华科线性代数复习重点

1、v1.0可编辑可修改第一部分行列式重点：1 .排列的逆序数（例4;第2、4题）2 .行列式按行（列）展开法则（例13;第9题）3 .行列式的性质及行列式的计算（第8题）【主要内容】1、行列式的定义、性质、展开定理、及其应用一一克莱姆法则2、排列与逆序3、方阵的行列式164、几个重要公式：（1）AAT;(2)A(3)kAknA； n 1(4) A* A一A0A*一AB|A|B；(6)*IABBOBA, i j0, i jnajAji1A,ij.0,ijnajAijj1（其中A,B为n阶方阵，k为常数）5、行列式的常见计算方法：（1）利用性质化行列式为上（下）三角形;（2）利用行列式的展开定理降阶

2、；（3）根据行列式的特点借助特殊行列式的值【要求】1、了解行列式的定义，熟记几个特殊行列式的值。2、掌握排列与逆序的定义，会求一个排列的逆序数3、能熟练应用行列式的性质、展开法则准确计算3-5阶行列式的值。4、会计算简单的n阶行列式。5、知道并会用克莱姆法则。第二部分矩阵1 .矩阵的运算性质2 .矩阵求逆及矩阵方程的求解（第17、18题；第5题）3 .伴随阵的性质（例9;第23、24题；第25题）、正交阵的性质（）4 .矩阵的秩的性质（至71;例13、14、15）【主要内容】1、矩阵的概念、运算性质、特殊矩阵及其性质。2、方阵的行列式3、可逆矩阵的定义、性质、求法（公式法、初等变换法、分块对角

3、阵求逆）。4、n阶矩阵A可逆A0A为非奇异（非退化）的矩阵。R（A）nA为满秩矩阵。AX0只有零解AXb有唯一解A的行（列）向量组线性无关A的特征值全不为零。A可以经过初等变换化为单位矩阵。A可以表示成一系列初等矩阵的乘积。5、矩阵的初等变换与初等矩阵的定义、性质及其二者之间的关系。6、矩阵秩的概念及其求法（1）定义法；（2）初等变换法）。7、矩阵的分块，分块矩阵的运算：加法，数乘，乘法以及分块矩阵求逆。【要求】1、了解矩阵的定义，熟悉几类特殊矩阵（单位矩阵，对角矩阵，上、下三角形矩阵，对称矩阵，可逆矩阵，伴随矩阵，正交矩阵）的特殊性质。2、熟悉矩阵的加法，数乘，乘法，转置等运算法则，会求方阵

4、的行列式。3、熟悉矩阵初等变换与初等矩阵，并知道初等变换与初等矩阵的关系。4、掌握矩阵可逆的充要条件，会求矩阵的逆矩阵。5、掌握矩阵秩的概念，会求矩阵的秩。6、掌握分块矩阵的概念，运算以及分块矩阵求逆矩阵。第三部分线性方程组1 .线性方程组的解的判定，带参数的方程组的解的判定2 .齐次线性方程组的解的结构(基础解系与通解的关系)3 .非齐次线性方程组的解的结构(通解)【主要内容】1、向量、向量组的线性表示：设有单个向量b,向量组A：1,2,n,向量组B:1 ,2,m，贝”(1)向量b可被向量组A线性表示R(1，2，,n)R(1，2，n，b)(2)向量组B可被向量组A线性表示R(1,2,n)R(

5、1,2,n,1,2,m)(3)向量组A与向量组B等价的充分必要条件是：R(1,2,n)R(1,2,m)R(1,2,n,1,2,m)(4)基本题型：判断向量b或向量组B是否可由向量组A线性表示如果能，写出表达式。解法：以向量组A：1,2,n以及向量b或向量组B：1,2,m为列向量构成矩阵，并对其进行初等行变换化为简化阶梯型矩阵，最终断定。2、向量组的线性相关性判别向量组1,2,s的线性相关、线性无关的常用方法：方法一：（1）向量方程k11k22kss0只有零解向量组1,2,s线性无关；（2）向量方程k11k22kss0有非零解向量组1,2,s线性相关。方法二：求向量组的秩R（1,2,s）（1）秩

6、（1,2,s）小于个数S向量组1,2,s线性相关秩R（1,2,s）等于个数s向量组1,2,s线性无关。（3）特别的，如果向量组的向量个数与向量的维数相同，则向量组线性无关以向量组1,2,，s为列向量的矩阵的行列式非零；向量组线性相关以向量组1,2,，s为列向i,u,s,u,s量的矩阵的行列式为零。3、向量组的极大无关组的概念（与向量空间的基、齐次线性方程组的基础解系的关系）及其求法。基本题型：判断向量组的相关性以及求出向量组的极大无关组。4、等价向量组的定义、性质、判定。5、向量组的秩与矩阵的秩之关系。【要求】1、掌握向量组、线性组合和线性表示的概念，知道两个向量组等价的含义。2、掌握向量组线

7、性相关、线性无关的定义，并会判断一个具体向量组的线性相关性。3、知道向量组的秩与矩阵的秩的关系，会求一个具体向量组的秩及其极大无关组。4、了解向量空间及其基和维数的概念第四部分向量组（矩阵、方程组、向量组三者之间可以相互转换）1 .向量组的线性表示2 .向量组的线性相关性3 .向量组的秩系数矩阵A的秩 未知量个数n；系数矩阵A的秩 未知量个数n.增广矩阵B (A,b)秩 系数矩阵 A的秩;增广矩阵B (A,b)秩 系数矩阵A的秩【主要内容】1、齐次线性方程组Ax0只有零解2、齐次线性方程组Ax0有非零解3、非齐次线性方程组Axb无解4、非齐次线性方程组Axb有解特别地，1)增广矩阵B(A,b)

8、的秩系数矩阵A的秩未知量个数n非齐次线性方程组Axb有唯一解；2)增广矩阵B(A,b)的秩系数矩阵A的秩未知量个数n非齐次线性方程组Axb有无穷多解。【要求】1、掌握齐次线性方程组解的性质、基础解系的求法，2、掌握非齐次线性方程组解的结构，熟悉非齐次线性方程组有解的等价条件。3、知道齐次与非齐次线性方程组的解之间的关系。4、会求解非齐次线性方程组。第五部分方阵的特征值及特征向量1 .施密特正交化过程2 .特征值、特征向量的性质及计算(例8、9、10;第7至13题)3 .矩阵的相似对角化，尤其是对称阵的相似对角化(第15、16、19、23题)【主要内容】1、向量的内积、长度、夹角等概念及其计算方

9、法。2、向量的正交关系及正交向量组的含义。3、施密特正交化方法。4、方阵的特征值与特征向量的概念及其计算方法。(1)特征值求法：解特征方程AE0；(2)特征向量的求法：求方程组AEX0的基础解系。5、相似矩阵的定义(P1APB)、性质(A,B相似R(A)R(B)、AB、A,B有相同的特征值)。6、判断矩阵是否可以对角化以及对角化的步骤，找到可逆矩阵P使得p1AP为对角矩阵。7、用正交变换法化二次型为标准形的步骤：(将实对称矩阵对角化)(D写出二次型的矩阵A.(2)求出A的所有特征值1,2,n(3)解方程组(iEA)X0(i1,2,n)求对应于特征值1,2,n的特征向量1,2,n(4)若特征向量

10、组1,2,n不正交，则先将其正交化，再单位化，得标准正交的向量组1,2,n，记P(1,2,n),对二次型做正交变换xPy,即得二次型的标准什/r222形f1y12y2nyn8、正定二次型的定义及其判定方法常用判定二次型正定的方法：（1）定义法（2）特征值全大于零（3）顺序主子式全大于零【要求】1、掌握向量的内积、长度、夹角，正交向量组的性质，会利用施密特正交化方法化线性无关向量组为正交向量组。2、掌握方阵特征值、特征向量的概念、求法，3、了解相似矩阵的概念、掌握化对称矩阵为对角矩阵的方法。4、掌握二次型的概念、会用正交变换化二次型为标准形。5、知道正定二次型的概念及其判定方法。线性代数要注意的

11、知识点1、行列式1. n行列式共有n2个元素，展开后有n!项，可分解为2n行列式;2. 代数余子式的性质：、Aj和a。的大小无关；、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0；Aj( 1)i jMij、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为|A;3. 代数余子式和余子式的关系：Mij（1）ijAij4. 行列式的重要公式:、主对角行列式：主对角元素的乘积;n(n1)、副对角行列式：副对角元素的乘积(1) 2、上、下三角行列式（、1）:主对角元素的乘积;n（n1）、I-I和，I:副对角元素的乘积（1）;、拉普拉斯展开式:a|b、(1)mn a|b、范德蒙行列式：大指标减小指标

12、的连乘积;、特征值5. 证明A0的方法:、1A1A;、反证法；、构造齐次方程组Ax0,证明其有非零解；、利用秩，证明r(A)n；、证明0是其特征值；2、矩阵A是n阶可逆矩阵：|A|0(是非奇异矩阵)；r(A)n(是满秩矩阵)A的行(列)向量组线性无关；齐次方程组Ax0有非零解；bRn,Axb总有唯一解；A与E等价；A可表示成若干个初等矩阵的乘积;A的特征值全不为0;ATA是正定矩阵；A的行(列)向量组是Rn的一组基；A是Rn中某两组基的过渡矩阵；6. 对于n阶矩阵A：AA*A*AAE无条件恒成立；1*11TT1*TT*7. (A)(A)(A)(A)(A)(A)_T_TT_*_*_1_11(AB

13、)BA(AB)BA(AB)BA8. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和;9. 关于分块矩阵的重要结论，其中均A、B可逆:A1A,若A.，则:As-1口、AA11A21As1_1iACA1A1CBOBOB111一、A OA OC BB 1CA 1 B3、矩阵的初等变换与线性方程组1. 一个m n矩阵A ,总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的:ErO等价类：所有与 A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵;对于同型矩阵A、B,若r(A) r(B) AB ;2. 行最简形矩阵：、只能通过初等行变换获得；、每行首个非0元素必须为1;、

14、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0;3. 初等行变换的应用：(初等列变换类似，或转置后采用初等行变换)r、若(A, E) “(E ,X),则 A 可逆，且 X A1;c、对矩阵(A, B)做初等行变化，当 A变为E时，B就变成A1B,即：(A, B) (E,A1B);、求解线形方程组：对于n个未知数n个方程Ax b,如果(A,b)(E,x),则A可逆，且x A 1b ;4. 初等矩阵和对角矩阵的概念：、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；，左乘矩阵A , i乘A的各行元素；右乘， i乘A的各列元素;、对调两行或两列，符号E(i,j)，且 E(i,

15、j) 1 E(i, j)，例如:1111、倍乘某行或某列1符号 E(i(k),且 E(i(k)E(i(),例如:k11k1(k10)倍加某行或某列，符号E(ij(k),且E(ij(k)1E(ij(k),如11 k111k1(k0);15. 矩阵秩的基本性质:、0r(Amn)min(m,n);、r(AT)r(A);、若A任B,则r(A)r(B);、若P、Q可逆，则r(A)r(PA)r(AQ)r(PAQ);(可逆矩阵不影响矩阵的秩)、max(r(A),r(B)r(A,B)r(A)r(B);(派)、r(AB)r(A)r(B);S、r(AB)min(r(A),r(B);(*)、如果A是mn矩阵，B是n

16、s矩阵，且AB0,则：()I、B的列向量全部是齐次方程组AX0解(转置运算后的结论)；口、r(A)r(B)n、若A、B均为n阶方阵，则r(AB)r(A)r(B)n;6. 三种特殊矩阵的方嘉：、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵(向量)行矩阵(向量)的形式，再采用结合律;1 a c、型如 01b的矩阵：0 0 1、利用特征值和相似对角化：7. 伴随矩阵：n、伴随矩阵的秩：r(A*)10、伴随矩阵的特征值：(AX、A* A A 1、A*An 1利用二项展开式r(A) nr(A) n 1 ；r( A) n 1X, A* A A 1 A*X iAX);8. 关于A矩阵秩的描述:、r(A) n , A中

17、有n阶子式不为0, n 1阶子式全部为0;(两句话)、r(A) n , A中有n阶子式全部为0；、r(A) n, A中有n阶子式不为0；9. 线性方程组：Ax b ,其中A为m n矩阵，则：、m与方程的个数相同，即方程组 Ax b有m个方程；、n与方程组得未知数个数相同，方程组Ax b为n元方程;10.线性方程组Ax b的求解:、对增广矩阵B进行初等行变换（只能使用初等行变换）；、齐次解为对应齐次方程组的解;、特解：自由变量赋初值后求得;11.由n个未知数m个方程的方程组构成n元线性方程:数）4、1.a11 X1a12 X2a21X1 a22X 2am1 X1am 2 X2a11a21a12a

18、 22am1a m2Hia1lbaxa2X2IIIana2a mnan有解的充要条件:a1nX n 矫a2nXnb2anm XbnX1X2XnX1X2bib2Ax b （向量方程，矩阵，m个方程，n个未知Xmbm（全部按列分块，其中hb2 );bn3nXnr(A)向量组的线性相关性（线性表出）r(A,（n为未知数的个数或维数）m个n维列向量所组成的向量组A :2 ,| 11, m构成n m矩阵Am个n维行向量所组成的向量组B:T 1T 2含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；、向量的线性表出Ax b是否有解；（线性方程组）、向量组的相互线性表示AX B是否有解；（矩阵方程）2. 、向量组的

19、线性相关、无关Ax0有、无非零解；（齐次线性方程组）3. 矩阵Amn与Bln行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组Ax0和Bx0同解；（P101例14）4. r（ATA）r（A）;（P101例15）5. n维向量线性相关的几何意义：、线性相关0；、线性相关坐标成比例或共线（平行）；线性相关共面;6.线性相关与无关的两套定理：若1,2,I”,s线性相关，则1,2,|,s，s1必线性相关；若1,2,|,s线性无关，则1,24bsi必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）若r维向量组A的每个向量上添上nr个分量，构成n维向量组B:若A线性无关，则B也线性无关；反之若B线性相关，则A也线性相关

20、；（向量组的维数加加减减）简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；7 .向量组A（个数为r）能由向量组B（个数为s）线性表示，且A线性无关，则rs；向量组A能由向量组B线性表示，则r（A）r（B）;向量组A能由向量组B线性表示AXB有解；r（A）r（A,B）向量组A能由向量组B等价r（A）r（B）r（A,B）8 .方阵A可逆存在有限个初等矩阵P1,P2,M|,P,使APP2|P；、矩阵行等价：ABc、矩阵列等价：aB、矩阵等价：ABPA B （左乘，P可逆）AQ B （右乘，Q可逆）PAQ B （ P、Q 可逆）；Ax 0与Bx 0同解9 .对于矢阵Amn与Bin、若A与B行等价，则A与B的行秩相等;、若A与B行等价，则Ax 0与Bx0同解，且A与B的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性；、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；、矩阵A的行秩等于列秩；10 .若AmsBsnCmn,则：、C的列向量组能由A的列向量组线性表示，B为系数矩阵；、C的行向量组能由B的行向量组线性表示，AT为系数矩阵；（转置）11 .齐次方程组Bx0的解一定是ABx0的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明;、ABx0只有零解Bx0只有零解;、Bx0有非零解ABx0一定存在非零解;12.设向量组Bnr：bl,b2,|,br