初中数学奥林匹克模拟试卷1_10套

1、数学奥林匹克模拟试卷(一)一、选择题：11a b ,一1、已知 a b 3,且 a b 3,则一3 3 的值 ()。a bb a(A) 21/5 (B) 21 优3(C)3375 (D) 33132、如果二次函数 y x2 k 2x k 5的图象与x轴的两个不同交点的横坐标是正的，那么k值应为()(A) k 4 或.k 5 (B)5 k 4 (C) .k 4 或 k 5 (D)5 k 43、如图，？ABC为锐角三角形，BEX AC于F,则S aef :S abc的值为()(A) sin A (B) cos A (C) sin2 A (D) cos2 A1 114、方程 的正整数解的组数为()x

2、 y 1997(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D)大于等于 45、P为？ABC 一点，PA、PB、PC把？ABC的面积分成三等分，贝U P点是？ABC的( ) (A)心(B)外心(C)垂心(D)重心6、抛物线y x2 2bx 1与直线y 2ax 2ab的图象至多有一个交点，则的最大值是()(A) 1 (B) (C) (D) 022二、填空题：1、已知四个实数的乘积为 1,其中任意一个数与其余三个数的积的和都等于1000,则此四数的和是。2222、如果xy a, xz b, yz c,而且匕们都不等于 0,则x y z =。3、若抛物线y ax2 4x a 2全在x轴的上方，a的围是。4、

3、如图，在图形 ABCD 中，AB/CD, /A=90, E 为 BC 重点，GELBC 于，交 DA 延长线于 G, DC=17cm , AB=25cm , BC=10cm ,贝U CE=。三、解答题：1、已知/ ACE=/CDE=90,点 B 在 CE 上，CA=CB=CD ,过点 A、C、D 三点的圆 交AB于F,求证：F是？ CDE的心。2、在坐标平面上，纵坐标与横坐标都是整数的点称为整点，试在二次函数x2x9, 一、,y 9的图象上找出满足 y |x|的所有整点（x, y）,并说明理由。1010 53、试证明：每个大于 6的自然数n都可以表示为两个大于 1且互质的自然数之和。戮考方案模

4、拟试卷1CQQn-1 = 0.且a S % 0 J4- b.于是c.-b J-3工-1=。的两极.可/q-6* ,勺 N Ll二EL，口=3乂 /诒 x 11 33y T3.2.CB),:“： -一(A +2、01.5。(42产-71145) ,。E，-5vAv =4 MicA = /ICMn.t1997. t 19B7.19S7* a. j = 1劭 bH 为。愁敷，期的1r7 *W7Tft =fb化尚伸.90/=1，产1即*9,从对可信 2 布3组正整败事,敢壕方爬我3里正裳敷151工恒图长*交班F。喷北器法, 63 明匚 g Sduw = 2 53M 故 W, 0 X。阳尸为乙 AW P

5、j .AD.肥Q = A4. itlUtbA.山U知.， 2a 12a 2M .即 20一 a).t 1 -2&,。向施伯然打F1绕至 名我 个交点,刻 =46。尸-4.。修理叫HI;*小W1二、41交1.2000tit这四个实效为。由巳知府：n&H 1. “ . 2 1000.6 ndo = 1000. r Wj = 1000. d + ofic ，QOO.由前网式“J 稔 a,1.即左-1000。 1 - 0,M o 是-1000- + ( 的一个文根同理 .工 也县/- 1000父*1=0峋一个寒做 这四个案数不充全相等网由它们非决时静住河刚6、 d中有两个尊子.%两个等于R旧卬 ”10

6、00 .所以。 6 . d2(JH n) *20002。3 r江上112.4由已知三式两边情乖.得 W、工用它分别除以匕如三式舞 。a，T A*, Y3*5 - 1. .二金使把物蚣全在勉上方.其开口由I上.口也点在 ，的匕方.BPB点*整标为正 数.fclffl.il DF/RC 文姐 T 尸连 OC6.”求得 - 10. 3-6.a=G0没W .则8产+1万一潮MJxn25,Tft G = 25.故值=/（25、生产035.三JN答他1 .证明：；AC=*O为宜他又4.C,K0四点共BL.,./ CDF-ZC4f4y.Z 6E = 9CF,冈面/咖= /CE - 23Fae ZCDF.tt

7、 DF平分NCDE.又已知 出-Q）.故 /谢 NOW.又/广的三/CfiD _ 45泗.45E 一份, 红沏 N制.内向阳之也于是况小比F（加）由此榔ZSCA =ZDC7 .tt “平分/DCT因此F是函的内心2-Mlxl,即盘胪3*1 于是7 78刈/当工X。时为十 x+18w1Qx.即8-11 Jr * 180.故2、9.此时,擀是条件的点仅2；2）.（4.3），7. 助人9）.当x vO时式印为-工1Bw-10x,即/+91 +18w0,故6毛.通-3.此 时,濡足条件的点有（-&6）,（-3.35.故铜足条件的点，共有上述六点，3.旺明3分情Sli寸怆.，d）若/为布敬,町城e=Zt

8、.1，&为大于2的卷鼓,帆写八上.5.1）由于（上上. 1）1,故此表示合乎要求.门金q为儡敢，财可设勿=必或4k+2/力大于1的自然数.当n =44时，叫“ n 伴-2A7）滑且岫21互厦因为若它力有公用.d2,划rf!2.但2-10 - 1均为奇数比不可循.当=4上.2时国可写6-1）.2门3）/1 IB知2bl与2A+3互展,闲力M它仰官公W于d,2,馒2k-1 = M23kH.席.同 均为白然数，则用（m-n）du4Jl犯川4.于疆.由于（1）2）以柄了所衣情形,结论得后模拟试卷2.0Htk空册d加曲*曲鼬*岛，融.安 一.选抑l.0时,式即为一_* *伯&10,即/-11再+180.

9、故2*、180,tt 时,满足条件的点有(-6,6),(-3.3),故满足条件的点，共有上述六点3,证明；分情况讨沱,、 f”若n为奇数，可没c=2A + 1,k为大于2的整数,则写。=A + + 1),由于(* 1) = 1 .故此表示合乎要求.(2)若Ji为偈数，则可设n=4*或4A+2/为大于1的自然败，当=44时，可 (2%-1) + (2*+ 1),并且筋如2k-1与2k 1互板,因为若它们有公因子d2.则d 但2k-1.2% + 1均为奇数,此不可能,当n=4M2时.则可写(2上1)*(2k*3).且 易知24-1与2* + 3互质.因为，若它们有公因干49=49乂1=7又7=（-

10、1）乂（-4d）匚（-49） 65 X ( - 1) u ( -7) X ( _7),取前三种因敷，可得正肢数解3组.3.(D).一 、A如图孙CF两中城交于盟刖凰14即=青口，=叽AMDa|fiD = |cF = AfF. /BMF = CMD.则触沪 gAG,于是幺8/-8,所以加.“(2)由三角形面积可推得AB = AC.B(3)aC = 88.则 NC=/g.所以力J(4)以C=奴(则/CmN凡所以ABAC.，4.(C).二一如图GP、班的据长线交于C.易QEA梃qaa龙,于是Gy：;：艺KB = A8,则%：掰=2：3.所以 AF：FDAB：DG5 .(A).A设两条府角线长为孙、4

11、,则有(阳)2.(jx2)2 = g2整理为(八十工2)2.2孙=WO. 可解得孰此时都大于6但m=时，孙+ “=2刑_1 0H孙与。,则有fl印6 .(A)., ; V , W.；/:V a 4- 6 e. A o2 6(6 + e) 6(26 a), TJi(a -26)(i4-6)0. 8 .a 26.NC 为愧角.1 + / v c2,即 “ b + c) + / = 6,得 CF = 3、DFw3瓜在 RtA4G 中.AC股=8. DC = 尸-CF = 26.仞= /4(+2/19.2.73-72.p -1 = 1q-1=1产P =2(/ =2 一一 , 一，；二一二J .uq(-

12、T 产+34/(十)。2)所以当=: 。时.二式取得赧大值为耳:.3-隹,3.3.如图，作PDA AC于,，乎BC于匕则;C/)t：F=1(4C+ BC-AJf) = (5-v 13).1 , L 仞= HC-CZ)T(/13+1), BF=BC-CF = ：( 713 - 1).心 EB =AD 8F = 3. 4.275.丁1 _4 -. xo.W-f = 1 .向方.年工“(上-年)、4上Ta b 3- 3十(f = 5)3-343 = 25. 三、解答题1 设M-2为方程的整依根,则有町十“2 =同，M寓2 = P + 4,曲p.qE N得孙.(、. 两式相减得5-1)(也-1(/-1

13、)4”11工2. n-口收.(1)左边第一项为0第二项为2.卜-1 或-122/p = 2 fP=3 。-1亨2产1(/-1 = 1尸10=3;=2.此时用方程为“2一6“ 5 = 0=卬=1%2 = 5.(2)两项均为1.此时用方程为户_4x+4 = 0=孙=仃=2.(3)左边第 项为2.第二项为0.3.3.922-X）=3八= “2 =21， 或 g5;x,=2 或 2 3;=复=3.:：用，4。= 3：2,制o(八封3+2得,=女一2 68 必一1 = 1*1-1=2,”1=2儿-1=1尸2 .连曲，由他；4c32可设他=3*。= 2%.何设CE = y、 剜 0E = 6-y,由OEs

14、A&V）傅第=皿3友8替5 = 6.又由 05=-4 得（6-尸=八,*2彳）,8-12，+/=CF C , CF 2x3 CF4-2xy,36- 12y = 12,y = 2， = 3.由前二启得6-2 =荻 +2，43 .如图二次函数y= m2 + + c的图象和/轴只有一个 交点P. P(-占0),又其与y轴交点(?(0.e)；v b.2oc =O,BP = c. /-P(c,0).印=2危及0O,.x2即由一次函数 少 +胆的图象过/点,得02+胴一=6=-2,故一次函数的 解析式为y =善- 2,设二次函数的修析式为y = 9? k + 2,则有 -*=2 且0 = 4a;26+2.

15、斛之将“=；故二次函数的修析式为y = * / - 2* + 2.R(4.2),PH = 2、，2QRm4.：R =?心所+ /次2 = Q格 呼为等腰直角三角形. Sam 4(2、出产=：4.数学奥林匹克模拟试卷（三）l*iy (x-：V，3+、/(i-T)2.2)所以当，一。时,上式取得最大值为蜷m-值3. 3.如图作 W14C于,尸/，比于F则：CD = CF= ；(4C+5C - = 2(5-Zl3).4/)=4C-CO = W. 13+1).-.4E-fl = 4D-/?F = 3.4. 2、5.1 一!-三=0,即2-卷=1 .ffij + y 7 沸一件)2 +46毛二，5. a

16、 b a b a b a b a b a b.-.()3*(f )3(-*f )3-3-f (-*f)(/5)3-3/5275. I a b a b aba b三、解答题S1 .设M,42为方程的整数根,则有i+X2 = &，M%2 = p + q,由p,qN得孙，”?、.两式相减得+(1)左边第一项为。,第二项为2.PT1话7-1=2 严P：或 7 = 3：p3q=2.此时原方程为 x2-6x 5O=xi 1. 5.(2)两项均为1.P2q=2此时原方程为-4* 4-0n*1h2. 67 一、选择题：1、已知a是1997的算术平方根的整数部分，b是1991的算术平方根的小数部分，则化简_4a

17、 一的结果为（）181 4,11 bBZ/IX1 一 52一11Dz(2 -5 z(1 - 42、DE为？ABC中平行于 AC的中位线，F为DE中点，延长AF交BC于G,则？ABG 与？ACG的面积比为（）（A） 1 : 2 （B） 2: 3 （C） 3: 5 （D） 4: 7 1 kx3、一次函数y （k是自然数的常数）的图象与两坐标轴所围成的图形的面积k 1为Sk,则Si S2 S3S100的值是（）(A) 50 (B) 101 (C)4、若 0 a 4 .(B).由它们的取他范圉可彳G Aina aa Yciga,且Iga (xa.a为铁角时，sina tga值成 立，, in a tg

18、a cosa (Xa .0). 71 数学奥林匹克模拟试卷(四)一、选择题：2 一1、a、b、c都是头数，且 a 0, a b 2c则万程ax bx c 0 ()。(A)有两个正根(B)至少有一个正根(C)有且只有一个正根(D)无正根2、a、b都是自然数，且 123456789 11111 a 11111 b ,则()(A) a b是奇数(B) a b是4的倍数(C) a b是2的倍数，但不一定是 4的倍 数(D) a b是2的倍数，但不是4的倍数3、将函数y ax2 bx ca 0的图象绕y轴翻转180,再绕x轴翻转180,所得的函数图象对应的解析式为()(A) yax2 bx c(B)y

19、ax2 bx c (C) y ax2 bx c(D)y ax2 bx c4、如果直角三角形的三边都是200以的正整数，且较长的两边长相差1,那么这样的直角三角形有()(A) 12 个(B) 9 个(C) 6 个(D) 1 个5、一条直线过？ABC的心，且平分三角形的周长，那么该直线分成的两个图形的面积比为()(A) 2: 1 (B) 1: 1 (C) 2: 3 (D) 3: 16、M是弧ABC的中点，弦 BCAB , MF BC于F,则()(A) AB+BF=FC (B) AB+BFFC (C) AB+BF4)的所有角都是 150的正数倍，且/ A1+/A2+/ A3=2850,那么，n等于。

20、2、已知四条直线 y mx 3,y1,y 3和x 1所围成的四边形的面积是12,那么，m等于。3、如图，MON中，/MON=90,过线段MN中点A作AB / ON交M弧MN于点B, 则/ BON=度。4、如果不等式|x a| |x| 2没有实数解，则实数 a的取值围是。三、解答题：1、以下图，ABCD中，。是AB中点，半。O与AD、DC、CB分别相切于 E、F、G, 求证：AB2=4CD - BC。一x2 1 , y2 1 -2、设x、y是自然数，使得两个分数 的7和与积均为整数，证明：这两个y 1 x 1分数都是整数。23、对 abc0 ,作一次万程：x a b c x ab bc ca 0

21、.(1)若方程有实根，求证：a、b、c不能成为一个三角形的三条边长。(2)若方程有实根xo,求证：ax0bc.(3)当方程有实根6、9,求正整数a、b、c。若c =0,则a = - 60屐方程两根为0J.若4与。异号,则必立工9 。,则。与6异号,所以xi + 0,原方程有两正根,即原方程至少有一个正根.02 .(B).显然。J均为偶数.(11111+-5) = 1111 产+ 11111(。-6)-而被4除余 1 而 1111产被4除余1,而被4除余0,所以11111(。-6)被4除余。.即a-6是4的倍数.3 .(A). =32 +/+ 外,则斜边为x 1.(“1)2 =*。/即/ = 2

22、-1.”为奇数.y 分别取 3、5711、13、15、17、19,对应的公顺次为4、12、24.40、60、84、112、144、180.这样的直角三角形有9个.5 .(8).由内心到三角形三边的距离都相等,将三角形被分成的两部分图形的面积分别用以这 距离为离的三角形的面积和表示,可得结论.6 .(A),“如下图,延长CB到。使BDAB.t MA、MB、MC、MD.0淘城VZABM/G,NW */BMC 十(疏或)= 彳匚可得：MgADBM,则 DM.AAf = MC.JPj DFFC, W ABBFFC.二、填空题1. 10.I，由已知有另外n-3个内向的和为(n-2)1时-285、它能被n

23、-3整除，且商也是的整数倍,这商为1时+ 嗯,满足条件的m = 10.2.1或-2.如图,可求得0(。, )点(更.3), C( C)点(2-1 ).若直线,mmy=mx-3 为 CO,则有*( 1) (/ -1)14 = 12.解得 m L- 若直线产mx-3为C则/(1-由+(1-力)4= H12,解科-2.I 0 3. 30.如图，延长JEM交。*于C,连M正由人为MV中点成&Y,可得明C=CO.i?C，OM, 则OB = MB，又OB=0M .于是 OMB为等边三角形，则N M06 = 80 .故/比站=80,4. ac-2或。2.lx-al 2 - IjH.设八二1 工-al，/2

24、= 2- lid则有Jjs- a(xa) 2- x(xQ)力=It + oGv 口产2 + “名v0)由已知有n v y2无实数解.从田中的两函数图象可以看出。V -2或a N2时,八的图象不 在”的图象下方.三、解答题,I如图，连0、。八8、8,易证RiA/lOEaR心触，,./=/夕24。 = /皿=。.通过全等还可在NRE NDOF M P.N OOF n/ COC =八/、即/ a+p+y = 9CPA0,./SCO-9O5- y a 4 B = RAOD：40DsARCO.二弟嚼而wy2，犷。必8C.即ABAAD-K.2.曲迨W= %由IM设可知十八皿都是整数，设U+。=E,皿=E典

25、“是镇系数二次方程/-讳” =0的两个构理根,所以4aM2 - 4/是完全平方数,且m与V nF-4的奇偶性相同.而也二也立铲二包，,“ J都是密数3：(1)由方程由实根有0A =(0即“/, -, 一 /一十bTuw十必十及十m,有c6 + c)= &0.八。)=6c 0.“ SLlJl r _ 二(L土 & + C) + 4(2 + k ai).八 24 & C.(3)山根打系数关系4。&c=15,而4*A.6 = 541用M十 庐十/=(2十 6 c)J 2( aA * 6c * ra =：225- 108s 117,解得 6 =4 = 1., a = 106 s4.r s 1.模拟试卷

26、5一 选摄题lA).；#云，且丁三；口；彳以，石工，团彳一只能父=F且它们可以是任意实数. 2.(8).当a. 8 i = 0时,+6 = -c,WU= -1,直线为=-*-1.它过.三、四象限.当a” + r = O时.华裔箸 =6.22M线为=22.它经过一、二.三象限,综 上所述，这图欧必经过二、三象网.:二3(A).设“一+*”.513则K,=6勺=3,但*、y均非奇数厮以(1)蟒.没工=5 +内、广5-m则-y = 10.xr = 22.但小均非偈效，所以错,且锚，设六31 护则一,二1 、3. 一 心但丈4不都足无理数.所以(4涮. 74 数学奥林匹克模拟试卷(五)一、选择题：1、

27、使JXy,Jy Z, vz x都有意义的实数组(x、y、z)()(A)存在且有无限多组(B)存在有限组(C) 一定不存在(D)无法确定是否存在2、若ab bc ca k,则直线y kx k的图象必经过()、cab(A)第一、二、三象限(B)第二、三象限(C)第二、三、四象限(D)以上均不正确3、今有四个命题：(1)若两个实数的和与积都是奇数，则这两个数都是奇数。(2)若两实数的和与积都是偶数，则者两数都是偶数。(3)若两数的和与积都是有理数，则这两数都是有理数。(4)若两实数的和与积都是无理数，则这两数都是无理数。其中正确命题的个数是()(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 34、如图，

28、D、E、F分正？ABC 的三边 AB、BC、AC均为1: 2两部分，AD、BE、CF相交成的？PQR的面积是？ABC的面积的()1111(A) (B) (C) (D)109875、?ABC的边长为a、b、c,其外接圆面积为 S, ?A/B/C/的边长为H、c/,其外接圆面积为S/,若a a/、b b/、c c/,则S与S/的大小关系是()(A) SS/ (D)不能确定6、设a、b、c是实数，且a2 bc 8a 7 0, b2 c2 bc 6a 6 0那么a的取值围是()(A) 一切实数(B) a 1 (C) 1 a 13 (D) 1 a 9二、填空题：o 1a3 1 ,1、已知a是方程x x

29、0的根，则3的值te。4a a2、以线段AB为直径作一个半圆，圆心为 O、C是半圆周上的点，且 OC2=AC - BC, 那么/ CAB二度。3、已知正整数a、b、c满足下列条件abc,且abbcac 72 , abc 100 则a、b、c依次为。1111_、2,1 .2 3.2 2 3 4、3 3,425,24 24.25 一三、解答题：1、设？ABC是边长为1的正三角形，过顶点 A引直线1,顶点B、C到l的距离记为 d1，d2,求d1+d2的最大值。2、如图，在。中，/ AOB=120 0, PT与O。切于T点，A、B、P共线，/ APT的 平分线依次交 AT、BT于C、D,求证：？ACD

30、？CDB。3、若自然数n有m个正奇约数（包括约数 1）,求证：n有m - 1种拆成连续自然数 之和的方法。，力产-4的奇偶性相同.而u4=；二如,都是整故.3.(1)由方程由实根有。姿4 = (。) +产-4(向+左+3)= /*/-2浦2%-2位=(1(4_6_/)-A(0+c-6)- f(a + 8- )0.故什a-6-QO.即ab + c.，a、b、c不能成为一个三角杉的三也(2)设 /Xx)=/一0./(o) k0 6 +、 (a 6 c)2.4ab + & + ai)八/(2 fs0.即二次方程的实根卬都在6 + c与。之间. Xq 6 C.(3)由根与系数关系a + 5c=15,r

31、i/ 及 e = 54.得a2 + 62 + c2a(it 6 tc)2-2( +Ac+ 01)x225-108a 117119ttta2/，3 = 3都有可值，6,(D).加m J_8a + 7,(& + c产=/_.8q + 7 + 6a6 = (a -1 汽财 b + c = la-11,所以 b、 c姥方程la -1 lx + a2-3a +7 = 0的两个实敷根，由心方。，解得149.二、填空的L 5.由已知有a2 a =：.易见a41.二%二工=，胃 飞)=4； - = 5. 4a-a (a-DCaa) J.2. 或 75P.一.如图,过C作CDl/IB于。.而/4C8 = 90又

32、$小严(得 ABg=J，20C，CD = 3 CD, $a树=g 心 RCwgoC2, L=r2 /CCdAfitf 。j. CD = ； 8. ./CON =婚=2/C4B.即/4日工 1%当。在。.4 上时，/CAB = 75.说明:此题答案极易丢一斛.3. 10、9、1 或 10、2、1 或 11、3、2.J ?。-机5-。-。都是正集数,且“-。=(。-6) + -(：),把72分斛成三个因数时,满足上述条件的只可能是1 &9或8 J ,9,于是有14-6 = 1fa- 6 = 81 = 8(2)16-=1ac=9 履-c=9由及心100,可得a J、c依次为10,9x1.由及必100

33、,可斛c = 1或2.因而明6依次为1021或1132. 75 数学奥林匹克模拟试卷(六)一、选择题：2a 1 21、如果a为实数，并且方程 x2 2x 0有实根，那么的值为()4(A) - 2 (B) 0 (C) 2 (D)不能确定2、已知等腰三角形一腰的中线长为7.5,顶角平分线长为9,那么这个三角形的面积是()(A) 31.5 (B) 36 (C) 54 (D) 67.53、设二次函数 y a bx2 2cx a b ,其中是？ABC的三边的长，且 b a,b c,已知x J时，这函数有最小值为a ,则a,b,c的大小关系是。(A) b a c (B) b c a (C) a b c (

34、D)不确定4、如右图中的圆与三个半圆都相切，且两个较小半圆半径都为1,又都与大半圆相切，则阴影部分图形的面积为()45(A) _ (B) Z_ (C)兀(D、_5、当式子|x 1| |x 2| |x 3| |x 19971取得最小值时，实数 x的值等于( )(A) 999 (B) 998 (C) 1997 (D) 06、如右图，以半圆的一条弦如果 MB : BN=2 : 3,且 MN=10 ,AN为对称轴将弧 AN折叠过来和直径则弦AN的长为()MN交于B点,(A) 3屈(B) 40.6 0, J.d = 6 CC.4.(D),如图，连仇。3、33，切3他长线过切点C.设(9。3半径为八C则5。3 = 1 + r,a?3 H 2 - r.可由对称性得8 L 48(1 产=P -4一；*必-不1 f等=,5(A.0. O OlI * - a