高中物理竞赛培训技巧《运动学》

1、 高中物理竞赛培训高中物理竞赛培训运动学部分运动学部分 一、数形结合处理竖直上抛一、数形结合处理竖直上抛 对于某些较难求解的问题，按数形结合的思想分析处理，对于某些较难求解的问题，按数形结合的思想分析处理，物理过程将大大简化，计算快速便捷。竖直上抛的统一物理物理过程将大大简化，计算快速便捷。竖直上抛的统一物理公式是公式是 2021gttx位移实际上是时间的二次函数，其图像是抛物线。位移实际上是时间的二次函数，其图像是抛物线。 例题例题一个以一个以30m/s30m/s的初速度将小球上抛，每隔的初速度将小球上抛，每隔1 1秒抛出一球，秒抛出一球，假设空气阻力，可以忽略不计，而且升降的球并不相碰，问

2、（假设空气阻力，可以忽略不计，而且升降的球并不相碰，问（1 1）最多能有几个球在空中？（最多能有几个球在空中？（2 2）设在）设在t=0t=0时将第时将第1 1个球抛出，在哪个球抛出，在哪些时刻它和以后抛出的小球在空中相遇而过？些时刻它和以后抛出的小球在空中相遇而过？分析：子弹同地出发，设第一颗子弹射出分析：子弹同地出发，设第一颗子弹射出t t后经后和另一颗子弹相遇，则另一颗子弹后经后和另一颗子弹相遇，则另一颗子弹在空中的时间为在空中的时间为t-n(n=1,2)t-n(n=1,2)方法一：位移相等法方法一：位移相等法子弹同地出发，空中相遇时位移相等，由竖直上抛规律可得子弹同地出发，空中相遇时位

3、移相等，由竖直上抛规律可得220011()()22tgttng tn32nt 考虑到考虑到026tsg则则n=1,2,3,4,5n=1,2,3,4,5时所对应时所对应t t的为的为3.5s,4s,4.5s,5,5.5s3.5s,4s,4.5s,5,5.5s分别为第分别为第2 2，3 3，4 4，5 5，6 6颗子弹和第颗子弹和第1 1颗子弹相遇的时刻颗子弹相遇的时刻方法二：速率对称法方法二：速率对称法竖直上抛物体上升和下降经过空中同一位置时，速度总是大竖直上抛物体上升和下降经过空中同一位置时，速度总是大小相等，方向相反小相等，方向相反00()()gtg tn32nt 方法三：利用图象法方法三：

4、利用图象法作出子弹的运动的作出子弹的运动的s-ts-t图图拓展：杂技演员表演抛四球游戏时，每隔相等的时间就抛出一球，拓展：杂技演员表演抛四球游戏时，每隔相等的时间就抛出一球，若空中总有三球，手中总有一球，假设各球上升的最大高度都是若空中总有三球，手中总有一球，假设各球上升的最大高度都是1.25m1.25m，求每个球在手中停留的时间及当此人接住第一球时，其它，求每个球在手中停留的时间及当此人接住第一球时，其它三球的高度三球的高度分析：每个球上升的最大高度都是分析：每个球上升的最大高度都是1.25m1.25m，故各球在空中运动的时间都是，故各球在空中运动的时间都是1s1s要使空中总有三球，手中总有

5、一球，故当抛第四球时，要求第一要使空中总有三球，手中总有一球，故当抛第四球时，要求第一球恰好回到手中，位移抛物线如图所示，球恰好回到手中，位移抛物线如图所示，各球在手中停留的时间都是各球在手中停留的时间都是1/3s1/3s学生练习：一杂技演员，用一只手表演抛球、接球。每隔学生练习：一杂技演员，用一只手表演抛球、接球。每隔0.4s0.4s抛出一球，接到球后便立即把球抛出。已知除正在抛、接球的抛出一球，接到球后便立即把球抛出。已知除正在抛、接球的时刻外，空中共有四球，球上升的最大高度。时刻外，空中共有四球，球上升的最大高度。分析：手中无球时，空中球的个数即为表演用的球的个数，因此分析：手中无球时，

6、空中球的个数即为表演用的球的个数，因此本次表演共有本次表演共有4个球，由于不计球在手中停留的时间，因此可画出个球，由于不计球在手中停留的时间，因此可画出当第一个球恰好回到手中时，各球在空中的分布情况。当第一个球恰好回到手中时，各球在空中的分布情况。如图，第如图，第3 3个球位于最高点，个球位于最高点，2 2、4 4两球等高，由于上半两球等高，由于上半段平均速度小，下半段平均速度大，故段平均速度小，下半段平均速度大，故2 2、4 4两球位于两球位于半高度的上方半高度的上方。每个球空中的循球周期每个球空中的循球周期44 0.41.6Tts 上升的时间为上升的时间为/20.8tTs上升的高度为上升的

7、高度为213.22hgtm每隔每隔t t时间抛出一球，共有时间抛出一球，共有n n个球个球, ,试求每个球到达的最大高试求每个球到达的最大高度度h h每个球从手中抛出后都是经过每个球从手中抛出后都是经过T=nT=nt t的时间落回手中，的时间落回手中，经时间经时间t=T/2= nt=T/2= nt/2t/2上升到最高点，故最大高度上升到最高点，故最大高度2221128hgtgnt几何上的相似性不一定带来等价的物理原理上的相似性几何上的相似性不一定带来等价的物理原理上的相似性例题：摄制电影时，为了拍摄下落物体的特写镜头，做了一个线度为例题：摄制电影时，为了拍摄下落物体的特写镜头，做了一个线度为1

8、/491/49实实物的的模型。放电影时，走片速度为每秒物的的模型。放电影时，走片速度为每秒2424张，为了使动画逼真，拍摄时走张，为了使动画逼真，拍摄时走片速度应为多大？模型的运动速度应为实物运动速度的多少倍？片速度应为多大？模型的运动速度应为实物运动速度的多少倍？设实物在时间设实物在时间t t内下落的高度为内下落的高度为h,h,而模型用时间而模型用时间t t0 0下落了对应的高度下落了对应的高度h h0,0, ,则则由自由落体公式应有由自由落体公式应有22001212hgthgt利用的辅助条件利用的辅助条件0149hh017tt可见放电影时应将模型运动时间可见放电影时应将模型运动时间“放大放

9、大”7 7倍，才能使人们看电影时欣赏到逼真倍，才能使人们看电影时欣赏到逼真的画面。为此，在拍摄电影时，拍摄的走片速度应为放映时走片速度的的画面。为此，在拍摄电影时，拍摄的走片速度应为放映时走片速度的7 7倍。倍。24/7168/张 秒张 秒又设实物在某段时间又设实物在某段时间t t内以速度内以速度通过位移通过位移s s，而模型与之对应的量则分别是时间，而模型与之对应的量则分别是时间t t0 0 、速度、速度0 0 、位移、位移s s0 0 ，由于有，由于有017tt0149ss000/1/7stst最速路径：例题最速路径：例题1 二、二、最速路径问题最速路径问题何谓最速路径问题？何谓最速路径问

10、题？ AB 著名的著名的“伽利略最速路径问题伽利略最速路径问题”：伽利略的答案：圆弧曲线伽利略的答案：圆弧曲线 （错误）（错误）伯努利兄弟的答案：滚轮曲线的一部分伯努利兄弟的答案：滚轮曲线的一部分（正确）（正确）1 最速路径问题最速路径问题寻找一条运动时间最短的路径寻找一条运动时间最短的路径从两条路经中找出运动时间较短的一条从两条路经中找出运动时间较短的一条 问题问题1、如图所示，地面上有一固定的球面，如图所示，地面上有一固定的球面，球面的斜上方球面的斜上方P处有一小球。现要确定一条从处有一小球。现要确定一条从P到到球面的光滑倾斜直轨道，使小球从静止开始沿轨球面的光滑倾斜直轨道，使小球从静止开

11、始沿轨道滑行到球面所历的时间最短。道滑行到球面所历的时间最短。P分析：分析：先凭直觉猜一猜结果？先凭直觉猜一猜结果？最速路径：例题最速路径：例题1 先讨论先讨论 预备问题、预备问题、 如图，地面附近有一空心球，过顶点如图，地面附近有一空心球，过顶点P有很多光滑直轨道抵达球内表面。试证明小球沿任意有很多光滑直轨道抵达球内表面。试证明小球沿任意轨道从静止出发到达球内表面所花的时间相同。轨道从静止出发到达球内表面所花的时间相同。P证明：证明：任取一条轨道任取一条轨道PQ，PQ和水平面夹角为和水平面夹角为.PQ的长为的长为 sin2Rl 下滑的加速度下滑的加速度Qgg/ sin/gg 所以所以/2gl

12、tQP 由于由于QPt 与与无关，无关，故对应任意轨道的时间均相同。故对应任意轨道的时间均相同。gRgR2sinsin4 解原题：解原题：PQ 以以P为顶点作一球面，使其与所给球面相切于为顶点作一球面，使其与所给球面相切于Q，则线段则线段PQ即为所求的轨道。即为所求的轨道。（1）作图确定线段）作图确定线段PQ：ORRO关键是确定球心关键是确定球心O 过过P点作竖直线点作竖直线AB, 且使且使AP等于等于R，连接连接A、O，作作AO的中垂线与直线的中垂线与直线AP相相交，交点交，交点O即为所求的球心。即为所求的球心。连接连接O与与O所得交点即为所得交点即为Q.AB（2）证明线段）证明线段PQ为所

13、求：为所求：Q1Q2略。略。最速路径：例题最速路径：例题1 题后总结题后总结最后的作图方法较困难最后的作图方法较困难本题还可以用分析法解答本题还可以用分析法解答PKagPN212PMat222?PMPM PNtagPK2tanPM PNPTconst接下来如何思考呢？接下来如何思考呢？OPOcosPCHRLOP222()2cosRrLrLr222222 cos2LRLRrRLH22min2()2rLRtgHg相关变换：竖直平面内建立直角坐标系相关变换：竖直平面内建立直角坐标系xoyxoy，x x轴水平，过抛物轴水平，过抛物线线x x2 2 =2py=2py的焦点弦是一刚性的光滑轨道，一小物块从

14、轨道上端的焦点弦是一刚性的光滑轨道，一小物块从轨道上端A A无初速释放，问滑到轨道底端无初速释放，问滑到轨道底端B B所用时间最小为多少？此时所用时间最小为多少？此时ABAB与水平面的夹角满足什么条件？与水平面的夹角满足什么条件？焦点焦点F F（0 0、p/2)p/2)ABAB的直线方程的直线方程xtgpy2pyx220222pptgx22pxxptgxxBABA22cos2cos4)(cospxxxxxxBABABA2sin21tg 渡河中的流速线性变化问题渡河中的流速线性变化问题例题：河流宽度为例题：河流宽度为L L，流速与离岸的距离成正比，岸边流速为零，流速与离岸的距离成正比，岸边流速为

15、零，河中心流速为河中心流速为v v0 0，一小船以恒定的相对速度，一小船以恒定的相对速度v vr r垂直于流速方向，从垂直于流速方向，从一岸驶向另一岸，试求小船的运动轨迹。一岸驶向另一岸，试求小船的运动轨迹。kyu K K如何定？如何定？Lk02yLu02ryxyLu02020yrxaLatytaxrx22120yLxr抛物线？抛物线？LxLyr42011tyytatxxyxx0120121tyytLtxxrr120012消去消去t,得到什么？得到什么？另一岸时，另一岸时，y=Ly=L质点动态多边形的会聚问题质点动态多边形的会聚问题 例题、例题、A、B、C三个芭蕾舞演员同时从边长为三个芭蕾舞演

16、员同时从边长为l 的正三角形顶点出发，以相对地的相的正三角形顶点出发，以相对地的相同的速率同的速率v运动，运动中始终保持着运动，运动中始终保持着A朝着朝着B、B朝着朝着C、C朝着朝着A，试问经多少时间三人相，试问经多少时间三人相聚？每个演员跑了多少路程？聚？每个演员跑了多少路程？ABC解：解：三位演员的运动是匀速直线运动还是匀速曲线运动？三位演员的运动是匀速直线运动还是匀速曲线运动？在运动过程中三位演员的位置有什么关系？在运动过程中三位演员的位置有什么关系？三位演员作相同的匀速率曲线运动。三位演员作相同的匀速率曲线运动。 三位演员任何时候的位置均构成正三角形。但三位演员任何时候的位置均构成正三

17、角形。但诸三角形的边长越来越短。诸三角形的边长越来越短。 最后三位演员在何处相遇？最后三位演员在何处相遇？ 三位演员最终在三角形三位演员最终在三角形ABC的中心相遇。此时三的中心相遇。此时三角形边长缩短为零。角形边长缩短为零。 研究三角形的边长的变化情况，设法找出研究三角形的边长的变化情况，设法找出三角形边长由三角形边长由l 缩短为零所用的时间！缩短为零所用的时间！ ABC将从开始到相遇的时间将从开始到相遇的时间t分为分为n份小量时间份小量时间t：设每经过设每经过t 的时间后三角形的边长依次缩短为：的时间后三角形的边长依次缩短为：时，三演员相遇。时，三演员相遇。当当0nl，：1111lCBA

18、，2222:lCBA ，.nnnnlCBA： 1A1B1C2A2B2C如图，依据小量近似有如图，依据小量近似有60costvtvl 60cos11111BBAAlBAltvl 23tvtvl 21tvll 2312tvtvl 2323tvl 232tvnlln 23, n令令，则有则有0nl故有故有.230vtl 由此得由此得.32vlt . ttn 另解：另解： 设经过某一小量时间设经过某一小量时间t后，三角形的边长后，三角形的边长由由x变为变为x.如图，由余弦定理：如图，由余弦定理：x tvx 60cos)(2)()(222tvxtvtvxtvx tv x222)(33tvtxvx 略去二

19、阶小量得：略去二阶小量得：txvxx 322由此式来研究在由此式来研究在t时间内三角形边长的缩短时间内三角形边长的缩短量（量（x - x）！进而找出缩短的速率！）！进而找出缩短的速率！由此式有由此式有21)31(xtvxx 即得到即得到tvxx 23的速度缩短的。的速度缩短的。显然三角形的边长是以显然三角形的边长是以v23三角形的边长缩短至零的时间即为所求时间：三角形的边长缩短至零的时间即为所求时间：.3223vlvlt )231(xtvx 思考题思考题1 1：此类问题亦可进一步推而广之，假设有个：此类问题亦可进一步推而广之，假设有个人同时从边长为的正边形顶点出发，以相同速率运动，人同时从边长

20、为的正边形顶点出发，以相同速率运动，运动中始终保持运动中始终保持1 1朝着朝着2 2，2 2朝着朝着3 3，(n-1)(n-1)朝着朝着n,nn,n朝着朝着1,1,试问经过多少时间相遇？试问经过多少时间相遇？ 2(1 cos)tn思考题思考题2 2：假如演员的速率不变，加速度的大小如何变化？：假如演员的速率不变，加速度的大小如何变化？232a 光反射定律的类比应用光反射定律的类比应用某些质点的运动类似光的反射现象，若应用光的反射定某些质点的运动类似光的反射现象，若应用光的反射定律可使复杂的问题得到简单的求解。律可使复杂的问题得到简单的求解。 例题、例题、 如图，光滑水平面上两根刚性细杆如图，光

21、滑水平面上两根刚性细杆OM、ON成成15夹角交于夹角交于O点，小球在点，小球在OM的内侧与的内侧与O相距相距l=20cm的的P点处，以与点处，以与MO成成30角方向的初速朝角方向的初速朝ON杆运动，初速度杆运动，初速度大小为大小为v0=10cm/s. 试问小球能否回到试问小球能否回到P处？若能，则须经多少时间回到处？若能，则须经多少时间回到P处？处？解：解：小球作的是匀速折线运动。小球作的是匀速折线运动。MNPOl300150 而光线经镜面反射后的行进等效而光线经镜面反射后的行进等效于光线沿原入射方向的行进。于光线沿原入射方向的行进。 因此光线在两平面镜之间的不断因此光线在两平面镜之间的不断反

22、射可等效为光线沿反射可等效为光线沿PP直线传播。直线传播。 可将小球的运动类比为光线在平可将小球的运动类比为光线在平面镜面镜M、N之间的反射。之间的反射。由于由于，60154 PPO，所以所以090 OPP因此光线能够沿原路返回到因此光线能够沿原路返回到P点。点。所以小球从所以小球从P点出发到又回到点出发到又回到P点，总的路程即为点，总的路程即为PP=2PP.所经历的时间为所经历的时间为02vPPt 0030cos2vl PP)(32s MNPOlP300150P 题后总结题后总结这种解法的实质就是将折线运动等效这种解法的实质就是将折线运动等效变为直线运动从而使问题得以简化。变为直线运动从而使

23、问题得以简化。本题还有另一种常规解法：本题还有另一种常规解法：1、看小球多次弹碰后是否会与杆正碰、看小球多次弹碰后是否会与杆正碰2、确定在什么位置正碰、确定在什么位置正碰3、算出所有折线段的总长、算出所有折线段的总长4、计算时间、计算时间但这种解法需解三角形！试一试，但这种解法需解三角形！试一试，看能否用此法解答。看能否用此法解答。拓展：如图的示，拓展：如图的示，MNMN为竖直墙，平面镜为竖直墙，平面镜OBOB绕绕O O的垂直于的垂直于纸面的水平轴以恒定的角速度纸面的水平轴以恒定的角速度转动，在墙上的转动，在墙上的A A点发点发出一水平光线投射到出一水平光线投射到OBOB上，并被反射到墙上上，

24、并被反射到墙上D D点。设点。设AOC=,AO=d,AOC=,AO=d,求求D D的速度。的速度。D D的速度方向总是向上，大小则等于的速度方向总是向上，大小则等于ODOD长度的变化率长度的变化率DVDV2DODOD DVtgd22cos2抛体运动中的边界和最值问题抛体运动中的边界和最值问题例题：例题：迫击炮和目标位于同一水平面上，它们之间有高为迫击炮和目标位于同一水平面上，它们之间有高为h h的小山。的小山。迫击炮到山顶的水平距离为迫击炮到山顶的水平距离为a a目标到山的距离为目标到山的距离为b b。试求为击毁目标。试求为击毁目标炮弹必需具有的最小初速度以及发射角（空气阻力不计）炮弹必需具有

25、的最小初速度以及发射角（空气阻力不计）如何找到切入点呢？如何找到切入点呢？思维的障碍在哪里？思维的障碍在哪里？小山？小山？20021sincosgttytx消去消去t)1 (22202tggxxtgy要击中目标，满足什么条件？要击中目标，满足什么条件？0,ybax)1 (2)()(02202tgbagtgbatgbaxxy)1 (说明什么？说明什么？tgbaxxy)1 (当当为从为从0 0到到/2/2范围内的不同值时，得到所范围内的不同值时，得到所有的一切轨道。有的一切轨道。接下去的转折点在哪呢？接下去的转折点在哪呢？当当为为/4/4时，标出的轨道为时，标出的轨道为)1 (baxxy在满足什么

26、条件下这条轨道从山的上方通过？为此，求当轨道上在满足什么条件下这条轨道从山的上方通过？为此，求当轨道上x=a这点的高度这点的高度h1baabbaaah)1 (1baabh)(min0bagbaabhtgbaaah)1 (abbahtg1habbabaxxy)1 (2min0)(12abbahhgab例题：例题：从离地面上同一高度从离地面上同一高度h h，相距，相距L L的两处同时各抛出一个石块：的两处同时各抛出一个石块：一个以初速度一个以初速度V1竖直向上抛；另一石块以速度竖直向上抛；另一石块以速度V V2 2水平抛出。求这两水平抛出。求这两个石块在运动过程中它们之间的最短距离？（两个石块初速

27、度位于个石块在运动过程中它们之间的最短距离？（两个石块初速度位于同一竖直平面内）同一竖直平面内）V1V2-V1dL22211sind22212cos相tgh222212 将曲线运动分割成的无限小曲线段处理为将曲线运动分割成的无限小曲线段处理为一小段圆弧，将质点在该小段圆弧上的运动视一小段圆弧，将质点在该小段圆弧上的运动视为一段圆弧运动。就可利用处理圆运动的方法为一段圆弧运动。就可利用处理圆运动的方法来研究一般的曲线运动。来研究一般的曲线运动。xyop1p1 （三）（三）曲率圆及曲率半径曲率圆及曲率半径 1、曲率圆：平面光滑曲线某处的无限小圆曲率圆：平面光滑曲线某处的无限小圆弧段所属的圆称为曲线

28、该处的曲率圆。弧段所属的圆称为曲线该处的曲率圆。 2、曲率半径：上述曲率圆的半径即为曲线曲率半径：上述曲率圆的半径即为曲线该处曲率半径。该处曲率半径。曲线某处的曲率半径曲线某处的曲率半径能反映该能反映该 处的弯处的弯 大处弯曲程度小大处弯曲程度小，小处弯曲程度大。对一条小处弯曲程度大。对一条给定的曲线，其上各处的给定的曲线，其上各处的也是确定的。也是确定的。弯曲程度：弯曲程度： 2、化曲为圆化曲为圆如果知道质点轨道曲线各处的如果知道质点轨道曲线各处的,又知道质点在轨道各处的又知道质点在轨道各处的v，则质，则质点在各处的点在各处的a心心可求出。可求出。 （四）（四）从曲率圆的角度看平面光滑曲线运

29、动的速度和加速度从曲率圆的角度看平面光滑曲线运动的速度和加速度心心切切aaa 22 va心心tva 切切相同或者相反）相同或者相反）方向与方向与v(表示速度大小的变化快慢表示速度大小的变化快慢表示速度方向的变化快慢表示速度方向的变化快慢切切a处处为零的运动为匀速率曲线运动。处处为零的运动为匀速率曲线运动。xyop1p1va切切a心心a 曲率半径的物理求法（一）曲率半径的物理求法（一）让质点的运动轨迹为给定的曲线让质点的运动轨迹为给定的曲线确定质点在运动轨迹上各处的确定质点在运动轨迹上各处的v和和a心心由向心加速度公式求由向心加速度公式求在选择质点的运动时，尽量考虑如何方便得到曲线各处的在选择质

30、点的运动时，尽量考虑如何方便得到曲线各处的v和和a心心1 例题、例题、试求椭圆试求椭圆 的顶点处的曲率半径的顶点处的曲率半径.12222 ByAx解：解：椭圆的参数方程为椭圆的参数方程为tAx cos tBy sin xy0AB所以可以选择质点沿椭圆轨道的运动为：所以可以选择质点沿椭圆轨道的运动为：在在x方向和方向和y方向的分运动为简谐振动的运动方向的分运动为简谐振动的运动.这样的运动在椭圆的顶点处的这样的运动在椭圆的顶点处的v和和a心心是易求得的。是易求得的。其简谐振动方程即为以上椭圆的参数方程。其简谐振动方程即为以上椭圆的参数方程。xy0AB;cossintBvtAvyx tBatAayx

31、 sincos22 在图中顶点在图中顶点A处：处：0 xvBvy Bv Aax2 0 yaAaax2 心心所以所以心心avA2 va心心同理可得同理可得BAB2 于是有于是有AB222 AB2 题后说明题后说明本题的解法属于物理运动学的求法。本题的解法属于物理运动学的求法。曲率半径还有物理动力学的求法！曲率半径还有物理动力学的求法！ 这将在以后研究。这将在以后研究。 例题、例题、求滚轮线的最高点的曲率半径和求滚轮线的最高点的曲率半径和1最低点的曲率半径最低点的曲率半径2。解：解：oPv0为方便计，设轮子做匀速的纯滚动，为方便计，设轮子做匀速的纯滚动，设轮心设轮心O相对地面的速度为相对地面的速度

32、为v0 .轮边缘上的任意一点轮边缘上的任意一点P相相对轮心对轮心O的速度为多大？的速度为多大？ P在最高点处相对于地面的速度大小为在最高点处相对于地面的速度大小为012vv P在最低点处相对于地面的速度大小为在最低点处相对于地面的速度大小为02 v，由于由于00 aaa aaa 0故故aaa 0则则 总是指向轮心但是否总是指总是指向轮心但是否总是指向滚轮线的曲率圆圆心？向滚轮线的曲率圆圆心？aPPP，速度为速度为点相对轮心参照系的加点相对轮心参照系的加速度为速度为点相对地面参照系的加点相对地面参照系的加设设aPaP ,oooaa 率半径为率半径为故滚轮线最高处的曲故滚轮线最高处的曲oPv0aa

33、 aa 滚轮线最低处的曲率半径为滚轮线最低处的曲率半径为PPP 题后总结题后总结 曲率圆上某点处的向心加速度指的是相对于静止参照系且曲率圆上某点处的向心加速度指的是相对于静止参照系且 指向曲率圆心的加速度指向曲率圆心的加速度;一般而言，在数学上总是可以认为拐点处的曲率半径为零一般而言，在数学上总是可以认为拐点处的曲率半径为零.在滚轮线的最高点处和最低点处，在滚轮线的最高点处和最低点处，率圆圆心的，率圆圆心的，正好又是指向该处的曲正好又是指向该处的曲a度度，完完全全用用作作向向心心加加速速所所以以在在此此两两处处的的 aaaa 心心故故心心av211 oooaa Rv20 RRvv422020

34、心心av222 0020 Rv 曲率半径问题曲率半径问题例题：一条光滑的抛物线轨道，在直角坐标系中的方程为例题：一条光滑的抛物线轨道，在直角坐标系中的方程为y y2 2=2x,=2x,式中式中x x、y y的单位为米。有一质点从起始位置（的单位为米。有一质点从起始位置（2 2，2 2）无初速地滑）无初速地滑下，问质点在何处离开抛物线轨道。下，问质点在何处离开抛物线轨道。mgr分析：设质点在分析：设质点在M M（x,y)x,y)处飞离抛物线，处飞离抛物线，)2(2ygMrmmgM2costy022021tx20 xaxarasin20ra)1 ()()(2202020202202yytaxrar

35、2sin122yarr)2(212yytgyxytgx1lim00433 yy如图所示如图所示, ,在光滑水平面上有质量为在光滑水平面上有质量为M M且均匀分布、半径且均匀分布、半径为为R R的圆环，质量为的圆环，质量为m m的质点可在环内壁做无摩擦的滑动的质点可在环内壁做无摩擦的滑动(Mm)(Mm)。开始时，圆环静止，环心在。开始时，圆环静止，环心在O O点，质点位于（点，质点位于（0 0，R R）处，速度沿）处，速度沿x x方向，大小为方向，大小为o o（1 1）试导出质点的运动方程；）试导出质点的运动方程；（2 2）试求质点运动轨迹转折处的曲率半径。）试求质点运动轨迹转折处的曲率半径。x

36、OyMm0OyMm0 xCcmMmRrccrmMmRrMmMMRrm0mMmc质心的速度质心的速度R0m m、M M绕质心的角速度绕质心的角速度trxmsintrymcostxccRmMmyc)cos(costMmmMRtryymc)sin(1sin0tMRtmmMtrxxmc)sin(1sin0tMRtmmMtrxxmc)cos(costMmmMRtryymc求相关物体速度的一种有效方法求相关物体速度的一种有效方法-基点法基点法 当刚体作平面运动时，其上任意两点的速度在这两点当刚体作平面运动时，其上任意两点的速度在这两点连线上的投影相等。因此我们也就有杆或绳约束物系各点连线上的投影相等。因此

37、我们也就有杆或绳约束物系各点速度的相关特征是：在同一时刻必有相同的沿杆、绳方向速度的相关特征是：在同一时刻必有相同的沿杆、绳方向的分速度；接触物系触点速度的是相关特征是：沿接触面的分速度；接触物系触点速度的是相关特征是：沿接触面法向的分速度相同，沿接触面切向的分速度在无相对滑动法向的分速度相同，沿接触面切向的分速度在无相对滑动时相同。时相同。 依据物系相关速度特征，运用基点法，结合速度的合依据物系相关速度特征，运用基点法，结合速度的合成法则、相对运动法则，这类问题便会迎刃而解。成法则、相对运动法则，这类问题便会迎刃而解。【物理模型】一个半径为【物理模型】一个半径为R的半圆柱体沿水平方向向的半圆

38、柱体沿水平方向向右做加速度为右做加速度为a加速运动。在半圆柱体上搁置一根竖加速运动。在半圆柱体上搁置一根竖直杆，此杆只能沿竖直方向运动。当半圆柱体的速度直杆，此杆只能沿竖直方向运动。当半圆柱体的速度为为时，杆与半圆柱体的接触点时，杆与半圆柱体的接触点P与柱心的连线与竖直与柱心的连线与竖直方向的夹角为方向的夹角为，求此时竖直杆运动的速度和加速度，求此时竖直杆运动的速度和加速度 杆柱柱地杆地tgtg柱地杆地tana柱地a杆地a【物理模型】【物理模型】长均长均为的两杆用铰链为的两杆用铰链P P相连，相连，其中一根杆的自由端用铰链其中一根杆的自由端用铰链O O固定，而另一固定，而另一根自由端以大小和方向均恒定的速度根自由端以大小和方向均恒定的速度0 0开开始运动，并且开始时刻始运动，并且开始时刻0 0平行于此时两杆平行于此时两杆夹角夹角22的角平分线，求开始运动后经非常的角平分线，求开始运动后经非常短的时间。连接两杆的铰链短的时间。连接两杆的铰链P P的加速度大小的加速度大小和方向。和方向。 2sincos0P220sin4nacossin420acossin4220a例题：例题：图中所示为用三角形刚性细杆图中所示为用三角形刚性细杆ABAB、BCBC、CDCD连成的平面连杆结连成的平