【压轴题】高中必修五数学上期中试卷附答案

1、【压轴题】高中必修五数学上期中试卷附答案、选择题1.在等差数列an中，aia2a33, a28a29a30165,则此数列前30项和等于（ ）A. 810B. 840C. 870D. 900y0 2x y. 2 - 2.若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则实数 a的取值范围是（）x y 0 x y, aA, 4,B, 0,13C.41,34 D. 0,1 U -, 3A.B.4.已知等比数列an中，a1 1 , a3 a5A. 12B. 1015.已知数列an满足a1=1,且an -an 1 3式为（）n3n 2A. an B. an nn 23x 2y6.设z x y,其中实数x、y满足

2、x y0 yA. 0B. -13.定义在,00,上的函数f x，如果对于任意给定的等比数列an，若f an仍是比数列，则称 f x为“保等比数列函数”.现有定义在 ,00,上的如下函数：3 f x x ; f x ex ； f x |x| ； f x ln x则其中是“保等比数列函数”的f x的序号为（）C.D.6 ,则 a5 a7（）C. 12 2D. 6 2,1.n,一 （一）（n 2 ,且n C N*）,则数列an的通项公3C. an=n+2D. an= （ n+2） 3n00 ,若z的最大值为6, z的最小值为（） kC. -2D. -37 .中华人民共和国国歌有 84个字，37小节，

3、奏唱需要46秒，某校周一举行升旗仪式,旗杆正好处在坡度15的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆 顶部的仰角分别为 60和30。，第一排和最后一排的距离为 1072米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上.要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速7 323238 .某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15口的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60口和30。，第一排和最后一排的距离为5J6米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上.若国歌长度约为50秒，要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速

4、度应为（）（米/秒）A.1103B. 一10C.D.109.已知正数x、y满足x y/,14一1 ,则的最小值为（x 1 yA. 2C.14D. 5x 010.已知x, y满足条件y x2x y k则 k=()（k为常数），若目标函数z=x+ 3y的最大值为08,A. 16B. - 6C.D. 611 .在等差数列 anA. 95 412 .已知 a 23 bA. b a c C. b c a 二、填空题13 .若变量x, y满足中，如果a a2B. 1002133 c 253 '贝Ux y 22x 3y 9,则x 040, a3 a460 ,那么 a? %(C. 135D. 80B.

5、 a b cD. c a b=2x+y的最大值是 .14 .已知数列dn的前打项和5ft = M +注。1 E AT),则加i15 .已知在 ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a b 2c,则 C的取值范围为16 .已知 ABC的内角A, B,C的对边分别为a,b,c.若c 1, ABC的面积为ABC面积的最大值为17 .如图所示，在平面四边形 ABCD中，AB & , BC J3 , AB AD ,AC CD , AD 3AC ,则 AC 18 .在AABC中，已知sinA:sinB:sinC=3 : 5: 7,则此三角形最大内角的大小19 .已知数列 an的通项an

6、1广，则其前15项的和等于.n 1 n20 .在锐角 MBC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a 2b 4,asinA 4bsinB 6asinBsinC ,贝U n ABC 的面积取最小值时有2 c .三、解答题21 .已知等差数列 an的前n项和为Sn,各项为正的等比数列bn的前n项和为Tn,a11 , bi 1, a2 b2 2.(1)若a3 b3 5,求bn的通项公式；(2)若 T3 21,求&122 .设函数 f(x) |x | |x a (a)0)(1)证明：f (x) 2 ；(2)若f(3) 5,求a的取值范围.23 .已知数列an满足：an 1 2an n

7、1, a1 3.(1)设数列bn满足：bn an n ,求证：数列bn是等比数列；(2)求出数列an的通项公式和前n项和Sn.24 .设数列an满足a12 ,an1an2n；数列bn的前n项和为Sn,且12、Sn = - (3n - n) 2(1)求数列 an和bn的通项公式；若g anbn ,求数列g 的前n项和Tn .25 .已知向量m sin A, 2与n 3, sin A J3cosA共线，其中A是那BC的内角.(1)求角A的大小；(2)若BC=2,求 9BC面积S的最大值，并判断 S取得最大值时 那BC的形状.26 .已知数列U为等差数列，且a1 2 , a1 a2 a? 12 .

8、求数列的通项公式；(2)令"=3见，求证：数列是等比数列.人1(3)令g ,求数列 Cn的前n项和Sn.anan 1【参考答案】*试卷处理标记，请不要删除一、选择题1 . B解析：B【解析】数列前30项和可看作每三项一组，共十组的和，显然这十组依次成等差数列，因此和为10(3 165)2 8 840 ,选 B.2. D解析：D【解析】【分析】y-0，r2x y, 2+一心一口.人一,，八,要确定不等式组表木的平面区域是否一个三角形，我们可以先回出x y-0x y, ay- 02x y, 2,再对a值进行分类讨论，找出满足条件的实数a的取值范围.x y 0【详解】y 0不等式组 2x

9、y, 2表示的平面区域如图中阴影部分所示.x y 0,y 0由得B 1,0 .2x y 2y0， 2x y, 2_ ,一一八若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则直线x y0x y, ax y a中a的取值范4围是 a 0,1 U -,3故选：D【点睛】平面区域的形状问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面 区域，然后结合分类讨论的思想，针对图象分析满足条件的参数的取值范围.3. C解析：C【解析】【分析】设等比数列an的公比为q,验证f an是否为非零常数，由此可得出正确选项an设等比数列an的公比为q,则an 1an对于中的函数an 1an3an 1-2anan

10、 1anq3,该函数为“保等比数列函对于中的函数f an 1f anan 1eeanan1 an不是非零常数，该函数不是“保等比数列函数”；对于中的函数列函数”；对于中的函数f an 11nx，TT1n an 1 I I_'不是常数，该函数不是“保等比数列函In an数”.故选：C.【点睛】本题考查等比数列的定义，着重考查对题中定义的理解，考查分析问题和解决问题的能 力，属于中等题.4. A解析：A【解析】2由已知a3a5q q6, q2_2 ,2 ,a5 a7 q (a3 a5 ) 2 6 12 ,故选 A.5. B解析：B【解析】试题分析：由题可知，将ang）n（n 2 ,两边同时

11、除以4）1,运用累加法，解得n 2，整理得an一；. 3考点：累加法求数列通项公式6. D解析：D【解析】作出不等式对应的平面区域，由 z=x+y,得 y=-x+z,平移直线y=-x+z ,由图象可知当直线 y=-x+z经过点A时，直线y=-x+z的截距最大, 此时z最大为6.即x+y=6.经过点B时，直线y=-x+z的截距最小，此时 z最小.x y 6由得 A(3,3),x y 0;直线y=k过A ,.k=3.y k 3由 cc，解得 B(-6,3).x 2y0此时z的最小值为z=-6+3=-3 ,本题选择D选项.点睛：求二元一次函数 z= ax+by(ab W0的最值，将函数 z= ax+

12、by转化为直线的斜截式：y x z ,通过求直线的截距 三的最值间接求出z的最值.最优解在顶点或边界取 a bb得.7. B解析：B【解析】【分析】如解析中图形，可在HAB中，利用正弦定理求出 HB,然后在Rt HBO中求出直角边HO即旗杆的高度，最后可得速度.【详解】如图，由题意 HAB 45 , HBA 105，.一 AHB 30 ,sin HAB sin AHBsin 45 sin 30在 HAB 中，一HB一 一AB一,即 HB 10后,HB 20.II OH HBsin HBO 20sin 6010四,v 3 3（米/秒）.4623故选B .【点睛】本题考查解三角形的应用，解题关键是

13、掌握正弦定理和余弦定理，解题时要根据条件选用 恰当的公式，适当注意各个公式适合的条件.8. B解析：B【解析】试题分析：如下图：30°由已知，在 ABC 中， ABC 105o, ACB 45o,BC 5，6 ,从而可得：BAC由正弦定理，得:AB 10、3,AB 5 6sin 45o sin 30°15 ，那么在 Rt ADB 中， ABD 60°, AD ABsin 60° 10/3 233, 即旗杆图度为15米，由15 50 ，知：升旗手升旗的速度应为 一（米/秒） 1010故选B.考点：解三角形在实际问题中的应用.9. B解析：B【解析】 【分析

14、】由x y 1得x (1y) 2 ,再将代数式x1(1 y)与一x4相乘，利用基本不等式可1 y求出一的最小值.y【详解】(1 y)2,1 则2(- x(11 y)( x4x1 y4xg-x-y 5 9，所以,当且仅当4x1 y23 .，.一，3时，等号成立,13一 .9的最小值为92故选B .【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，对代数式进行合理配凑，是解决本题的关键，属于中等 题.10. B解析：B由 z= x+3y得 y=- 1x+ -330,，一 的图象，如图所本,x因为目标函数z=x+3y的最大值为 JtI 28,所以x+3y=8与直线y=x的交点为C,解得k= 6.C(2,2),代

15、入直线 2x+y+k= 0,得11. B解析：B【解析】【分析】根据等差数列an性质可知：ai32,a3a4,a5a6,a7a8构成新的等差数列，然后求出结果【详解】由等差数列的性质可知：a1 a2, a3 a4, a5 a6, a7 a8构成新的等差数列，a7 a8ai a24 133 a,ai a240 3 20 100故选B【点睛】本题主要考查了等差数列的性质运用，等差数列中连续的、等长的、间隔相等的几项的和 依然成等差，即可计算出结果。12. A解析：A【解析】【分析】【详解】42222因为a3 h 23 c 4，且哥函数v v3在（0,）上单调递增，所以b<a<c.a 2

16、 =4 ,b 3 , c 5y x故选A.点睛：本题主要考查募函数的单调性及比较大小问题，解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间,0 , 0,1 , 1,）;二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用；三是借助 于中间变量比较大小.二、填空题13. 5【解析】【分析】由约束条件作出可行域化目标函数为直线方程的斜截式 数形结合得到最优解联立方程组求得最优解的坐标把最优解的坐标代入目标函 数得结论【详解】作出变量满足的可行域如图由知所以动直线的纵截距取 解析：5【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式

17、，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论【详解】x y 2作出变量x, y满足 2x 3y 9的可行域如图， x 0由 z 2x y 知，y 2x z ,所以动直线y 2x z的纵截距z取得最大值时，目标函数取得最大值，x y 2由， 得a 3, i, 2x 3y 9结合可行域可知当动直线经过点A 3, 1时，目标函数取得最大值 z 2 3 1 5,故答案为5.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：(1)作出可行域(一定要注意是实线还是虚线)；(2)找到目标函数对应的最优

18、解对应点(在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解)；(3)将最优解坐标代入目标函数求出最值.14. 2【解析】【分析】【详解】由 Sn= n2+n (nCn*)当n= 1a1 = S1= 1+1 = 2 当 n> 2 时 an= Sn Sn 1 = n2+n (n1) 2- (n1) =2n 当 n=1 时 a1 = 2X1=2 成立= an= 2n解析：2【解析】【分析】【详解】由 Sn= n2+n (n n*),当 n= 1, a = S1 = 1+1 =2,当 n>2 时，an = Sn - Sn 1 = n2+n (n1) 2- (n1) = 2

19、n,当 n= 1 时，a1=2x 1 = 2,成立，一一z尸*、- an= 2n (n Cn ),Um- = Hm-；Jr+ 1 Jnm-2- =2,nan2， *n故答案为2.15 .【解析】【分析】将已知条件平方后结合余弦定理及基本不等式求解出的 范围得出角的范围【详解】解：在中即当且仅当是取等号由余弦定理知故答案 为：【点睛】考查余弦定理与基本不等式三角函数范围问题切入点较难故属解析：(0,- 3 【解析】 【分析】将已知条件平方后，结合余弦定理，及基本不等式求解出 cosC的范围.得出角C的范围. 【详解】解：在 VABC 中，Qa b 2c,2, 2(a b) 4c ,a2 b2 4

20、c2 2ab 2ab，即 c2 ab，当且仅当a b是，取等号， 由余弦定理知，222_2_2a b c 3c 2 ab 3cxicosC 1 -,2ab2ab 2ab 20 C -. 3故答案为：(0,3.【点睛】考查余弦定理与基本不等式，三角函数范围问题，切入点较难，故属于中档题16 .【解析】【分析】结合已知条件结合余弦定理求得然后利用基本不等式求 得的最大值进而求得三角形面积的最大值【详解】由于三角形面积由余弦定理得由 得由于所以故化简得故化简得所以三角形面积故答案为【点睛 解析：一2二4【解析】 【分析】 , * * 一、.、一一一兀结合已知条件，结合余弦定理求得C ,然后利用基本不

21、等式求得ab的最大值，进而求得三角形 ABC面积的最大值【详解】 1由于二角形面积 S absinC2得sinC cosC ,由于C得 J2ab a2 b2 1 , 故 J2aba2 b2 1a2 b2 1，由余弦7E理得 COSC ，由42ab0,冗，所以 C .故 cosC -,化简42ab 2a2 b2 1 2ab 1，化简得ab 2.所以三角形211 2 ,2,2、2 1面积 S -absin C 22224故答案为2 14【点睛】 本小题主要考查余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，考查基本不等式求最值的方 法，属于中档题.17 . 3【解析】分析：详解：设在直角中得所以在中由余弦

22、定理由于所以即整理 得解得点睛：在解有关三角形的题目时要有意识地考虑用哪个定理更合适或是 两个定理都要用要抓住能够利用某个定理的信息一般地如果式子中含有角解析：3【解析】分析： 详解：设 AC x, AD 3x,CD 2/2AD 3在ABC中，由余弦定理cos BACAB2 AC2 BC22AB ACx2 12T2x，由于 BAC CAD ,所以cos 2BAC sin CAD ,x2 122x整理得3x28x3.在直角 ACD 中，得 cd Jad2AC2 2j2x，所以 sin CAD点睛：在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要 用，要抓住能够利用某个定理

23、的信息.一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式 时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理； 以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.18 .【解析】由正弦定理得由余弦定理得故也就是最大内角为1-2冗,故C 一也就2332 52 72由正弦定理得a:b:c 3:5: 7,由余弦定理得cosC 3一5一-2 3 5是最大内角为2-?.项的和【详解】 即：故答案为: 解析：3【解析】 【分析】将an19 .【解析】【分析】将通过分母有理化化简得出再利用裂项相消法求出前15利用分母有理化得设数列的前项的和为所以前15项的和为:3【点睛】本题考查利用裂项

24、相消法求数列的前项的和还通过分母有理化，化简得出 万 亦，再利用裂项相消法求出前15项的和.【详解】1. n 1 、, n利用分母有理化得 an -J=一1 一-一n= Vnl Jn, n 1. n . n 1 、n " n 1 n设数列an的前n项的和为Sn,所以前15项的和为：SI5 a1 a2 L a15,2 1.3.2 L ,15.1416 .1516 14 1 3即：§53.故答案为：3. 【点睛】本题考查利用裂项相消法求数列的前n项的和，还运用分母有理化化简通项公式，属于基础题.20. 【解析】由正弦定理及得又即由于即有即有由即有解得当且仅当a=2b=2时取得等

25、号当a=2b=1S取得最小值易得（C为锐角）则则解析：5 V 5 3【解析】由正弦定理及 asinA 4bsinB 6asinBsinC,得 a2 4b2 6absinC,一 1 .又 S absinC,即 a2 4b2 12S, 2a 2b 4ab 16 4ab,12S 8,解得 S 2, 3由于a 2b 4,即有a2 4b2即有 4ab 16 12S,2a 2b由 4ab 2 a一b ，即有 162当且仅当a=2b=2时，取得等号，当a=2,b=1,S取得最小值 -,32，易得sinC (C为锐角工则cosC 3贝U c2 a2 b2 2abcosC 5三、解答题21. (1)bn 2n

26、1,(2) s36【解析】【分析】(1)首先设出等差数列的公差与等比数列的公比，根据题中所给的式子，得到关于d与q的等量关系式，解方程组求得结果，之后根据等比数列的通项公式写出结果即可；(2)根据题中所给的条件，求得其公比，根据条件，作出取舍，之后应用公式求得结果.【详解】设an的公差为d, bn的公比为q,由 a? b2 2.得 d+q=3,由 a3 b3 5 得 2d+q2=6,解得 d=1,q=2.n 1所以bn的通项公式为bn 2; 由 b1 1,T3 21 得 q2+q-20=0,解得 q=-5 (舍去)或 q=4,当 q=4 时，d=-1,则 S3=-6。【点睛】该题考查的是有关数

27、列的问题，涉及到的知识点有等差数列的通项公式与求和公式，等比 数列的通项公式与求和公式，正确理解与运用公式是解题的关键，注意对所求的结果进行 正确的取舍.一一155 2122. (1)详见解析；(2) (15,521).22【解析】试题分析：本题第(1)问，可由绝对值不等式的几何意义得出f ( x) min 2,从而得出结论；对第(2)问，由a 0去掉一个绝对值号，然后去掉另一个绝对值号，解出 a的取值范围.试题解析：(1)证明：由绝对值不等式的几何意义可知:f (X)min1 八，一，a - 2 ,当且仅当 aa 1时，取等号，所以f (x)2.(2)因为f(3) 5,所以12a ac -1

28、3 2,解得:a5 J?2【易错点】在应用均值不等式时，注意等号成立的条件：一正二定三相等.考点：本小题主要考查不等式的证明、绝对值不等式的几何意义、绝对值不等式的解法、求参数范围等不等式知识，熟练基础知识是解答好本类题目的关键23.见证明；2n 1 2 n n 1,一广4 1(1 )由递推公式计算可得-bnai 1 2,据此可得数列bn是等比数列.(2)由(1)可得bn2n，则a2n n,分组求和可得Sn2n 1又 bia1an 1n 1an n13 122anan n2 an nan n2,bn是以2为首项，2为公比的等比数歹U,(2)由(1)得 bn2nan2nSn21122 2n212

29、22n3 . n2 1 2n2n1 2【点睛】数列求和的方法技巧:(1)倒序相力口:(2)错位相减:(3)分组求和:用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和.用于等差数列与等比数列的积数列的求和.用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和.24. (D an 2n, 1bl 3n 2 ； (2) Tn 10 3n 5 2n 1(1)分别利用累加法、数列的递推公式得到数列an和数列bn的通项公式.(2)利用数列求和的错位相减即可得到数列a 的前n项和Tn【详解】1 2(1) Q a2 - a1二2, a3 - a2 = 2 , 3n 1a4 - a3 = 2 , ,an an 12,

30、以上n 1个式子相加得：2/1- 2n-1an - a1 = 21+22 +23 +? 2 = -() = 2n - 21- 2nan 2当 n 2 时，bn Sn Sn 11 212=-(3n2 n) 3n 1)2 (n 1)2 23n 2当n 1时，b & 1 ,符合上式，bn = 3n - 2; Qcn = anbn = (3n- 2)?2nTn=1?21 4?22 7?23 L + (3n-2)?2n 2Tn =1?22 4?23 7?24 L + (3n- 2) ?2n+1 -得-Tn = 2 + 3( 22 +23 +L +2n) - (3n- 2) ?2n+14 1 2n

31、 1n+12 3(3n-2) ?2n11 2= -10+(5-3n) ?2n+1 Tn =10+ (3n- 5)?2n+1【点睛】已知an 1 an f (n)求数列的通项公式时，可采用累加法得到通项公式，通项公式为等 差的一次函数乘以等比的数列形式(等差等比数列相乘)的前 n项和采用错位相减法.一 ，.、 冗25. (1) A (2)那BC为等边二角形3【解析】u r3分析：(1)由m/n,倚sinA (sin A V3 cos A) - 0 ,利用三角恒等变换的公式,2.,冗.求解sin 2A 1 ,进而求解角 A的大小；6(2)由余弦定理，得 4 b2 c2 bc和三角形的面积公式，利用基本不等式求得bc 4,即可判定当b c时面积最大，得到三角形形状.详解：（1）因为m/n,所以 sinAsinA . 3cosA 1 0 .所以1 CoS2 A立 si