天津市部分区2019-2020学年度第一学期期末考试高三数学

1、天津市部分区20192020学年度高三年级上学期期末考试数学试卷一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分.1 .设全集 U =1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,集合 A = 2, 3, 4, 6 , B =1, 4, 7, 8,则 A" (ejB)= ( )A. 4B. 2, 3,6C.2,3,7D. 2, 3,4,72 . 抛物线y2 =4x的准线方程是()A. X =1B. y =1C. x -1D. y =-1、一 _2_，一3 .设 XW R ,则 “ X -2x <0” 是“ x 1 <2” 的()A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分

2、条件D.既不充分又不必要条件224.直线x y +1 = 0与圆x + ( y +1) =4相交于A、B ,则弦AB的长度为()A. .2B.2%2C.2D.4*、5.已知数列an中，a =1 , 2an4 =an(nu N ),记an的前n项和为& ,则()A. Sn=2an_1b.Sn=1-2anC. & =a°-2D.Sn=2-an116.已知偶函数f (x)在区间(-i, 一1)上单倜递增，右a = ln3 , b = log2 , c = 10gl -，则f (a), 3/5f(b), f(c)的大小关系为()A. f (a) . f (b) . f (c)

3、B. f (b) . f(c) . f(a)C. f (c) . f (b) . f(a)D. f (a) . f(c) . f(b)7.将函数f (x) =sin 2x的图象向右平移三个单位长度后得到函数 g(x)的图象，则下列说法正确的是 68.( )二 1A. g(-)二22B. g(x)的最/、正周期是 4nC. g(x)在区间0 ,工上单调递增D. g(x)在区间三，变上单调递减33622已知双曲线C：与4=1(a>0, b>0)的右焦点为F(J6, 0),点P在C的一条渐近线上,a b若PO =|PF (O是原点)，且APOF的面积为2222“ x y ,x y ,A.

4、 -=1B. 5"亚,则C的方程是(422xy/C. - - = 1332x 2/D. - - y = 159.ln(x -2)2 *3已知函数f (x);-x2 15x -36 x 3,若关于x的方程f (x) = kx恰有三个互不相同的实数解，则实数k的取值范围是()A. 3 , 12B. (3 , 12)C. (0 。 12)D.(0 , 3)二、填空题：本大题共 6小题，每小题5分，共30分.其中第14题答对1空得3分，全对得5分.10 . i是虚数单位，若复数 z满足(1+3i)z=4i ,则z=.111 . (2x-二)6的展开式中含x3项的系数是 (用数字作答). x一

5、，一一 4 312 .已知a>0, b>0,且a+3b = 1 ,则一+一的最小值是.a b13 .已知半径为2的球的球面上有 A、B、C、D不同的四点，MBC是边长为3的等边三角形，且DO_L高三数学试卷 第1页(共3页)平面ABC(。为球心，D与O在平面ABC的同一侧)，则三棱锥 DABC的体积为.2*14 .设an是等差数列，右 a5 =9 , a2 +a7 =16 ,则 an =;右 bn =+ 1(nw N ),则数anan 1歹Ubn的前n项和Sn =.15 .设点M、N、P、Q为圆x2 + y2 =r2(r w R)上四个互不相同的点，若 MP，PN = 0 ,且(P

6、M + -I T PN) PQ = 2 ,则 PQ =.三、解答题：本大题共 5个小题，共14X2+15+16X 2=75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或 演算步骤.16 .在 AABC 中，内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c.已知 2(sin AcosC + cosAsinC )= sin A sin C.求证：a、b、c成等差数列；2 二一右c = 7, C =，求b和sin2 B的值. 317 .每年的12月4日为我国“法制宣传日”.天津市某高中团委在 2019年12月4日开展了以“学法、遵 法、守法”为主题的学习活动 .已知该学校高一、高二、高三的学生人数分别是480

7、人、360人、360人.为检查该学校组织学生学习的效果，现采用分层抽样的方法从该校全体学生中选取10名学生进行问卷测试.具体要求：每位被选中的学生要从 10个有关法律、法规的问题中随机抽出 4个问题进行作 答，所抽取的4个问题全部答对的学生将在全校给予表彰.求各个年级应选取的学生人数；若从被选取的10名学生中任选3人，求这3名学生分别来自三个年级的概率；若被选取的10人中的某学生能答对 10道题中的7道题，另外3道题回答不对，记 X表示该名学 生答对问题的个数，求随机变量X的分布列及数学期望.18 .如图，在三柱 ABC AB1C1 中，P、O分别为 AC、A1C1 的中点，PA = PC1

8、= 2&，AB1 = B1C1= PBi =2收 AiCi =4.求证：PO，平面AB1c1 ;求二面角B1 - PA1 -C1的正弦值；1,，、已知H为棱BiCi上的点，若 BH =-BiCi ,求线段PH的长度.3x y19.设椭圆 _+Z2=i(a >b >0)的左、右焦点分别为 F1(_c, 0)、f2( 0),点p在椭圆上，。为 a b原点.若PO =c, NF20P =二，求椭圆的离心率；311 e若椭圆的右顶点为 A,短轴长为 2,且满足 + =(e为椭圆的离心率).|of2| |oa|3|f2a|求椭圆的方程；设直线l ： y=kx-2与椭圆相交于P、Q两点

9、，若APOQ的面积为1,求实数k的值.1220.已知函数f (x) =ln(ex)十一ax +(a+1)x(e为自然对数的底数) 2当a =1时，求曲线y=f(x)在点(1, f(1)处的切线方程；讨论f(x)的单调性； 一，一3当a <0时，证明f(x) <-1.2a高三数学试卷 第4页(共3页)天津市部分区20192020学年度第一学期期末考试高三数学参考答案与评分标准10.6 2i5 511. -19212. 2513.14. 2n -12n2 3n '2n 115. 2解答题:（本大题共5个小题，共75分）16.解：（1）因为 2(sin AcosC 十cosAsi

10、nC )= sin A +sin C ,所以 2 si nA C = siA sCn由于在 MBC 中，A+C = n -B ,所以 si Q A+ C)= si B所以 2sin B =sin A sin C .由正弦定理 a = =，得2b = a+ cs i nA sin sCn所以a,b,c成等差数列.在 MBC 中，c = 7,C =由余弦定理，得 72 =a2 , b2 -2abcos2, 3即 a2 b2+ab = 49.2 o由(1)知 a=2b7,所以(2b7) +b2 +(2b 7 )b = 49 ,解得b = 5.2 二 bsin 由正弦定理，得sin B =3c5_J1

11、4在MBC中，因为于C= 3 , J兀,所以 B= 10,- I, ,2所以 cosB = 1 - sin2 B = 1。卜向j二u141412题号123456789答案BCABDACAD每小题5分,填空题:（本大题共6个小题,共30分）选择题：（本大题共9个小题，每小题 5分，共45分）55、3所以sin 2B =2sin B cosB =9817.解：(1)由题意，知高一、高二、高三年级的人数之比为 4:3:3 ,由于采用分层抽样方法从中选取10人，因此，高一年级应选取4人，高二年级应选取3人，高三年级应选取3人.3 分10名学生高一、高二、高三年级分别有4人、3人、3人，所以，从这10名

12、名，且3名学生分别来自三个年级的概率为7分(2)由(1)知，被选取的学生任选3c4 c3 C1 _ 3c3o-10.(3)由题意知，随机变量且X服从超几何分布,P X =k =C；C：出C140(k=1,2,3,4).X的所有可能取值为1,2,3,4, 8分所以，随机变量X的分布列为X12341311P301026 位所以，随机变量X的数学期望为1311 14E(X =1乂一+2父一+3M十4父一=一. 1纷301026 518. (1)证明：在三角形 PAG中，PAi = PCi且O为AG的中点，所以PO_LACi.1分在 RtAPAO 中，AO =1AC1 =2, PA =2乏,PO 7P

13、A2 - A1O2 =2.连接 OBi,在 AABQi 中，AB产BC1=2百，OBi .L ACi所以 OB1 = . AB： - AO2 =2、2 .又 PB1 =273,所以 PB； =PO2 +OB；,所以 PO IOB1.2分又因为AC1OB1 =O ,由，得PO _L平面A B1C1.4分A要步骤合理、推理严禁完整，酌情赋分【说明】若考生运用该小题运用线面垂直、面面垂直关系证明，只(2)【方法一】解：以点 O为坐标原点，分别以 OAi,OBi,OP的方向为x, y,z轴的正方向，建立如右图所示的空间直角坐标系O-xyz,则 O(0,0,0 ), A (2,0,0 ), B(0,2&

14、amp;,0 ), P(0,0,2), 所以 ABi=(-2,2板,0 ),AP=(-2,0,2 卜 5分设n = (x, y, z )为平面PA B的法向量，A -I ,_n|_A1 B1 =0,-2x 2 9=0则有g11,即少0,n|_A1P =0.-2x 2z = 0.人/小y=电4 (我八令 x=1,得丫 2 , 所以 n= 1,1 .t 2 ,i_ L 一易得，OB1 = (0,2J2,0 )且为平面PAG的法向量,故所求二面角B PA1 C1的正弦值为10>、z = 1.、(3)【方法一】解：由(2)知C1 (-2,0,0 ).设点 H =(x1，,乙)，则 BH =(x，

15、y1 -272, z ).高三数学参考答案 第7页(共10页)ITT一 F 177T又 B1C1 =(-2,-20 ), B1H=-B£, 3所以（xi» -2夜,乙）= 3（-2,-2四,0 ）,从而2xi = ,3“2/=一述3Zi = 0.即点 H 1 -2 ,42,0 .I 3 3 J所以pH=I_2,41,_2 舱i33；所以司=-|+432卜-2)2=2应.(2)【方法二】解：以点 O为坐标原点，分别以 OBi, OCi, OP的方向为x, y,z轴的正方向，建立如右图所示的空间直角坐标系O -xyz.则 O (0,0,0 ), A(0, -2,0 ),Bi (

16、2s/2,0,0 1P(0,0, 2),T . L . -I ,所以 AB=(2j2, 2,0 ), AP=(0,2,2 ). 5分设n = (x, y, z )为平面PA Bi的法向量，则有恒=0,即b-"。,nA1P =0.2y 2z - 0.1盼人，口1 =及(&)令 z=1,得广 2 , 所以 n = |", 1,1.易得，OBi = 2 .'2,0,0）且为平面PAG的法向量,=2, n OB； =2而.所以 cos(n,OBi) = T=OBin OB1J = T.'2'故所求二面角Bi PA1Ci的正弦值为j 1 I -=- 5

17、 I5；5(3)【方法二】解：由(2)知C1 0,2,0 .设点 H =(xi, yi,Zi ),则 BiH =32。2, %,乙). i-又 BiCi =(272,2,0 ), BiH =-BG, 32272Xi -2V2 =,3所以(X -2/2, yi, zi )= (一2>/2,2,0 ),从而 « yi =, 33zi = 0.(4 右 2)即点 H *,i e ii c-十一二.得一十一二OF2QA3F2A' ca3a(a-c)整理，得c2 =3b2.4 分又因为 2b =2 ,所以 b =i, c2 =3,a2 =b2+c2 =4. 6 分 ,0 .I 故

18、所求椭圆的方程为 工+y2=i.7 分3 J所以 PH = j2,2, -2 相I 33 J所以肃| = Jf42 2-) +(-2) = 2衣. 1吩ji=一，3八3 J .，19 .解：(1)连接 PFi.因为 OP = OF2|=c,2F20P71所以APOB是等边三角形，所以 PF2 =c/PF2O=.3又 OP = OF =。同，所以 PFi .L PF2，所以 PFi|=J3c.所以e =- a于是, 有 2a= PR|+|PF2 =(73+i 匕,=V3-i,即所求椭圆的离心率为R-i.（2）由,3 i高三数学参考答案第8页（共i0页）依题意，设点P xYi ,Q x2, y2

19、.y = kx -2, y联立方程组x22T y消去y ,并整理得(4k2 +1 )x2 16kX+12 = 0.则 = 256k2 -48(4k2+1 )=16(4k2 -3)>0,(*)且 X1X2 =16k122, X1 x2 = 2,4k 1 4k 110所以 PQ 二；1 k2X1*1k22x1 x2 -4x1x2 n41 k2 4k2 -324k2 1高三数学参考答案 第11页(共10页)12所以SpoQ1 八 1= -PQ d=_4 1 k2、4k2 -34 4k2 -34.4k2 -324k2 124k2 124k2 1=1,解得 k=±2又点O到直线l的距离为

20、d经验证k=±，满足(*)式,夕16故所求实数k = -721 2 -20 .解：(1)当 a=1 时，f (x )=ln(ex)+-x +2x.一一. 1所以 f (x) = +x+2, x一一 一 .1一 7所以 k = f 1 =-+1 +2 = 4,又 f (112所以曲线在点(1,f (1)处的切线方程为y-7=4(x-1),即 8x -2y -1 =0.1ax2a 1 x 1(2)易得 f x =- ax a 1 =(aX+Ux+1)(x>0).当a20时，f'(x)>0,此时f(x )在(0,f比单调递增;1当 a <0 时，令 f'(x)=0,得 x=_1. a则当0 <x < -1时，f '(x )>0,此时f (x近1