中考数学反比例函数综合练习题附答案

1、中考数学反比例函数综合练习题附答案一、反比例函数1 .已知点 A, B 分别是 x 轴、y 轴上的动点，点 C, D 是某个函数图象上的点，当四边形 ABCD(A，B，C, D 各点依次排列)为正方形时，我们称这个正方形为此函数图象的伴侣正方形”.例如：在图 1 中，正方形 ABCD 是一次函数 y=x+1 图象的其中一个 伴侣正方形”.c/肿L41111110/升03才X图1圉3(1)如图 1,若某函数是一次函数 y=x+1，求它的图象的所有 伴侣正方形”的边长；(2)如图 2,若某函数是反比例函数* A ( k 0)，它的图象的 伴侣正方形”为 ABCD, 点 D ( 2, m)( mv2

2、)在反比例函数图象上，求m 的值及反比例函数的解析式；(3)如图 3，若某函数是二次函数y=ax2+c ( a工)， 它的图象的 伴侣正方形”为 ABCD, C, D 中的一个点坐标为(3, 4)，请你直接写出该二次函数的解析式.【答案】(1 )解：(I)当点 A 在 x 轴正半轴、点 B 在 y 轴负半轴上时：正方形 ABCD 的边长为.(II)当点 A 在 x 轴负半轴、点 B 在 y 轴正半轴上时：设正方形边长为 a,易得 3a=.,解得 a=，此时正方形的边长为所求伴侣正方形”的边长为、或(2) 解：如图，作 DE 丄 x 轴，CF 丄 y 轴，垂足分别为点 E、F,321IELL0i

3、13 x易证 ADE BAOB CBF.点 D 的坐标为（2, m） , mv2, DE=OA=BF=m, OB=AE=CF=2- m .0F=BF+0B=2点 C 的坐标为(2 - m , 2). 2m=2 (2 - m)，解得 m=1.反比例函数的解析式为 y=A（3）解：实际情况是抛物线开口向上的两种情况中，另一个点都在（ 口向下时，另一点都在（3，4）的右侧，与上述解析明显不符合a、当点 A 在 x 轴正半轴上，点 B 在 y 轴正半轴上，点点为（4, 1），对应的函数解析式是y=-7 x2+7 ；b、 当点 A 在 x 轴正半轴上，点 B 在 y 轴正半轴上，点 D 坐标为（3, 4

4、）时：不存在，c、 当点 A 在 x 轴正半轴上，点 B 在 y 轴负半轴上，点 C 坐标为（3, 4）时：不存在d、 当点 A 在 x 轴正半轴上，点 B 在 y 轴负半轴上，点 D 坐标为（3, 4）时：另外一个顶点 C 为（-1, 3）,对应的函数的解析式是 y= 6 x2+S-【解析】【分析】（1）先正确地画出图形，再利用正方形的性质确定相关点的坐标从而计 算正方形的边长.（2） 因为 ABCD 为正方形，所以可作垂线得到等腰直角三角形，利用点D （2, m）的坐标 表示出点 C 的坐标，可求出 m 的值，即可得到反比例函数的解析式.（3）由抛物线开口既可能向上，也可能向下.当抛物线开

5、口向上时，正方形的另一个顶点也是在抛物线上，这个点既可能在点（3, 4）的左边，也可能在点（3, 4）的右边，过点（3, 4）向 x 轴作垂线，利用全等三角形确定线段的长即可确定抛物线上另一个点的坐标；当抛物线开口向下时也是一样地分为两种情况来讨论，即可得到所求的结论.2.如图，P1、P2（ P2在 P1的右侧）是 y=（k 0）在第一象限上的两点，点A1的坐标为（2, 0）.1(3，4）的左侧，而开C 坐标为（3, 4）时：另外一个顶e、当点 A 在 x 轴负半轴上，点 B 在 y 轴负半轴上，点 C 坐标为（22lo4）时，另一个顶点的坐标是（7，- 3 ）时，对应的函数解析式是y=-f、

6、当点 A 在 x 轴负半轴上，点 B 在 y 轴负半轴上，点x2+C 坐标为（4）时，另一个顶点的坐标是 （-4,故二次函数的解析式分别为：y=x2+或 y=*x2+2232+10 x2+0A1x（1）填空：当点 Pi的横坐标逐渐增大时，P10A1的面积将 _（减小、不变、增大）（2 ）若厶 PiOAi与厶 P2A1A2均为等边三角形，1求反比例函数的解析式；2求出点 P2的坐标，并根据图象直接写在第一象限内，当X 满足什么条件时，经过点kPi、P2的一次函数的函数值大于反比例函数y= *的函数值.【答案】（1）减小 P1OA1是等边三角形， / P1OA1=60 又TP1B 0A1,OB=B

7、A1=1, P1B=, P1的坐标为（1 ,）,代入反比例函数解析式可得k=.,反比例函数的解析式为 y= ; 如图所示，过 P2作 P2C 丄 A1A2于点 C, F2A1A2为等边三角形， / F2A1A2=60 设 A1C=x 贝 U P2C= 2 x,点 P2的坐标为（2+X, X）,代入反比例函数解析式可得（2+x） . x=-, 解得 X1= - 1 , X2=-L*- 1 （舍去），0C=2+kW - 1 =应 + 1, P2C=观（农1）=萌萌, 点 F2的坐标为（丿包+1，心心-/ ）,k 当 1Vx0）在第一象限内的一点，O 为坐标原点，直线 OA 交双曲线于另一点 C,当

8、 OA 在第一象限的角平分线上时，将OA 向上平移 个单位后，与双曲线在第一象限交于点 M，交 y 轴于点 N，若 I 屈=2,y/ *0（1）求直线 MN 的解析式；（2 ）求 k 的值.【答案】（1）解：/ OA 在第一象限的角平分线上，直线 OA 的解析式为 y=x,- I将 OA 向上平移二个单位后，N （ 0,芒），可设直线 MN 的解析式为 y=x+b,I斗IdJJ把 N（ 0,）代入，可得 b=,直线 MN 的解析式为 y=x+（2） 解：如图所示，过 A 作 AB 丄 y 轴于 B，过 M 作 MD 丄 y 轴于 D ,则/ MDN= / ABO=90 ,JD*0由平移可得，

9、/ MND= / AOB=45 ,MDNABO,住AC=2,设 A (a, a),贝 U AB=a,i MD= a=DN, DO= a+ , M (归 a,松 a+ ),双曲线经过点 A, M ,IJk=axa=ax -d、a+ ),解得 a=1, k=1.【解析】【分析】(1)第一三象限角平分线为 y=x,向上平移为 y=x+b,可求出 N 点坐标，代 入 y=x+b,即可求出；(2)通过作垂线构造相似三角形，即MDNABO,把 A、M 坐标 代入解析式即可求出 a,进而求出 k.4.函数学习中，自变量取值范围及相应的函数值范围问题是大家关注的重点之一，请解决 下面的问题.(1)分别求出当

10、2wxw时，三个函数：y=2x+1, y= x , y=2 (x- 1)2+1 的最大值和最小(4)y=2 (x-m)2+m - 2,当 2wxW时有最小值为 1，求 m 的值.值；(2)的值不大于 2,求符合条件的 x 的范围;(3)若 y=,当 awxw时既无最大值，又无最小值，求a 的取值范围;(4) 解：当 mv2 时，有 2 (2 - m)2+m- 2=1,J解得：m1=1, m2=-(舍去)； 当 2 m4 时，有 2 (4 - m)2+m - 2=1,整理得：2m2- 15m+29=0 ./ = (- 15)2- 4X2X29-7,无解.9呂 m 的值为 1 或 3.当 k0 时

11、，如图得当 0vx0, y 随 x 的增大而增大，当 x=2 时，y最小=5;当 x=4 时，y最大=9./y=A中 k=2 0,在 2 0,且抛物线的对称轴为x=1,当 x=1 时，y最小=1 ；当 x=4 时，y最大=19(2)解：令 y=1 1符合条件的 x 的范围为 xv0 或 x1(3)解：当 k0 时，如图得当 0vx2时,时，且 ax0 时，有最大值卫，无最小值,y= 无最大值，有最小值 匸，同理当 av0A当 kv0 时，如图得当 0vx2时，y=J无最小值，有最大值IAA，同理当 av0 时，且 ax0 时，y有最小值d，无最大值,a 的取值范围是 av0又无最小值，综上所述

12、,理当 av0 时，且 a 0 结合一次函数的性质即可得出：当的最大值和最小值；根据二次函数的解析式结合二次函数的性质即可得出：当2y=2 （x- 1）2+1 的最大值和最小值；（2）令 y= v0 时，如图得当 OvxW2时，得到 y=无最大值，有最小值 且 ax0 时，得到有最大值凶，无最小值，当 kv0 时，如图得当 0vx2时，y=-|Ak二;，同理当 av0 时，且 av0 时，y；有最小值占，无最大值，于是得到结论；（4）分 mv2、24 三种情况考虑，根据二次函数的性质结合当 2 x 0）与 y2= -（xv0）的图象如图所示，kW点 A、B 是函数 yi=A（x 0）图象上的两

13、点，点 P 是 y2=-x （xv0）的图象上的一点，且AP/ x 轴，点 Q 是 x 轴上一点，设点 A、B 的横坐标分别为 m、n（rnn）.xW22寸，y=av0 时，且 ax0 时，y有最小值，无无最小值，有最大值，同理当ky=；既无最大值，又无最小值，综上所述,最大值，当 kv0, av0 时，此时, 范围是 av0;yKa2l-L:_ dO2 kXa 的取值2xw4寸，y=2x+12wxw4寸，同理当 av0 时,无最小值，有最大值 MN=m-(-m)=2m,PM=,S矩形PMNA=2mX=8,四边形 PMQR、四边形 ARQN 是矩形，(1)(2)(3)求 APQ 的面积；若厶

14、APQ 是等腰直角三角形，求点 Q 的坐标; 若厶 OAB 是以 AB 为底的等腰三角形，求 mn(1 )解：过点 P、A、Q 分别作 PM的【答案】于点 N, QR AP 轴交 AP 轴于点 R,则四边形x 轴交 x 轴于点 M , PN - x 轴交 x 轴APMN、四边形 PMQR、四边形 ARQN 是上,.PQM=SAPRQ,SAANQ=SARQ, SAAPQ=SAPRQ+SA ARQ=冏 S矩形PMNA=4(2) 解：当 PQ - x 轴时，则 PQ= , ,AP=2m,/ PQ=AP42m=皿皿,m= 一 | 小任、色(-0),当 PQ= AQ 时，贝 U(3) 解： OAB 是以

15、 AB 为底的等腰三角形， OA= OB,p4 A (m,血),B(n,n),sf七七()-rf ()肿n mn=4.【解析】【分析】(1)过点 P、A、Q 分别作 PM 丄 x 轴交 x 轴于点 M, PN 丄 x 轴交 x 轴 于点 N, QR丄 AP 轴交 AP 轴于点 R,则四边形 APMN、四边形 PMQR、四边形 ARQN 是矩 形，根据点 A 的横坐标为 m，利用函数解析式表示出点A 的坐标和点 P 的坐标，最后用三角形的面积公式即可得出结论。(2)分情况讨论：当 PQ=AP 和当 PQ= AQ 时，利用等腰直角三角形和AP/ x 轴，建立方程求解即可；(3 )利用等腰三角形的两

16、腰相等建立方程，即可得出结论。AD.设 AC=1 ,贝 U BD=BA=2, BC= . tanD=tan15 =住住问=a=60,3=45 代入差角正切公式：tan15 =tan (60 - 45 =-%；思路三 在顶角为 30的等腰三角形中，作腰上的高也可以思路四请解决下列问题(上述思路仅供参考).(1)类比：求出 tan75 勺值;(2)应用：如图 2，某电视塔建在一座小山上，山高BC 为 30 米，在地平面上有一点A,测得 A, C 两点间距离为 60 米，从 A 测得电视塔的视角(/ CAD)为 45求这座电视塔CD 的高度；II4(3)拓展：如图 3，直线 护与双曲线1交于 A,

17、B 两点，与 y 轴交于点 C,将直线 AB 绕点 C 旋转 45后，是否仍与双曲线相交？若能，求出交点P 的坐标；若不能，请说明理由.延长 CB 至点 D,使 BD=BA 连接 AD.设 AC=1,贝 UDCDB BC 1i-BD=BA=2, BC=V . tan / DAC=tan75=Ac:= =二二亠苗i Vtan5 * tanJtf 7+VpD- J方法二：tan75 tan (45+30 = /_I an/J tanJO =:; =3(2 )解：如图 2,思路二 利用科普书上的和(差)角正切公式:tana)3=士士tailt? tan .假设t- tan5BC 30 I在 RtAA

18、BC 中，AB= .加严-加加=-防防=,sin/ BAC=,即DB/ BAC=30 : / / DAC=45 ； / / DAB=45+30 =75 在 RtAABD 中，tan / DAB=彳方, DB=AB?tan/ DAB=30 ?(兰亠谄)=込弓 +少,. DC=DB- BC=必归70孔孔=答：这座电视塔 CD 的高度为(康上 F 宅)米3.过点 C(-2,AF=1-(-1 )=2 , tan / ACF=AF 2 I二 - HCF百f2 tan / PCE=tan (/ ACP+/ ACF ) =tan(45 + /ACF) =m1卫=3,即& =3.设点P 的坐标为(a,

19、 b),(3)解：若直线 AB 绕点 C 逆时针旋转 45后，与双曲线相交于点P,如图-333, 点 P 的坐标为（-1, - 4 ）或（d , 3）;与 x 轴相交于点 G,如图 4.由 可知/ ACP=45 , P （ 5 , 3），贝 U CP 丄 CG.过点 P 作 PH 丄 y 轴于 H,则,G0=3, G (- 3, 0).设直线 CG 的解析不存在.综上所述：直线 AB 绕点 C 旋转 45后，能与双曲线相交，交点（,3）.【解析】 【分析】tanZDAC=tan75 , tanZDAC 用边的比值表示在 RtAABC 中，由勾股定理求出 AB,由三角函数得出ZBAC=30，从而

20、得到ZDAB=75，在 RtAABD 中，可求出DB, DC=DB- BC 分两种情况讨论，设点 P 的坐标为（a, b），根据 tanZPCE 和 P 在图像 上列出含有 a, b 的方程组，求出 a, b.利用已知证明GOSACHP,根据相似三角形的性 质可求出 G 的坐标，设出直线 CG 的解析式，与反比例函数组成方程组消元，0 点 P 不f - 3k b = 0式为y = Ax b，则有：b -/，解得：心-丿,直线 CG 的解析式为1v = x -f31441r - jr - /v =-F -x - 1联立：X，消去y,得：*3，整理得:淨淨-X 1 X财二财二-39 _/A02X1

21、试求 PAD 的面积的最大值；2探索：在点 D 运动的过程中，四边形PAEC 能否为平行四边形？若能，求出此时点 D 的坐标；若不能，请说明理由.【答案】（1 ）解：如图 1,新函数的性质：1函数的最小值为 0; 2函数图象的对称轴为直 线 x=3.由题意得，点 A 的坐标为（-3, 0），分两种情况：1当 x-3 时，y=x+3;2当 x-3 时，设函数解析式为 y=kx+b,在直线 y=x+3 中，当 x=-4 时，y=-1,则点（-4, -1）关于 x 轴的对称点为（-4, 1）,把点（-4, 1）,（ -3, 0）,代入 y=kx+b 中，i- Ik + b = 1得：I%讥讥,i A

22、 - 1解得：I = - J y=-x-3.孟十孟十3（K鼻鼻3)综上，新函数的解析式为y=T- J 6r -3)（2 ）解：如图 2,点 C （1, a）在直线 y=x+3 上, a=4,点 C ( 1, 4)在反比例函数 y= 上, k=4,4反比例函数的解析式为存存. 点 D 是线段 AC 上一动点，设点 D 的坐标为(m , m+3)，且-3m1 ,DP/ x 轴，且点 P 在双曲线上，点 P 的坐标为(承卫，m+3), PD= -m,- SAPAD=-（埔3-m） （ m+3） = m2-_m+2=上（m+二）2+& ,1ia|/ a=-0,d2b当 m=:时，S 有最大值，

23、最大值为8 ,3又 -3 1 时，一次函数的值大于反比例函数的值E,点 B 在一次函数上， p=3+仁 4,点 C 在反比例函数上， q=,1Q2J6SAABC=二BC?EN=(4 -5) x (3-i)=T【解析】【分析】由反比例函数经过点D (-2, -1)，即可求得反比例函数的解析式；然后求得点 A 的坐标，再利用待定系数法求得一次函数的解析式；结合图象求解即可求得 x 在什么范围内，一次函数的值大于反比例函数的值；首先过点 A 作 AE 丄 x 轴交 x 轴于点 E,由直线 I 与 x 轴垂直于点 N (3, 0)，可求得点 B, C 的坐标，继而求得答案.9.如图，过原点的直线 y=

24、kix 和 y=k2x 与反比例函数 y=的图象分别交于两点 A, C 和D,连接 AB, BC, CD, DA.E,B,(1) 四边形(2) 四边形明理由；ABCD - -定是ABCD 可能是矩形吗？若可能，试求此时ki, k2之间的关系式；若不能,(3)设 P (Xi, yi), Q (X2, y2)( X2xi 0)是函数 y=图象上的任意两点,a=,b=，试判断 a, b 的大小关系，并说明理由.【答案】(i)平行(2)解：正比例函数 y=kix (ki0)与反比例函数 y=的图象在第一象限相交于A, kix= ，解得 x=“ 1 呛带入 y=kix 得 y=h：r J(因为交于第一象

25、限，所以负根舍去，只保留正根)将 x=故 A 点的坐标为)同理则 B 点坐标为(心，伍)，C又 OA=OB,Tkip,所以 kik2 1=0, 即卩 kik2=1;(3) 解：/ P (Xi, yi), Q (X2, y2)( X2xi0)是函数 y=議图象上的任意两点,a b 0, a b.1【解析】【解答】解：(1)T直线 y=kix 和 y=k2X 与反比例函数 y=的图象关于原点对 称，OA=OC, OB=OD,四边形 ABCD 是平行四边形; 故答案为：平行；【分析】 (1)由直线 y=kiX 和 y=k2X 与反比例函数 论.(2)联立方程求得 A、B 点的坐标，然后根据1 1，两

26、边平分得+ki= +k2,整理后得整理后得(ki- k2)，两边平方得:(kik2 1) =0,(Xi+X2)0,y=的图象关于原点对称，即可得到结ki k2)( kik2 1) =0,根据 kik,则 kik2仁 0,即可求得;y=图象上的任意两点，得到X1X20 ,加二仏. 0,(3)由 P(Xi,yi),Q (X2,y2)(X2Xi0)是函数a10.综合与探究I 如图，抛物线 卜-.川的图象经过坐标原点 0,且与 轴的另一交点为（y - 1十十-（2） 若直线与抛物线相交于点 A 和点 B（点 A 在第二象限），设点 A是点 A 关 于原点 0 的对称点，连接A,试判断AA的形状，并说明

27、理由；（3） 在问题（2）的基础上，探究：平面内是否存在点 P,使得以点 A, B, A, P 为顶点的四边形是菱形？若存在直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）解：抛物线 y=x2+bx+c 的图象经过点（0, 0）和（，0）,c - 0- - 一b *b二（3解得：；F二二”！* xb= 0，即可得到结果.解得:23 7T32方公), A),在 Rt AO(中c, D,B(一-p*3OA=?点 A 与点 A 关于原点对称, A(/ B(),AAJ-=),6 A B=2?)=,又A( AD=亦亦耳23_ iS_3二),B(3 “ 3),BD=,在 Rt ABD 中AB= A

28、A =A B=AB AA 是等边三角形(3)解：存在正确的点 P,且以点 A、B、A、P 为顶点的菱形分三种情况; 设点 P的坐标为：(x, y).x-= X2r33t2当 A为对角线时，有3解得：点 P 为:当 AB 为对角线时，有10解得:点 P 为:当 AA为对角线时，有解得:点 P 为:综合上述,X -fV 3CPj【解析】 【分析】（1 ）根据点的坐标，禾 U 用待定系数法即可求出抛物线F 的解析式；（2）先求出点 A、B 的坐标，利用对称性求出点 A的坐标，利用两点间的距离公式（勾股 定理）可求出 AB、AA、AB 的值，由三者相等即可得出 AA B 为等边三角形；（3）根据等边三

29、角形的性质结合菱形的性质，可得出存在正确得点P,设点 P 的坐标为（x, y）,分三种情况考虑： 当 AB为对角线时，根据菱形的性质（对角线互相平分）可求出点的坐标；当 AB 为对角线时，根据菱形的性质（对角线互相平分）可求出点P 的坐标;3当 AA为对角线时，根据菱形的性质（对角线互相平分）可求出点P 的坐标综上即可得出结论.11.如图，在矩形 ABCD 中，AB= 6 , BC= 4,动点 Q 在边 AB 上，连接 CQ , 将厶 BQC 沿 CQ 所在的直线对折得到CQN ,延长 QN 交直线 CD 于点 M . DC即 / MCQ=ZCQB, BQC 沿 CQ 所在的直线对折得到CQN

30、 /CQN=ZCQB, 即/ MCQ=ZMQC, -MC=MQ (2)解：四边形 ABCD 是矩形， BQC 沿 CQ 所在的直线对折得到CQN, /CNM=ZB=90设 DM=x，贝 U MQ=MC=6+x, MN=5+x,在 RtACNM 中，MB2=BN2+MN2,即(x+6)2=42+ (x+5)2,J解得：x=,（备用團）(2)求证：MC= MQ当 BQ= 1 时，求 DM的长;过点 D 作 DE 丄 CQ ,（3）BQ 的长.【答垂足为点 E ,直线 QN 与直线四边形ABCD是矩形,（备用團）DF1DE 交于点 F ,且印:;，求AB(1) DM= DM 的长 2.5.(3 )解

31、：解：分两种情况：当点 M 在 CD 延长线上时，如图所示:DE 丄 CQ, / CDE=/ F,又 / CDE=/ FDM , / FDM=/ F, MD=MF .过 M 点作 MH 丄 DF 于 H,贝 U DF=2DH,I)F I又,DU_1_ 庞五,DE 丄 CQ MH 丄 DF, / MHD= / DEC=90 / MHD DECMi) J保_矿7 ? DM=1 , MC=MQ=7 , MN =加加-就甘二廿-*=间 BQ= NQ= 当点 M 在 CD 边上时，如图所示，类似可求得BQ=2.综上所述，BQ 的长为或 2.【解析】【分析】（1 ）由矩形的性质得出/ B=90 , AB=CD=6, CD/ AB ,得出/ MCQ=ZCQB ,由折叠的性质得出 CBGACNQ ,求出 BC=NC=4, NQ=BQ=1 , / CNQ=ZB=90 ；/ CQN=ZCQB,得出 / CNM=90 / MCQ=ZCQN,证出