转化为求直线到平面的距离，即过其中一条直线作平面和另一条直线平行。转化为求平面到平面的距离，即过两直线分别作 相互平行的两个平面。(2)点到直线的距离：一般用三垂线定理作出垂线再求解。(3) 点到平面的距离：垂面法：借助于面面垂直的性质来

7、作垂线，其中过已知点确定已知面的垂面是关键；体积法：转化为求三棱锥的高；等价转移法。(4) 直线与平面的距离：前提是直线与平面平行，利用直线上任意一点到平面的距离都相等，转化为求点到平面的距离。(5) 两平行平面之间的距离：转化为求点到平面的距离。(6) 球面距离(球面上经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度)：求球面上两点A B间的距离的步骤：计算线段 AB的长；计算球心角/ AOB勺弧度数；用弧长公式计算劣弧AB的长。【常见题型】 题型一：点共线和共面问题【例1】如图正方体ABCD ABQDi中，E、F分别为DC和BC的中点，P、Q分别为AC与BDAC与EF的交点.(1)求证：D B、F

8、、E四点共面;(2)若AiC与面DBFE交于点R,求证：P、Q R三点共线.证明：(1)v 正方体 ABCD A1B1C1D1 中，BB1 / DD1， BD / B1D1.又 BiDiCi中，E、F为中点,B F、E四点共面.1- EF / -B1D1. EF/BD , 即 D=2(2)v Q 平面 ACi，Q 平面 BE， P平面AG， P 平面BE， 平面AG I平面BE PQ.又 ACi I平面BE R，R平面ACi， R平面BE， R PQ.即P、Q R三点共线【例2】已知直线a证明：因为aa ,b 又因为直线d与a、b、c分别相交于A、B、C,由公理1, d假设c ，则clC,在平

9、面内过点C作c lib ,因为 bcllc cI cC故直线c综上述，a、b、c、d四线共面.点评：证明一个图形属于平面图形,需要紧扣公理2及其三条推论，寻找题中能确定平面的已知条件.此例拓展的证明先构建出一个平面，然后从假设出发，推出矛盾，矛盾的原 因是假设不成立，这就是证明问题的一种反证法的思路题型二：求异面直线所成角【例1】如图中，正方体ABCABiGD, E、F分别是AD AA的中点.(1)求直线AB和CC所成的角的大小;(2)求直线AB和EF所成的角的大小.解：(1)如图，连结 DC, tDC/ AB, DC和CC所成的锐角/ CCD就是AB和CC所成的角. / CCD=45

10、6;, AB 和 CC所成的角是 45° .(2)如图，连结DA、AQ, EF/ AD, AB/ DC,./ ADC是直线 AB和 EF所成的角. ADC是等边三角形， / ADC=60o，即直线AB和EF所成的角是60o.【例2】已知空间边边形ABCD各边长与对角线都相等，求异面直线AB和CD所成的角的大小.解：分别取AC AD BC的中点P、M N连接PM PN,由三角形的中位线性质知 PN/ AB,PM/ CD于是/ MPN就是异面直线AB和CD成的角(如图所示).连结 MN DN 设 AB=2, PMhPN=1.而 AN=DN=73，由 MNLAD AMh1,得 MW逅, M

11、N=MP+NP,./ MPN90° .异面直线AB CD成 90°角.题型三：直线与平面平行的位置关系【例4】已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E、F分别为AB PD的中点，求证：AF/平面PEC证明：设PC的中点为G,连接EG FGF为PD中点,GF/ CD且 GF=1 CD2AB/ CD AB=CD,E为AB中点,GF/ AE,GF=AE,四边形AEGF为平行四边形.EG/ AF,又 AF 平面PEC EG平面PECAF/ 平面 PEC【例5】在正方体ABCDABiCD中，E、F分别为棱BC CD的中点.求证：EF/平面BBDD.证明：连接AC交BD于O,连接O

12、E则OE/ DC 。匡丄DC 2f>DC/ DC, DC=DC ,F为DC的中点,0日/ DF, OE=DF,四边形DFEO为平行四边形.PlAlEF/ DO又 EF 平面 BBDD, DO平面BBDD,EF/平面 BBDD【例6】如图，已知E、F、G、M分别是四面体的棱AD、CD、BD、BC 的中点AM / 平面 EFG证明：如右图，连结DM，交GF于O点，连结OE ,D在 BCD中，G、F分别是BD、CD中点， GF/BC , G为BD中点, O为MD中点,在 AMD 中， E、O 为 AD、MD 中点， 二 EO/AM ,又 AM 平面EFG , EO 平面EFG , AM / 平

13、面 EFG .点评：要证明直线和平面平行，只须在平面内找到一条直线和已知直线平行就可以了注意适当添加辅助线，重视中位线在解题中的应用【例7】经过正方体ABCDABCD的棱BB作一平面交平面 AADD于EiE,求证：EiE/ BiB证明： AAJ/BBjAAt 平面 BEE1B1,BB1 平面 BEE.B, AA1/ 平面 BEE.B,.又 AA 平面 ADD, A，平面 ADD, A I 平面 BEE1B1 EE,AA1/EE1.则 aA/bb,AA / EE,BB,/ EE,.【例8】如图，AB/ , AC/BD , C,求证:ACBD .直线AC和BD可以确定一个平面，记为/ C,D ,

14、C,DI CD ,/ AB/ , ABI CD证明：连结CD ,/ AC/ BD , AB/CD ,又 AC/ BD ,四边形ACDB为平行四边形,二 ACBD .N、P分别是GC BC、CD的中点，求证：平面MN/平面ABD题型四：平面与平面的位置关系【例U如右图，在正方体ABC中，M证明：连结BD,； P、N分别是DC、BC的中点， PN/ BD.又 BD / BD, PN/ BD又PN不在平面 ABD上， PN/平面 ABD同理，MN/平面 ABD 又PNG Mf=N, 平面PM/平面 ABD【例2】已知四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形.点M N Q分别在PA BD PD上

15、,且PM MABN ND=PQ QD 求证：平面 MNQ平面PBC证明：Q PM MA=BN ND=PQ QD.MQ 又Q ABCD为平行四边形，BC 由MQ NQ=Q,根据平面与平面平行的判定定理,平面MNQ平面PBC点评：由比例线段得到线线平行，依据线面平行的判定定理得到线面平行，证得两条相 交直线平行于一个平面后，转化为面面平行.一般证“面面平面”问题最终转化为证线与线 的平行.【例4】直四棱柱ABCD AiBiCiDi中，底面ABCD为正方形，边长为2,侧棱AiA 3 , M N分别为AiBi、AD的中点，E、F分别是BiCi、CD的中点.（1）求证：平面 AMM平面EFDB （2）求

16、平面AMNf平面EFDB勺距离.证：（1）连接ACi,分别交MN EF于P、Q 连接AC交BD于0,连接AP、0Qfl由已知可得 MN/EF , MN II平面EFDB .由已知可得，PQIIA0且PQ A0.AP/0Q, API/平面 EFDB .二平面 AMM 平面 EFDB解：（2）过A作平面AMN平面EFDB勺垂线，垂足为H、H ,易得 AH AP 1 得 HH ' PQ 2由 AP JaA2AiP2根据 AMNVA A1MN ,则33，解得AH迈.所以，平面 AMN与平面EFDB的距离为19671919点评：第（1）问证面面平行，转化途径为“线线平行-线面平行-面面平行”.第

17、（2）问求面面距离，巧妙将中间两个平面的距离，转化为平面另一侧某点到平面距离的比例，然 后利用等体积法求距离.等价转化的思想在本题中十分突出，我们可以用同样的转化思维,将此例中的两个平面的距离，转化为求点 B到平面AB C的距离.【例5】已知正方形ABCD勺边长为1,分别取边BC CD的中点E、F,连结AE EF、AF,以AE EF、FA为折痕，折叠使点B、C、D重合于一点P.(1)求证：APIEF； (2)求证：平面APEI平面APF证明：（1）如右图，/ APE=/APF=90°, PEnPF=P, PA!平面 PEF V EF 平面 PEF, PA! EF.（2）v/ APE：

18、/EPF=90°, APn PF=P,. PE丄平面 APF又PE 平面PAE 平面 APE!平面APF【例6】如图,在空间四边形ABCD中, AB BC, CD DA, E,F,G分别是CD,DA,AC的中点,求证：平面BEF 平面BGD.证明：AB BC,G为AC中点，所以AC BG.同理可证AC DG, AC面BGD又易知EFEF又因为EF 面BEF,所以平面BEF 平面BGD.【例7】如图，在正方体ABCD AiBQDi中，E是CCi的中点，求证：平面ABD 平面BED .证明：连接 AC,交 BD于 F,连接 A1F , EF, A1E , AiCi.由正方体ABCD A1B1GD1 ,易得A1D AiB , ED EB , F是BD的中点,所以A1F BD, EF BD，得到 A1FE是二面角A1 BD E的平面角.设正方体ABCDA1B1GD1的棱长为2,则AF2 AA2 AF222（逅）26