全等三角形经典题型辅助线复习资料

1、全等三角形常见辅助线作法【例1.已知：如图6, BCE、 ACD分别是以BE、AD为斜边的直角三角形，且 BE AD , CDE是 等边三角形.求证： ABC是等边三角形.3 / 10【例2】、如图，已知 BC > AB , AD=DC 。 BD平分/ ABC。求证：/ A+/C=180 .、线段的数量关系通过添加辅助线构造全等三角形转移线段到一个三角形中证明线段相等。1、倍长中线法【例.3】如图，已知在 ABC中， C 90 ,求证：BD 2CD证明：延长 DC至ij E,使得CE=CD,联ZAE . / C=90° AC LCDCD=CEAD=AE . / B=30

2、6; / C=90° .Z BAC=60 ° AD 平分/ BAC/ BAD=30 °DB=DA / ADE=60 °B 30 , AD平分 BAC ,交BC于点D . / ADE=60 ° AD=AE.ADE为等边三角形 .AD=DE DB=DA E .BD=DEBD=2DCABD的中线。求证：AC 2AE。【例4.】如图，D是 ABC的边BC上的点，且CD AB, ADB BAD , AE是 证明：延长 AE到点F使得EF=AE联结DF在 ABE和 FDE中(BE =DE/ AEB= / FED AE=FE .ABE 9 AFDE (SAS

3、) AB=FD / ABE= / FDE AB=DC FD = DC. / ADC= ZABD+ / BAD ADB BAD/ ADC= / ABD+ / BDA. / ABE= / FDE/ ADC= / ADB+ / FDE 即 Z ADC = ZADF在 ADF和 ADC中AD=ADZADF = Z ADC DF =DC . ADFZ ADC(SAS) AF=ACAC=2AE【变式练习】、 如图， ABC中，BD=DC=ACE是DC的中点，求证： AD平分/ BAE.【小结】熟悉法一、法三“倍长中线”的辅助线包含的基本图形“八字型”和“倍长中线”两种基本操作方法, 倍长中线，或者倍长过中

4、点的一条线段以后的对于解决含有过中点线段有很好的效果。【变式练习】：如图所示，AD是4ABC的中线，BE交AC于E,交AD于F,且AC=BF 。 求证：AE=EF 。2、运用角平分线构造全等【例5】如图，已知在 ABC中，/ B=60° , ABC的角平分线AD,CE相交于点0,求证：OE=OD证明：在AC上截取AF=AE ,联结0F在 AOE和4A0F中在AB% / B+/ BAD吆 ACB=180AE=AFB =60/ EAOW FAO ./ BAD吆 ACB=120AO = AO. AD 平分/ BAC . AOEAOI3 (ASA)在 COD和 COF，/AOE=Z AOE

5、OE=OF/ DCO =/ FCO CE平分/ ACB. / AOE= 60 °CO=CO/ ACB= 2/ ACO/ AOE+Z AOE吆 FOC=180/ DOCW FOC2/ OAC+2 ACO=120/ FOC=6OCOD COF(ASA / OAC廿 ACO=60AOEW COD.OD =OF / AOE= / OAC廿 ACOCOD=60OE=OF ./ AOE= 60°.OE=OD【例 6】.如图， ABC 中，/ BAC=90 度，AB=AC , BD线于E,直线CE交BA的延长线于 F.求证：BD=2CE .是/ ABC的平分线，BD的延长线垂直于过 C点

6、的直【小结】解题后的思考：1）对于角平分线的问题，常用两种辅助线;2）见中点即联想到中位线。 / GAEW FAE/ DAF吆 BAF=90/ GAB =/ FAD/ GAF = 90 °/ EAF = 45 °3、旋转【例71正方形ABCD, E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF求/ EAF的度数.延长EB到点G 使得BG =BE先证明 ADF色AABE可得至U AF =AG / DAF = Z GAB EF =BE +DFEF = BE+BG =GEGAE 咨 AFAE13 / 10【例8】.将一张正方形纸片按如图的方式折叠,BC,BD为折痕，则CBD的

7、大小为【例 9.如图，已知/ ABC=/DBE=90° , DB=BE , AB=BC . (1)求证：AD=CE , AD ±CE (2)若 DBE 绕点 B旋转到 ABC外部，其他条件不变，则(1)中结论是否仍成立 ？青证明【例10.如图在 RtAABC中,AB=AC, Z BAC=90 ° ,0为BC中点.(1)写出O点到 ABC三个顶点 A、B、C的距离关系（不要求证明）（2）如果M、N分别在线段 AB、AC上移动，在移动过程中保持 AN=BM,请判 断 O M N的形状，并证明你的结论.联结OA则4 OACF口 OABDB为等腰直角三角形OA=0B=0C

8、 ANO 9 BMQC / NOA= OBM可得 ON=OM / NOA=Z MOB可得至U/ NOM= /AOB=90 °【例11如图，已知 ABC为等边三角形，D、E、F分别在边BC、CA、AB上，且 DEF也是等边三角形.（1）除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等线段，并证明你的猜想是正确的;（2）你所证明相等的线段，可以通过怎样的变化相互得到？写出变化过程.4、截长补短法【例12、如图， ABC中，AB=2AC A叶分 BAC ,且AD=BD求证：CDh AC【例 13如图，AC/ Bq EA,EB分另IJ平分/ CAB,/DBA CD过点 E,求证;AB=AC+BDon

9、【例14如图，已知在VABC内， BAC 60 , C 40 , P, Q分别在BQ CAh,并且AP, BQ分另U是 BAC ,ABC的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP证明：如图（1）,过O作OD BC交AB于D, /ADO4ABe=180 -60° -40° =80° , 又/ AQO/ C+Z QBC=80 ,ZADOAQQ又DAOW QAQ OA=AQ.,.ADQ2AAQQOD=OQ AD=AQ又OD/ BP, ./PBOW DOB 又. / PBOn DBQ Z DB04 DOB,.BD=OP又/ BPAW C+Z PAC=70 ,/ BOPW O

10、BA BAO=70 , ./BOPWBPQ .BP=OBAB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO）AQ+BQ【例 151.如图，在 ABC 中，Z ABC=60 ° , AD、CE 分别平分/ BAC、Z ACB ,求证：AC=AE+CD .方法同例5CN , AM与BN交于Q点。【例 16】已知：/ 1 = Z2, CD=DE , EF/AB ,求证：EF=AC【例17 如图， ABC为等边三角形，点 M ,N分别在BC, AC上，且BM求 AQN的度数。先证明 4ABM 9 ABCN (SAS)可得/ CBN = / BAM/ AQN= / ABQ+ / BAQ / BAM

11、= / CBN. / AQN= / ABQ+ / CBN即 /AQN= / ABC = 60°作平行线:过图形上某一点作特定的平行线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”【例18：如图，A ABO, AB=AC E是AB上一点，F是AC延长线上一点，连 EF交BC于D,若 EB=CF 求证：DE=DF证明：过E作EG/AC交BC于G, 贝叱 EGB= ACB又 AB=AC / B=/ ACB . ./B=/EGB / EGD=DCFEB=EG=C F/EDB= CDFADG白 A DCF .DE=DF【例19已知：如图，在四边形 ABCD中，AD/BC,

12、 BC = DC, CF平分/ BCD, DF / AB , BF的延长线交DC 于点 E. 求证：(1) BFCADFC; (2) AD = DE.联结BD证明：CF平分/ BCD ./ BCF= Z DCF在 BCF和 DCF中BC=CDJ / BCF= / DCF：CF=CF . BCF 9 ADCF (SAS)BF=DF(2) AD / BC ./ ADB = ZCBD BC = DC/ CBD= / CDB/ ADB= / CDB DF / AB/ ABD= / BDFBF=DF ./ FDB= ZFBD/ ABD= / FBD在 ABD和 EBD中/ ABD= / EBDBD=BD

13、/ ADB= / EDBABD 9 AEBDAD = DE(ASA)【课堂练习】1 .如图，已知 AE平分/ BAC , AE垂直于 BE,且ED / AC , / BAE=36,那么/ BED=2.如图：BEXAC , CFXAB , BM=AC , CN=AB。求证：(1) AM=AN ; (2) AM LAN。综合题:已知在 ABC中，ABC 45 ,高AD所在的直线与高BE所在的直线交于点F ,过点F作FG / BC ,交直线AB于点G,联结CF. (1)当 ABC是锐角三角形时(如图 a所示)，求证：AD FG CD；(2)当 BAC是钝角时(如图b所示)，写出线段 AD、CD、FG

14、三者之间的数量关系，不必写出证明过程，直接写结论；当BE FE, BD 4时，求FG的长.可知 4FDC和4AFG都为等腰直角三角形第27 (b)题图(b)中FD=DC AF =FG ABD和AFG都为等腰直角三角形 AD=AF+FD ADC 9 ABDFAD=FG+DCDC = FDFD=AF +ADCD=FD【总结】常见辅助线的作法有以下几种：1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折” 2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”3) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知