数学必修ⅳ人教新课标同步知识点学练考-三角函数的诱导公式

1、三角函数的诱导公式【教法探析】一、内容分析诱导公式沟通了任意角三角函数值与锐角三角函数值以及终边有特殊位置关系的角的三角函数值之间的联系.在求任意角的三角函数值，解决有关的三角变换等方面有重要的作用。由角的终边的某种对称性，导致终边与单位圆的交点也具有相应的对称性，这样就产生了“”、“”、“”等诱导公式，我们知道，角的终边与角的终边关于y轴对称；角的终边与角的终边关于原点对称，角的终边与角的终边关于x轴对称，所以、各角的三角函数值与角的三角函数值的绝对值相同，符号由各角所在象限的原三角函数的符号来确定，诱导公式看起来很多，但是抓住终边的对称性及三角函数定义，明白公式的来龙去脉也就不难记忆了。诱

2、导公式可以帮助我们把任意角的三角函数化为锐角三角函数，在求任意角的三角函数值时起很大作用，但是随着函数计算器的普及，诱导公式更多地运用在三角变换中，特别是诱导公式中的角可以是任意角，即，它在终边具有某种对称性的角的三角函数变换中，应用广泛，如后续课中，画余弦曲线就是利用诱导公式把正弦曲线向左平移个长度单位而得到的。在教学中，提供给学生的记忆方法一定要重在理解、重在逻辑、重在思考，以达到优化思维品质的功效。用一句话归纳概括诱导公式一、二、三、四、五并能正确理解这句话中每一词语的含义，是本节教材的难点.讲清每一组公式的意义及其中符号语言的特征，并把公式与相应图形对应起来，是突破这个难点的关键。二、

3、复习引入公式一: （其中）用弧度制可写成 （其中）诱导公式（一）的作用：把任意角的正弦、余弦、正切化为0º360º之间角的正弦、余弦、正切，其方法是先在0º360º内找出与角终边相同的角，再把它写成诱导公式（一）的形式，然后得出结果。这组公式可以统一概括为的形式，其特征是：等号两边是同名函数，且符号都为正。由这组公式还可以看出，三角函数是“多对一”的单值对应关系，明确了这一点，为今后学习函数的周期性打下基础。运用公式时，注意“弧度”与“度”两种度量制不要混用，如写成，是不对的。三、新课讲解公式二：用弧度制可表示如下： 它刻画了角180º+与角的

4、正弦值（或余弦值）之间的关系，这个关系是：以角终边的反向延长线为终边的角的正弦值（或余弦值）与角的正弦值（或余弦值）是一对相反数.这是因为若设的终边与单位圆交于点P（ x，y），则角终边的反向延长线，即180º+角的终边与单位圆的交点必为P´（-x，-y）（如图4-5-1）.由正弦函数、余弦函数的定义，即可得sin=y，cos=x,sin（180º+）=-y, cos（180º+）=-x, 所以 :sin（180º+）=-sin，cos（180º+）=-cos.公式三： 它说明角-与角的正弦值互为相反数，而它们的余弦值相等.这是因为，

5、若没的终边与单位圆交于点P（x，y），则角-的终边与单位圆的交点必为P´（x，-y）（如图4-5-2）。由正弦函数、余弦函数的定义，即可得sin=y， cos=x,sin（-）=-y, cos（-）=x, 所以：sin（-）= -sin, cos（-）= cos公式二、三的获得主要借助于单位圆及正弦函数、余弦函数的定义.根据点P的坐标准确地确定点P´的坐标是关键，这里充分利用了对称的性质.事实上，在图1中，点P´与点P关于原点对称，而在图2中，点P´与点P关于x轴对称.直观的对称形象为我们准确写出P´的坐标铺平了道路，体现了数形结合这一数学思想

6、的优越性.公式四： 用弧度制可表示如下： 公式五： 这两组公式均可由前面学过的诱导公式直接推出（公式四可由公式二、三推出，公式五可由公式一、三推出），体现了把未知问题化为已知问题处理这一化归的数学思想.公式的推导并不难，然而推导中的化归意识和策略是值得我们关注的。五组诱导公式可概括为： +k·360º（kZ），-，180º±，360º-的三角函数值，等于的同名函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号。这里的“同名三角函数值”是指等号两边的三角函数名称相同；“把看成锐角”是指原本是任意角，这里只是把它视为锐角处理；“前面加上一个符号”是指的

7、同名函数值未必就是最后结果，前面还应添上一个符号（正号或负号，主要是负号，正号可省略），而这个符号是把任意角视为锐角情况下的原角原函数的符号.应注意讲清这句话中每一词语的含义，特别要讲清为什么要把任意角看成锐角.建议通过实例分析说明。诱导公式6：sin（90° -a） = cosa, cos（90° -a） = sinatan（90° -a） = cota, cot（90° -a） = tanasec（90° -a） = csca, csc（90° -a） = seca诱导公式7：sin（90° +a） = cosa, co

8、s（90° +a） = -sinatan（90° +a） = -cota, cot（90° +a） = -tanasec（90° +a） = -csca, csc（90°+a） = seca如图所示 sin（90° +a） = MP = OM = cosacos（90° +a） = OM = PM = -MP = -sina或由6式：sin（90° +a） = sin180°- （90° -a） = sin（90° -a） = cosacos（90° +a） = cos180

9、°- （90° -a） = -sin（90° -a） = -cosa诱导公式8：sin（270° -a） = -cosa, cos（270° -a） = -sinatan（270° -a） = cota, cot（270° -a） = tanasec（270° -a） = -csca, csc（270°-a） = seca诱导公式9：sin（270° +a） = -cosa, cos（270° +a） = sinatan（270° +a） = -cota, cot（270&#

10、176; +a） = -tanasec（270° +a） = csca, csc（270°+a） = -seca【学法导引】例1:下列三角函数值： （1）cos210º； （2）sin分析：本题是诱导公式二的巩固性练习题.求解时，只须设法将所给角分解成180º+或（+），为锐角即可。解：（1）cos210º=cos（180º+30º）=cos30º=；（2）sin=sin（）=sin=例2:化简 分析：这是诱导公式一、二、三的综合应用.适当地改变角的结构，使之符合诱导公式中角的形式，是解决问题的关键.解：原式= =

11、1例3:求值：sincossin略解：原式=-sin-cos-sin=-sin-cos+sin=sin+cos+sin =+0.3090=1.3090 说明：本题考查了诱导公式一、二、三的应用，弧度制与角度制的换算，是一道比例1略难的小综合题.利用公式求解时，应注意符号。例4:求值：sin（-1200º）·cos1290º+cos（-1020º）·sin（-1050º）+tan855º.解：原式sin（120º+3·360º）cos（210º+3·360º）+cos

12、（300º+2·360º）-sin（330º+2·360º）+tan（135º+2·360º）sin120º·cos210ºcos300º·sin330º+tan135ºsin（180º60º）·cos（180º+30º） cos（360º60º）·sin（360º-30º）+=sin60º·cos30º+cos60º·sin30ºtan45º=·+·-1=0说明：本题的求解涉及了诱导公式一、二、三、四、五以及同角三角函数的关系，与前面各例比较，更具有综合性.通过本题的求解训练，可使学生进一步熟练诱导公式在求值中的应用。例5:解：从而【模拟练习】1.求下式的值：2sin（1110º） sin960º+2.，是一个三角形的三个内角，则下列各式中始终表示常数的是（ ）A.sin（+）+sin B.cos（+）- cosC.sin（+）-cos（-）tanD.cos（2+）+ cos23.已知参考答