函数的单调性与极值82325

1、函数的单调性与极值函数的单调性与极值一、函数的单调性一、函数的单调性二、函数的极值二、函数的极值三、函数的最值三、函数的最值一、函数的单调性一、函数的单调性从几何图形上来分析从几何图形上来分析abxyo)(xfy ),(ba都是锐角，即斜率都是锐角，即斜率 0)(tanxf是上升的是上升的 。),(ba如果曲线如果曲线 在在 内所有切线的倾斜角内所有切线的倾斜角 时，那么曲线在时，那么曲线在可见，函数的单调性可以用导数的符号来判定。可见，函数的单调性可以用导数的符号来判定。aboyx同样，当同样，当 时，曲线在时，曲线在 内是下降。内是下降。 ),(ba0 )(tanxf我们有如下定理：我们有

2、如下定理：定理定理1 设函数设函数 在在 上连续，在区间上连续，在区间),(ba)(xfy ba,内可导，内可导，（1）如果在）如果在 内内 ，则，则 在在),(ba0)( xf)(xfba,上单调增加；上单调增加；),(ba0)( xf)(xfba,上单调减少。上单调减少。（2）如果在）如果在 内内 ，则，则 在在注意：注意： （1）将定理中的闭区间）将定理中的闭区间 换成其他各种区换成其他各种区间定理的结论仍成立。间定理的结论仍成立。ba,单调增加的充分条件，而不是必要条件。单调增加的充分条件，而不是必要条件。（2）在）在 内，内， 只是只是 在在 上上),(ba0)( xf)(xfba,

3、考察函数考察函数 3)(xxf，但等号只在个别处成立，但等号只在个别处成立，（3）如果在区间）如果在区间 内内ba,0)( xf（或（或0)( xf）仍是单调增加（或单调减少）的。仍是单调增加（或单调减少）的。则函数则函数 在在 上上)(xfba,考察函数考察函数 3)(xxf例例1 判定函数判定函数 的单调性。的单调性。xxxf arctan)(解解 的定义域是的定义域是 。 )(xf),(01111)(222xxxxf在区间在区间 和和 都有都有 ，只有当，只有当)0 ,(), 0(0)( xf0 x时，时， ，所以，所以 在在 内单调减少。内单调减少。0)0( f)(xf),(例例2 求

4、函数求函数 的单调区间。的单调区间。xxxf3)(3解解 的定义域是的定义域是 )(xf),() 1)(1(333)(2xxxxf令令 ，得，得 ，0)( xf1, 1xx它们将定义域它们将定义域),(当当 时，时，)1 , 1(x0)( xf当当 时，时， 。) 1,(), 1 (x0)( xf所以所以 的单调增加区间是的单调增加区间是 和和 ；单；单调递减区间是调递减区间是)(xf) 1,(), 1 ( )1 ,1(例例3 确定函数确定函数 的单调区间。的单调区间。23352353)(xxxf解解 的定义域是的定义域是)(xf),()1,(),(11 ), 1 ( 分成三个区间分成三个区间

5、 令令 ，得，得 ，又，又 处导数不存在，处导数不存在，0)( xf1x0 x1x， 这两点将这两点将 分成三个区间，分成三个区间，0 x),(列表分析列表分析 在各个区间的符号：在各个区间的符号：)(xf x)0 ,()1 ,0(),( 1)(xf )(xf331321)(xxxxxf由表可知，由表可知， 的单调增加区间为的单调增加区间为 和和)(xf)0 ,(，单调减少区间为，单调减少区间为 。), 1 ( )1 ,0(二、函数的极值二、函数的极值设函数设函数 在点在点 的某邻域内有定义，的某邻域内有定义，)(xf0 x1 1 定义定义（1）如果对该领域内的任意点）如果对该领域内的任意点

6、，都有，都有)(xxx)()(0 xfxf，则称，则称 是是 的的极大值极大值，称，称 是是)(0 xf)(xf0 x的的极大值点极大值点。)(xf （2）如果对该领域内的任意点如果对该领域内的任意点 ，都有，都有)(xxx)()(0 xfxf，则称，则称 是是 的的极小值极小值，称，称)(0 xf)(xf0 x是是 的的极小值点极小值点。)(xf函数的极大值和极小值统称为函数的极大值和极小值统称为极值极值，极大值点和，极大值点和极小致点统称为极小致点统称为极值点极值点。注意：注意：极值是局部性的。因而，函数可以有许多个极值是局部性的。因而，函数可以有许多个极大值和极小值，并且极大值不一定大于

7、极小值。极大值和极小值，并且极大值不一定大于极小值。oxyab2 2 极值存在的必要条件和充分条件极值存在的必要条件和充分条件定理定理2（极值的必要条件极值的必要条件） 如果函数如果函数 在点在点)(xf 处可导，且在点处可导，且在点 取得极值，则取得极值，则 。0 x0 x0)(0 xf定理定理2指出：指出：可导函数的极值点必定是驻点可导函数的极值点必定是驻点。0)(0 xf0 x)(xf使使 的点的点 称为函数称为函数 得得驻点驻点。反过来，反过来，驻点不一定是极值点驻点不一定是极值点。3)(xxf考察函数考察函数另一方面，另一方面，函数不可导的点也可能是极值点函数不可导的点也可能是极值点

8、。0 xxxf,)(考察函数考察函数定理定理3（极值的第一充分条件极值的第一充分条件） 设函数设函数)(xf在点在点 连续，且在点连续，且在点 的某一空心邻域的某一空心邻域0 x0 x)0)(,(),(0000 xxxx内可导。内可导。 （1）如果在）如果在 内内 ，在，在),(00 xx0)( xf),(00 xx内内 ，则函数，则函数 在点在点 处取极大值处取极大值 ；0)( xf)(xf0 x)(0 xf（2）如果在如果在 内内 ，在，在),(00 xx0)( xf),(00 xx内内 ，则函数，则函数 在点在点 处取极小值处取极小值 ；0)( xf)(xf0 x)(0 xf（3）如果）

9、如果 在在 和和 内不变内不变 )(xf ),(00 xx),(00 xx号，则号，则 在在 处无极值。处无极值。 )(xf0 x定理定理3即：设即：设 在点在点 的某一空心邻域内可导，的某一空心邻域内可导，)(xf0 x当当 有小增大经过有小增大经过 时，如果时，如果 由正变负，由正变负，x0 x)(xf 则则 是极大值点；如果是极大值点；如果 由负变正，由负变正，0 x)(xf 极小值点；如果极小值点；如果则则 是是0 x)(xf 不变号，则不变号，则 不是极值点。不是极值点。0 x例例4 求函数求函数 的极值。的极值。1093)(23xxxxf 解解 的定义域是的定义域是)(xf),()

10、3)(1(3963)(2xxxxxf令令 ，得驻点，得驻点 。0)( xf3, 121xx当当 时，时，11x0)( xf当当 时，时，31x0)( xf当当 时，时， 。3x0)( xf)(xf3x在在 处取得极小值处取得极小值17)3(f例例5 求函数求函数 的极值。的极值。123)(32xxxf 解解 的定义域是的定义域是)(xf),(333111)(xxxxf令令 ，得驻点，得驻点 ，而，而 时时 不存在。不存在。0)( xf1x0 x)(xf 由定理由定理3知，知， 在在 处取得极大值处取得极大值 。 )(xf11x15) 1(f因此函数只可能在这两点取得极值，列表讨论如下：因此函数

11、只可能在这两点取得极值，列表讨论如下：x)(xf )(xf)0 ,()1 ,0(01), 1 ( 不存在不存在021由表可知，由表可知， 在在 处取得极大值处取得极大值 ， )(xf0 x1)0(f)(xf在在 处取得极小值处取得极小值 。1x21)(xf函数函数 的图形如图的图形如图123)(32xxxf 函数在驻点处二阶导数存在时，还可以用函数的函数在驻点处二阶导数存在时，还可以用函数的二阶导数判定函数是否有极值。二阶导数判定函数是否有极值。01x121y 定理定理4（极值的第二充分条件极值的第二充分条件） 设函数设函数 在点在点)(xf0 x处有二阶导数，且处有二阶导数，且 ， ，则，则

12、0)(0 xf0)(0 xf（1）如果）如果 ，则，则 在在 取得极大值；取得极大值；0)(0 xf)(xf0 x（2）如果）如果 ，则，则 在在 取得极小值。取得极小值。0)(0 xf)(xf0 x例例6 求函数求函数 的极值。的极值。22ln)(xxxf解解 的定义域是的定义域是)(xf),(),( 00 令令 ，得到两个驻点，得到两个驻点 。0)( xf1, 121xx222)(xxf 04) 1 (; 04) 1( ff由定理由定理4 可知，可知， 都是都是 的极小值点，的极小值点，1, 121xx)(xf1) 1 () 1(ff为函数为函数 的极小值。的极小值。)(xfxxxf22

13、)(又又 函数的极值是局部性概念，而最值是一个全局性函数的极值是局部性概念，而最值是一个全局性概念。概念。 可以由驻点及导数不存在的点与区间端点的函可以由驻点及导数不存在的点与区间端点的函数值相比较，其中最大的就是函数数值相比较，其中最大的就是函数 在在 上的上的最大值，最大值，)(xfba,)(xfba,最小的就是函数最小的就是函数 在在 上的最小值。上的最小值。注意注意下述三种情况：下述三种情况：（1）如果）如果 在在 上是单调函数；上是单调函数；)(xfba,三、函数的最值三、函数的最值1 1 闭区间闭区间 a，b 上的连续函数上的连续函数)(xf（2）如果连续函数）如果连续函数 在某区

14、间内只有一个极大在某区间内只有一个极大)(xf（小）值，而无极小（大）值；（小）值，而无极小（大）值；（3）在实际问题中，由问题的实际意义可知，确）在实际问题中，由问题的实际意义可知，确实存在最大值或最小值，又若函数在所讨论的区间内实存在最大值或最小值，又若函数在所讨论的区间内只有一个可能的极值点，则该点处的函数值一定是最只有一个可能的极值点，则该点处的函数值一定是最大值或最小值。大值或最小值。例例7 求函数求函数 在区间在区间41232)(23xxxxf4 , 3 上的最大值与最小值。上的最大值与最小值。解解) 1)(2(61266)(2xxxxxf132413331242 )(,)(,)(

15、,)(ffff比较可知，比较可知， 在在 上最大值为上最大值为 ，最小值，最小值)(xf4 , 3132)4(f为为3) 1 (f例例9 将边长为将边长为a的一块正方形铁皮，四角各截去一的一块正方形铁皮，四角各截去一各大小相同的小正方形，然后将四边折起做成一个无盖各大小相同的小正方形，然后将四边折起做成一个无盖的方盒。问截去的小正方形边长为多大时，所得方盒的的方盒。问截去的小正方形边长为多大时，所得方盒的容积最大？容积最大？解解 如图设小正方形的边长为如图设小正方形的边长为x，则盒底的边长为，则盒底的边长为)2(xa 0)( xf得驻点得驻点 : 令令 ，.,1221 xx),(,)(2022

16、axxaxv 令令 ，得，得 （舍去）。又（舍去）。又0 v2,621axax046 aav)(所以函数所以函数 在在 处取得唯一极大值，此极大值就是处取得唯一极大值，此极大值就是最大值。因此，当截去的正方形的边长等于所给正方最大值。因此，当截去的正方形的边长等于所给正方形铁皮边长的形铁皮边长的 时，所做的方盒容积最大。时，所做的方盒容积最大。v6ax 61ax方盒的容积为：方盒的容积为：),)(xaxav62 例例10 制作一个容积为制作一个容积为 的圆柱形密闭容器，的圆柱形密闭容器，v怎样设计才能使所用材料最省？怎样设计才能使所用材料最省？ 解解 如图，设容器的底面半径为如图，设容器的底面

17、半径为 ，高为，高为 ，rh则表面积为则表面积为rhrs222), 0(,222rrvrs232)2(224rvrrvrs2rvh所以所以令令0s ， 得驻点得驻点 32vr hrhrv2由已知由已知得得故故rrvh22所以，所做容器的高和底直径相等时，所用材料最省。所以，所做容器的高和底直径相等时，所用材料最省。 例例11 一工厂一工厂a与铁路的垂直距离为与铁路的垂直距离为 ，垂足，垂足 akm b到火车站到火车站c的铁路长为的铁路长为 ，要在，要在bc段上选段上选)(abbkm一点一点m向工厂修一条公路，已知铁路与公路每公里运向工厂修一条公路，已知铁路与公路每公里运费之比为费之比为3：5，

18、问，问m 选在离选在离c多少公里处，才能使从多少公里处，才能使从a到到c的运费最少？的运费最少？s有有唯一驻点，而实际容器存在最小表面积，因唯一驻点，而实际容器存在最小表面积，因此求得的驻点为最小值点，此时此求得的驻点为最小值点，此时解解 设设 , 则则xmc 22)(,xbaamxbbm设铁路、公路上每公里运费分别为设铁路、公路上每公里运费分别为 从从a到到,5 ,3kkc需要的总运费为需要的总运费为 ，则，则y)0(3)(522bxkxxbakykxbaxbky3)()(522令令 ，0 y得得 （舍去）。因为（舍去）。因为abxabx43,43211x是在区间是在区间0, b上的唯一驻点，而实际问题中存在上的唯一驻点，而实际问题中存在最小值，因而最小值，因而 是最小值点，因此，是最小值点，因此，m选在选在abx431离离c点距离为点距离为 处时总运费最省。处时总运费最省。)(43kmab 例例12工厂生产某产品，当年产量为工厂生产某产品，当年产量为x（单位：百（单位：百台）时，总成本