中考必会几何模型：三垂直全等模型

1、WANG7三垂直全等模型模型三垂直全等模型如图：/ D=Z BCA=Z E=90° , BC= AC.结论：Rt BCD且 Rt CAE.模型分析说到三垂直模型，不得不说一下弦图，弦图的运用在初中直角三角形中占有举足轻重的地位, 很多利用垂直求角，勾股定理求边长，相似求边长都会用到从弦图支离出来的一部分几何图 形去求解.图和图就是我们经常会见到的两种弦图 .三垂直图形变形如下图、图，这也是由弦图演变而来的BABXBC,DXBCD C图例1如图,AEXDEAE= DE求证：AB+CD = BC.ABC图证明：. AEXDE, ABXBC, DCXBC, ./AED=/ B = Z C=

2、90° . A+/AEB = / AEB+Z CED =9 ./ BAE = Z CED.在 ABE和 ECD中,B CA CEDAE EDABEA ECD.AB = EC, BE = CD. .AB+CD= EC+ BE= BC.例 2 如图，/ ACB = 90° , AC=BC, BEXCE, AD，CE于D, AD = 2.5cm, BE = 0.8cm, 则DE的长为多少？解答： BEXCE, AD ±CE, ./ E=Z ADC =90° . ./ EBC+Z BCE = 90 ° . . / BCE+Z ACD= 90°

3、 , ./ EBC=Z DCA.在 CEB和 ADC中，E ADCEBC DCABC AC . CEBA ADC.BE= DC = 0.8cm, CE = AD = 2.5cm.DE=CE CD= 2.50.8= 1.7cm.例3如图，在平面直角坐标系中，等腰RtAABC有两个顶点在坐标轴上，求第三个顶点的坐标.解答：（1）如图，过点 B作BDx轴于点D. ./ BCD + Z DBC = 90° .由等腰 RtABC 可知，BC = AC, /ACB=90° ,BCD + Z ACO = 90 ° DBC = Z ACO.在 BCD和 CAO中，BDC AOCD

4、BC ACOBC AC . BCD，CAO.CD = OA, BD= OC. OA=3, OC = 2.CD = 3, BD = 2.OD = 5.B ( 5, 2).(2)如图，过点 A作ADy轴于点D.在 ACD和 CBO中，ADC COB DAC OCBAC CBACDA CBO.CD = OB, AD= CO.B ( 1, 0), C (0, 3)OB= 1, OC=3.AD=3, OD = 2. OD = 5.A (3, 2).AyB(-1,0) O图跟踪练习1 .如图，正方形 ABCD, BE=CF.求证：(1) AE=BF; (2) AEXBF.证明：(1)二.四边形 ABCD是

5、正方形，AB=BD, Z ABC=Z BCD = 90° 在人8£和4 BCF中，AB BCABE BCFBE CFABEA BCF.AE= BF.(2) /A ABEA BCF. ./ BAE=Z CBF. . / ABE=90° , ./ BAE+Z AEB=90° . ./ CBF+Z AEB=90° . ./ BGE=90° , AEXBF.2.直线l上有三个正方形 a、b、c,若a、c的面积分别是5和11,则b的面积是解答：: a、b、c都是正方形， AC=CD, /ACD = 90° . / ACB+Z DCE

6、= Z ACB + Z BAC= 90 ./ BAC=Z DCE.在 ABC和 CBE中，ABC CEDBAC DCEAC CDACBA CDE.AB=CE, BC=DE.在 RtAABC 中，AC2 = AB2 + BC2= AB2 + DE2即 Sb = Sa + Sc = 5+ 11 = 16.3.已知， ABC 中，/ BAC = 90° , AB=AC,点 P 为 BC 上一动点(BP<CP),分别过 B、 C 作 BEAP 于 E、CF，AP于F.(1)求证：EF = CFBE;(2)若P为BC延长线上一点，其它条件不变，则线段 BE、CF、EF是否存在某种确定的

7、数量关系？画图并直接写出你的结论.解答： BEXAP, CF± AP, ./ AEB = / AFC =90 ° . ./ FAC+Z ACF = 90° , . / BAC = 90° , ./ BAE + Z FAC=90° , ./ BAE = Z ACF.在 ABE和 CAF中，AEB AFCBAE ACFAB ACABEA CAF.AE = CF, BE = AF. .EF=AE-AF, .EF=CF BE.(2)如图，EF = BE + CF.理由：同(1)易证 ABEA CAF. AE=CF, BE= AF. EF = AE+AF

8、, EF= BE + CF.4.如图，在直角梯形 ABCD 中，AD / BC, ABXBC, AD=2, BC = 3,设/ BCD = % 以 D 为旋转中心，将 腰DC绕点D逆时针旋转90°至DE.(1)当 后45°时，求 EAD的面积；(2)当a= 45°时，求 EAD的面积；EAD的面积(3)当0° < “<90° ,猜想 EAD的面积与a大小有无关系？若有关，写出S与a的关系式；若无关，请证明结论.解答：(1) 1； 1；(3)过点D作DG，BC于点G ,过点E作EF XAD交AD延长线于点 F. AD / BC, DG

9、± BC, ./ GDF = 90° .又. / EDC = 90° , ，1 = / 2.在 CGD和 EFD中，DGE DFE1 2CD DE . DCGA DEF EF=CG,. AD/BC, AB ± BC, AD=2, BC=3, BG= AD = 2, CG=1.Svead= - AD EF = 1.2 . EAD的面积与a大小无关.AH的反向延5.向 ABC的外侧作正方形 ABDE、正方形 ACFG，过A作AHXBC于H, 长线与EG交于点P. 求证：BC = 2AP.解答：过点 G作GM ±AP于点M ,过点E作EN，AP交AP延长线于点 N.四边形ACFG是正方形，AC=AG, /CAG = 90° .CAH + Z GAM =90° .又 ; AH ± BC, ./ CAH + Z ACH = 90° . ./ ACH = Z GAM.在 ACH和 GAM中，AHC GMAACH GAMAC GAA