中国石油大学计算方法模拟试题

1、舍入误差1 .计算方法实际计算时，由于受计算机字长限制而导致的误差称为2 .x *=1.1021是经过四舍五入得到的近似数，有 5位有效数字，相对误差限为 0.5*10 -4。3 .利用二分法求方程1-x-sinx=0 在0,1内的根要二分 15 次。(?0.5*10-4)4 .写出用Newton法建立求 而的迭代公式x k+1=(xk2+b)/2x k 。5 .使用矩阵分解法求解线性方程组时，平方根法适用于系数矩阵为对称正定矩阵的方程组，追赶法适用于系数矩阵为三对角阵的方程组 。6 .设线性方程组Ax=b,为/"+10”=1则|冏| 2= 14.933 ,ConddA)为5x1 +

2、 7x2 = 0.7289,若右端向量有扰动g=(0.01,-0.01);则解的相对误差限为 2.89。7 .求解数值积分的Simpson公式的代数精度为：3，若将积分区间n等分，步长为h,则 复化Simpson公式的截断误差为h的几阶无穷小，即O(h 4 )8 .应用龙贝格求积公式求积分，其整个计算过程的特点是：将积分区间逐次分半，并将每一 公式先后两次的计算结果按一定线性组合构成新的精度较高近似值。9 .常微分方程初值问题的数值解法分为单步和多步，显式和隐式，下列方法属于哪一类？龙格-库塔法：单步、显式，阿当姆斯内插公式：多步、隐式 。x3 + x2 (0 < x <1)10

3、.若s(x)= Jx Q x (0 x 1)，是以0,1,2为节点的三次样条函数，则b= -2,2x3 +bx2 +cx-1(1 <x <2)c= 3得分二、解答题(24分，每题6分)1 .看书上或课件定义2 .对于方程组试构造一收敛的那折1 -赛的迭代格中解：将方程组变换大：2 -3 101科申明收x2系数矩阵为严格 价变形为：收敛的高斯-赛卷5尹11则方可组皆收到3.以线性拟合为例简L x2x39*、59-赛德尔迭代格式。把方程组等根据极值理论，要使R达到最小，必有:答：设近似函数为 y=a+bx, R=Z (a +bxi - yi )2。i W-RJ丁 =2乙(a +bxi

4、yi) = 0 ,-ai 1由方程组可以解出a, b的值，从而得到拟和曲线的表达式。4.确定下列求积公式的常数a,使其代数精度尽量高，并判定其具有的代数精度hh20 f (x)dx ： 21f(0) f(h) ah2f'(0)- f'(h)hh解：当 f(x)=1 时：11dx =h =万1+1h 1 2 h2h .当 f(x)=x 时：x xdx = 5 h =-0 + h +ah 1 -1 =-0 + ha=1/12当 f(x)=x 2时：x2dx = 1 h3 = h0 + h2+ah20 - 2h,解得: 032a 一 一1 , hc 1cc当 f(x)=x 时：x3d

5、x=-h4 =-0+h3+h20-3h204212h ,1 r h ,1c c当 f(x)=x 时：x dx = -h #-0 + h +h 0 -4h 05212说明所求求积公式具有三次代数精度得分 三、证明题（16分，每题8分）1 .若 f(x)=(x-x 0)(x-x 1) (x-x n) , xi 互异,证明当 k=n+1 时 fx 0,x，,xk=1。证明：由差商性质：当k<=n时f (为)(xi x0).( xi xi J )(xi i 1)(xi xk )(xi -x0)(为-为二)(为-为)(为 - X 1).(4 - xk)=0(xi -)(xi -4)(为一为 1).

6、(xi - xk)当k=n+1时=0 + (xn1 mxni) =1 (xn 1 - x0 ).(xn1 _ xn )n2 .证明对于牛顿-科特斯求积公式的科特斯系数有£Cn）=1k =0证明：由牛顿-科特斯求积公式:b f (i)()设 f(x)=1 贝U 1f-co(x)dx =0Oa (n 1)!bn所以:f 1dx 由a = (ba)Z Ckn, f (xk),即:ak=0得分四、计算题（26分）x0.40.50.60.7sinx0.389 420.479 430.564 640.644 221. （10分）给出sinx在0.4,0.7的数值表如果使用二次插值求sin0.63

7、891的近似值，问如何选取结点，才使其近似值的误差较小? 并求该近似值，小数点后保留5位数字。(注意：拉格朗日插值与牛顿插值两种方法任选, 若采用牛顿插值，构造出差商表)解：应选三个节点，使截断误差R2(x)|二|f (？)|(x-x0)(x-x1)(x-x2)|尽量小。故最靠近0.63891的三个节点一定满足要求。显然，取0.5,0.6,0.7。(1)采用拉格朗日插值：L2(x)=(x36)(x37)047943 r 0.5.- 0.7)(0.5 -0.6)(0.5 -0.7)(0.6 -0.5)(0.6 - 0.7)0.56464(x-0.5)(x -0.6)(0.7-0.5)(0.7-0

8、.6)0.64422(x-0.6)(x-0.7) 0.479 43 -(x-0.5)(x-0.7) 0.564 640.02(x -0.5)(x -0.6)0.644 220.020.01所以：sin0.63891: L 2(0.63891)(0.63891 -0.6)(0.63891 -。7) x0.47943 _ (0.63891 -0.5)(0.63891 -0.7), 0.564 640.02(0.63891 -0.5)(0.63891 -0.6)0.644 220.020.010.03891 (-0.06109)0.13891 (-0.06109)0.479 43 0.564 640

9、.020.010.13891 0.03891 0.644 220.02-0.002380.008490.00540 , 0.47943 0.56464 0.644220.020.010.02=-0.05705 0.47938 0.17394=0.59627(2)采用牛顿差值:xiyi一阶差商二阶差商0.50.479 430.60.564 640.85210.70.644 220.7958-0.2815M(x) = 0.479 43 + 0.8521(x-0.5) - 0.2815(x-0.5)(x-0.6)所以 sin0.63891 N2(0.63891)=0.479 43 + 0.8521*

10、(0.63891-0.5) - 0.2815*(0.63891-0.5)*( 0.63891-0.6)=0.479 43 + 0.8521*0.13891 - 0.2815*0.13891*0.03891=0.479 43 + 0.11837 - 0.00152=0.59628一 、1一，一，,82. (8分)设max|f' ' (x)|<= - ,x ?2,8,用旻化梯形公式计算f f(x)dx的近似值时，为 82使截断误差的绝对值不超过1父10，至少应将2,8分为多少等份？解：用复化梯形公式，截断误差：3R=_bSa h2f''( ) (8-2) 口

11、f''()1212 n21因为 max|f (x)|<二863111.所以 | R n(f) |<=1012 n2 82解得n>=671所以至少分为671等份。3. (8分)用欧拉预报-校正法求初值问题1y' = 17 在x=0.3,0.6处的数值解，步长h=0.3, )(0) =0小数点后保留5位数字。解：由预报-校正公式有：h=0.3,n=0,1,2，y01 7nh(1 y2)Ih20 2yn 1 - yn-1 y2 1 (y")22利用上述公式，及y(0)=0得:y(0.3) ： y1=0.3138y(0.6)y2=0.69026.填空

12、k1.已知n=3.1415926若其近似值的绝对误差限为 0.5 X10-5, 则该近似值是什么？ 2、对于充分接近90度的x,为不损失有效数字，应对公式1- sin(x)做何变化?3、对于不动点迭代 居+尸仍k),若在不动点x*满足(x*) *0, 则该迭代格式是几阶收敛的4、牛顿迭代法的特点是什么？ 对于单根，它是几阶收敛的？ 5、关于线形方程组系数矩阵的条件数a、反映绝对误差放大倍数b、反映相对误差放大倍数c、条件数越大，方程组越呈“良”态6、写出两种非线形方程的解法 7、追赶法适合解系数矩阵为 的方程组8、设xi (i=0,1,2,3 , 4)为互异结点，li(x)为对应的插值基函数4

13、4贝U: v xi 3li(x) = " (xi2 4xi 2)li (x) = i =ei =e9、什么是三次样条插值函数？，写出三个要点10、A= 1 a , 当 a= , A 可做 L L T 分解，1 2其中L的元素满足 L =11、向量 X= (x1,x2,x3 ) T ,则 | x1+2x2|+| x1+x3|是不是一种向量范数？ 二.解答：1 、 当A有扰动6 A和b有扰动6 b时，如何用II M| / |x|?矩阵A的条件数去估计方程组的相对误差2 .写出gauss列主元的算法描述其中 A=11 2 b= 10.3 12Jacobi 代公式论用JaCobi迭代解此方程

14、组的收敛性三、解方程组 已知方程组Ax=b ,写出解此方程组的写出解此方程组的Gauss-Seidel迭代公式，讨论用 Gauss-Seidel迭代解此方程组的收敛性四.求形如y=ae bx ( a, b 为常数，且a>0 )的经验公式，使它能和下表数据相拟合:xi1.001.25yi5.105.791.501.752.006.53P 7.458.46已知对数表x5.105.796.537.458.46Inx1.631.76：1.882.012.12五、已知函数表:x1246y0311231、构造差商表，写出Newton插值多项式2、写出Laglanre插值多项式3、写出该插值多项式的余

15、项六、 设 f (x) =g(x)h(x)证明：f x0 , x1 = g(x0) hx0 , x1 + g x0 ,x1 h(x1)七、用最小二乘法解矛盾方程组2x + 3/= 6< x + y = 22x + y = 42.补充Newton迭代的大范围收敛性定理，并完成所给问题(8分)(1) Newton迭代收敛性定理如下：设f(x)在区间a,b上二阶导数存在，且对于 x a, b满足:则Newton迭代法收敛于 f(x) =0在a,b上的唯一根。(2)说明该定理每个条件的作用(3)图示Newton迭代法的几何意义(4)推导用Newton迭代法求正数a的平方根的迭代格式2.补充Newton迭代的大范围收敛性定理，并完成所给问题(8分)(1) Newton迭代收敛 性定理如下：设f(x)在区间a, b上二阶导数存在，且对于xCa, b满足：f(a)f(b) <0 ;f ' (x) w 0 ;f (x)存在且不变号；