高等数学背景下的高考数学试题例谈

1、高等数学背景下的高考数学试题例谈浙江 陈泰枢随着高考制度改革的不断深化,全国以及各省自主命题的高考试题不断有所创新.这种创新一方面体现在更加重视对学生能力的考查,另一方面则体现在更加注重对数学思想和数学应用的考查,纵观近几年的高考数学题,我们不难发现其中有许多题目涉及的内容都不在高中课本中,而是以高等数学中的有关知识点为平台,考查学生的自主学习能力.下面就举一些具有高等数学背景的高考试题来分析与探讨,以供复习参考.一、以高等数学运算为背景例1 (06四川理第16题)非空集合G关于运算满足：(1)对任意的都有(2)存在都有则称G关于运算为“融洽集”.现给出下列集合和运算： G非负整数,为整数的加

2、法. G偶数,为整数的乘法. G平面向量,为平面向量的加法. G二次三项式,为多项式的加法. G虚数,为复数的乘法.其中G关于运算为“融洽集”的是_.(写出所有“融洽集”的序号)分析：本题其实源自大学数学专业课中的近世代数,此题给出了一个新的概念“融洽集”, 考查学生在瞬间理解并且会运用此概念来判断以下给出的条件是否满足成为“融洽集”的能力.,满足任意,都有,且令,有,所以符合要求.,若存在,则,矛盾, 不符合要求.,取,满足要求, 符合要求;,两个二次三项式相加得到的可能不是二次三项式,所以不符合要求.,两个虚数相乘得到的可能是实数, 不符合要求.这样关于运算为“融洽集”的有.例2 (07陕

3、西理第12题)设集合,在S上定义运算为：,其中k为i+j被4除的余数,=0,1,2,3.则满足关系式的的个数为( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4分析：本题以抽象代数中的运算系统为背景,考查学生在瞬间运用一个新的运算法则去解题的能力.不成立.成立.不成立.成立,满足条件的只有两个.二、以高等数学中的基本概念为背景例3 (04上海理第12题)若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”.设是公比为q的无穷等比数列,下列的四组量中,一定能成为该数列“基本量”的是第 组.(写出所有符合要求的组号) 与; 与; 与; q与.其中n为大于1的整数, 为的前n项和.分析：这题给出了一个新的概

4、念叫“基本量”,让学生在瞬间理解并且会运用此概念来判断以下给出的条件是否满足成为“基本量”.;如果与已知,则可求出与,从而一定能成为该数列的“基本量”.; 由已知两式所确定的与显然不唯一,所以不一定能成为该数列的“基本量”.;由可知与不唯一,所以不一定能成为该数列的“基本量”.已知;也已知,显然与是被唯一确定的,所以一定能成为该数列的“基本量”.例4 (06福建理第12题)对于直角坐标平面内的任意两点,定义它们之间的一种“距离”：给出下列三个命题：若点C在线段AB上,则在中,若则在中,其中真命题的个数为 ( )(A)0(B)1(C)2(D)3分析：对于直角坐标平面内的任意两点,定义它们之间的一

5、种“距离”：若点C在线段AB上,设C点坐标为(,),在、之间,在、之间,则=在中,= 命题 成立,而命题在中,若则明显不成立,故选B.三、以高等数学中的基本结论为背景例5 (03北京理第20题)设是定义在区间上的函数,且满足条件,对任意的、,都有()证明：对任意,都有()证明：对任意的都有()在区间上是否存在满足题设条件的奇函数且使得若存在请举一例,若不存在,请说明理由分析：本题以高等数学的泛函分析中压缩映象原理为背景,考查函数、不等式等基本知识,考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力.()证明：由题设条件可知,当时,有即()对任意的,当当不妨设 则从而有综上可知,对任意的,都有()答：这样满足所述条件的函数不存在.理由如下：假设存在函数满足条件,则由得又,所以又因为为奇函数,所以,由条件.得所以 .与矛盾,因此假设不成立,即这样的函数不存在.总结与反思：全日制普通高中数学课程标准中提出：高中数学课程要为我国公民适应现代化生活和未来发展提供更高水平数学基础,使它们获得更高的数学素养,为学生进入高一级学校提供必要的数学准备,同时把提高学生的数学思维能力作为数学教育的基本目标之一.正是基于这一点,以高等数学知识为背景的高考试题多次现身于高考之中.