圆融共生：数学思辨的应然追求

1、圆融共生：数学思辨的应然追求 连云港师专二附小 孟庆甲摘 要：思辨能力强弱是数学素养水平高低的一个重要体现。拥有较强的思辨能力，成为信息时代对数学人才的强烈要求。本文基于现象学、数学教育心理学及教育哲学角度着重从“缘起：孱弱的思辨力让学生成了扶不起的阿斗”、“调查：学生的思辨力为何如此孱弱和异化”、“反思：学生究竟需要怎样的数学思辨”、“追问：数学思辨究竟该思辨些什么”及“践行：如何达成圆融共生的数学思辨”等方面阐述如何在数学学科上、从数学的角度培养学生的思辨力。 关键词：圆融共生 数学思辨 应然追求一、缘起：孱弱的思辨力让学生成了扶不起的“阿斗”思辨能力强弱是数学素养水平高低的一个

2、重要体现。拥有较强的思辨能力成为信息时代对数学人才的强烈要求。我们的数学教育虽然有着良好的重视双基训练的传统，但学生的数学思辨力究竟怎样呢？案例：此“角”非彼“角”呀角的初步认识当学生初步掌握了角的概念后，教师拓展启思师：同学们，你能例举出生活中在哪些物体的表面见到过角吗?生1：我知道，桌子角。生2：墙角。生3：板凳上的4个角（脚）。师：哪位同学能上来指一指你所说的角？几个学生先后上来有的指着墙缝、地面与墙缝相汇的一点，有的指着桌子突出的尖尖的部分，还有一个甚至模棱两可地指着板凳的4条腿。师：你们所说所指的这些是我们今天所学习的角吗？学生片刻无语现实中例子还有很多，孱弱的思辨力让学生成了扶不起

3、的“阿斗”：有些学生面对问题时缺乏最基本的思辨意识，竟不知“问题需要辨别、分析后才能作出恰当的判断”，甚至面对问题无动于衷，思“我”没什么可思，辨“我”没什么可辨；有些学生思维摇摆，没有主见，以至于思不是“我”所思（他思即我思），辨不是“我”所辨（他辨即我辨）；有些学生面对问题时由于不会运用数学学理性语言将自己的思辨恰当的表述出来，因而常常逻辑不清、言语不明，从而思虽然“我”想思，但辨“我”不善辨；还有些学生面对问题时思来想去、无从辨起，甚至个别学生的别样思辨是思亦诡思、辨亦诡辨。二、调查：学生的思辨力为何如此孱弱和异化面对学生令人沮丧的思辨表现，笔者不由的审思：学生的思辨力为何如此的孱弱和异

4、化？基于此，我作了相关的深入调查和分析，发现：无动于衷族无限依他族混沌迷失族手足无措族死扯眼球族思辨族表现内向、胆怯、不自信长期受挫被冷落见解均是复制品、舶来品概念不透、问题不清知能与问题落差大喜爱炫耀、自作聪明具有正常思辨力百分比10%16%20%18%6%30%（一）无动于衷族基于内在情感及心理的“习得性失助感”原因。调查发现无动于衷族约占调查总人数的10%左右。其中由于自身内向、胆怯、不自信心理而哑口无言的占44%；由于长期受挫、压抑、失败甚至被教师和同学冷落、嘲讽而使得内心憋屈、愤怒、麻木，不想思辨的占56%。（二）无限依他族基于惰性及依赖的原因。调查显示无限依他族约占调查总人数的16

5、%左右。由于没有真正、真实的自我思考，而尽是一些浮光掠影、隔靴搔痒的浅想或惰性的无限等待，因而所表述、所发表的见解和思路几乎全是“复制品”、“舶来品”，从而导致思不我思，辨不我辨。（三）混沌迷失族基于概念理解及问题要求混沌方面的原因。调查显示混沌迷失族约占调查总人数的20%左右。虽然围绕数学问题也作了积极地思考和辨析，然而由于自身对概念的理解不透，核心知识的掌握不清，问题的要求不明，辨析能力的欠佳，从而导致所说、所讲的虽多，但大多不着边际，触及不到问题的核心与实质。（四）手足无措族基于知识及能力结构不足。调查显示手足无措族约占调查总人数的18%左右。有些学生在面对数学问题时虽说也想深入的思辨，

6、但由于知识结构及能力结构不足，或者由于对数学问题缺乏必要的已有经验，从而致使自身和问题落差较大，不能很快搭起便捷的桥梁，因而思来思去，无从辨起。（五）“死扯眼球”族基于炫耀思维及自作聪明的原因。调查显示“死扯眼球族”约占调查总人数的6%左右。有些学生自是聪明、眼高手低，为了吸引眼球，围绕问题侃侃而论、夸夸其谈，看似对问题了解颇深，但细细分析便会发现破绽百出，思亦诡思，辨亦诡辨。三、反思：学生究竟需要怎样的数学思辨实践证明：在数学学习中，学生需要的是学会用数学的视野和眼光，从数学角度开展的数学思辨，更加追求圆融共生的数学思辨。那么何为“数学思辨”，我们所追求数学思辨的圆融共生包括哪些内涵呢？ 数

7、学思辨它所指的是用数学的方法从数学角度进行的思考和辨析。数学思辨它是一种数学素养，一种综合的数学思维能力，它涉及数学意识、数学思考、分析、辨别、推理、判断、表述、交流等数学思维过程和活动。数学思辨是逻辑思维（主要用于解决问题）与非逻辑思维（主要用于发现问题）的有机统一。从表现方式上讲，数学思辨主要分为隐性思辨和显性思辨两种方式。隐性思辨也就是学生内在的思考、分析、推理和判断，是一种内隐的心理活动及思维活动。显性思辨主要是学生运用规范的学理性语言将内心的隐性思辨显性地呈现、表述出来，从而阐明观点，交流思想，生成智慧。我们所追求思辨的圆融共生包括：数学思维上逻辑思维与非逻辑思维的圆融共生；数学课堂

8、上个体思辨与群体思辨的圆融共生；数学学习品质上自主思辨与他主思辨的圆融共生；数学学习内容上针对性思辨与拓展性思辨的圆融共生；数学思辨方式上隐性思辨与显性思辨的圆融共生等等。四、追问：数学思辨究竟该思辨些什么我认为，数学思辨应该基于以下几个方面的思辨：（一）基于问题的全局性、针对性思辨例如：本人在参加“江苏省义务教育培训专家团队研修班”（2011.6徐州）学习中有幸执教同课异构观摩课认识小数（五上）时，在练习环节设计了这样一道题：“9毫米用小数表示出来，你有几种方法?”学生在极度兴奋的探索过程中逐步思辨出：本题既包含了“9毫米分别等于零点几厘米、等于零点零几分米和零点零零几米”这样几个极具针对性

9、的微观问题，也蕴含了“自己是怎样理解小数”的这样全局性宏观问题。（二）基于观点和答案的拓展性、批判性思辨对于同学的观点和答案，要做到：1.判断所提出和发表的“数学观点”是否正确。2.思索“数学观察性描述”是否具有可信度。3.辨析“数学表达”是否根据某一个数学原理、概念引申出来的。4.考量数学结论是否必要。5.分析数学推理是否含糊。6.质疑“数学归纳性结论”是否有根据或来源。7.甄别所表述的是否只是一种数学假设。8.审思所下的数学定义是否适切等等。9.推断多项“数学陈述”之间是否相互矛盾。（三）基于数学知识层面的认知性、本质性思辨例如上面角的初步认识案例中所提到的“此角非彼角”的脆弱思辨现象，充

10、分说明学生将生活角与数学角混为一谈，没有真正抓住角的本质特征，缺乏数学知识层面的认知思辨能力。因而在后面教学中，我这样引导学生思辨：首先在黑板上仅仅只是点一个点，询问学生这是不是一个角？学生自然答不是；其次引领学生通过画角、拼角等活动，让学生本质地思辨出数学上的角它必须是一个平面图形，它应该包括一个顶点和两条边，缺一不可。（四）基于数学方法策略的多元性、智慧性思辨数学学习过程不单单是掌握知识的过程，更是学生通过自己对数学问题的深入思考和辨析，总结出方法和策略的多元、智慧思辨过程。例如教学圆的认识时，教师通过巧妙设计、层层引领，可使学生逐步从只用一支粉笔画圆感知、思辨出“想要画好一个圆，必须得借

11、助工具”；从借助硬币、瓶盖、带有空心圆的三角板或直尺等工具画圆体会、思辨出“我们可以用不同工具画圆，但最常用的还是圆规。”；从画的不够理想，不够标准明晰、思辨出“用圆规画圆时要注意：定长（确定半径）、定点（确定位置）、旋转一周（确定封闭曲线）”。五、践行：如何达成圆融共生的数学思辨培养学生的思辨力必须抓住“思辨”训练这个根本。在训练过程中，既要促其内“思”，更要导其外“辨”，还要教其圆“巧”，三者密切联系，相辅相成，只有如此，才能真正达成圆融共生的数学思辨。 （一）“知”与“能”圆融共生：创鲶鱼效应，活思辨因子1.明晰数学核心概念数学思辨的法典依据凸显思辨的深刻性“数学知识中最普遍的

12、形式是概念，所以概念学习是数学学习的核心。数学实践证明，学生在解决数学问题时出错或产生困难，原因往往在于概念的了解上产生了障碍。因此，必须十分重视概念学习”（曹才翰等，1989）。只有掌握了数学核心概念，学生才能真正开展数学思辨，才能洞察本质，由表及里，去伪存真，认清数学问题的本来面目。例如，教学素数和合数，在思辨“所有的素数都是奇数吗？所有的偶数都是合数吗？”时，学生首先要分别明晰“什么叫素数；什么叫合数；什么叫奇数；什么叫偶数”，只有搞清楚这四个核心概念后，才能做出正确的判断。2.厘清问题本质要求数学思辨的核心保障聚焦思辨的缜密性为了厘清数学问题内涵、本质和内在规律性，必须多视角、多侧面、

13、多因素、多向度地进行数学思考、辨析和论证，必须对可能出现的情况、可能起作用的因素、可能发生的后果逐一进行考察和预测，然后经过分析、综合，依据对数学问题的主要矛盾和主要矛盾方面的基本判断做出科学的抉择或决策。例如，本人在支教期间中执教示范课解决问题的策略（五上）在教学过程中通过操作、计算、填表、交流、验证等活动，让学生经历用列举的策略解决简单实际问题的过程，从而厘清了问题的本质，并且深深懂得要想解决“有多少种不同的围法”，必须有条理地一一列举，做到不遗漏、不重复。3.领悟思辨策略思想数学思辨的终极追求关注思辨的灵活性在教学中，教师应循序渐进地引领学生领悟并掌握数学思辨的方法策略，诸如：事实思辨、

14、类别思辨、对比思辨、分层思辨、层进思辨、反面思辨及引申思辨等。只有如此，学生才真正领悟数学思辨的真谛。例如：我在执教市青蓝课程公开课简单周期现象中的规律时这样引领：思辨问题（1）：观察这些物体，它们排列有规律吗？（目的：使学生初步观察、寻找并感知这些物体的排列都是有规律的）思辨问题（2）：从左边起，盆花是按什么顺序摆放的？彩灯和彩旗呢？（目的：使学生由近及远分别清晰地观察和找寻这三种物体的摆放规律）思辨问题（3）：这三种物体排列的规律有什么共同之处？（目的：使学生深入体会它们都是属于一组一组依次重复出现的周期规律。）（二）“理”与“灵”圆融共生：构学习场域，显思辨魅力1.训练学理性语言追求数学

15、思辨的严谨与规范学生的数学思辨能力往往体现在他善于选择富有严谨和规范的学理性语言来展示他的数学观点。数学学理性语言的表达形式与它的含义之间都有着确定的关系，词序不同或一字之差就可能导致意义截然不同，如自然语言中“围成”和“组成”是没有明显区别的，但在数学课堂中对“角”的定义表述是“由一点引出两条射线所组成的图形叫做角”；对“三角形”的定义表述是“由三条线段围成的图形叫做三角形”。细细品味、思辨，我们便会发现：表述时通过“组成”和“围成”这两个规范的数学学理性语言的运用，能够本质地区分出这两个图形一个是不封闭的平面图形（角），另一个是封闭的平面图形（三角形）。2.开展思辨性交流追求数学思辨的灵动

16、与智慧（1）互补式思辨取长补短、相互拓展。在思辨交流中，一方顺承另一方的意思说，对一方所交流的思辨内容进行拓展性补充，深化另一方的思辨意思。例如：五年级圆的认识片段师：刚才我们在黑板上画了圆，在纸上画了圆，又在空中画了一个圆，这几次画圆，虽然地点变了，画圆的工具也各不相同，但是它们是否存在相同处？ 请大家带着这个问题小组内互动思辨。生1：它们都要依靠一样东西。生2：它们都要先确定一个中心点，围绕这个点旋转。生3：它们都要旋转一周，也就是要旋转360度。师：这样行吗？（教师演示：围绕紧靠小球的地方定点旋转。）学生纷纷领悟，异口同声：还要拉开一定的距离。师：现在谁来总结一下问题的答案？生：我们发现

17、无论用什么画圆、在哪儿画圆，它们都有三个共同的特点：第一，确定一个点；第二，确定一段距离；第三，旋转一周。（2）正反式思辨左右兼顾、滴水不漏。在思辨交流中，一方对另一方的思辨表述方式及角度呈现一正一反，双方从正反两方面、两个维度说，使思辨内容左右兼顾、滴水不漏。例如：教学小数的性质时，当小数的性质揭示后，出示：在学生回答后，教师可以进一步引领：举例说明0可以去掉及0不可以去掉的理由。从而激发学生不仅学会正面思辨：“17.000中的三个0都可以去掉，因为这三个0都是小数末尾的0，依据是小数的性质小数的末尾添上0或去掉0，小数的大小不变”，而且学会了反面思辨：“如果将300个位和十位上的0去掉的话

18、，就变成3了，进而改变了原来数的大小，因此整数部分数位上的0不能去掉”。通过如此正反两个方面的思辨，加深了学生对小数性质的理解。（3）相映式思辨相错交融、和谐一统。在思辨交流中，一方与另一方表述的各是一个观点、一种发现，各自具有一个完整的意思和内涵，而各方思辨内容又能相互衬托，交相辉映，和谐地统一于一个题旨之中。例如:四年级下册认识平行四边形一课，针对于“平行四边形的边有什么特点？”这一问题，有学生通过测量得出“上下两条边长度相等、左右两条边长度也相等”；有的同学则通过平移方法思辨道“平行四边形上下两条边平行，左右两条边平行”；进而引领学生思辨、概括出“平行四边形两组对边分别平行且相等”。从中我们发现，测量和平移等实践操作实质上学生数学隐性思辨的具体外在表现，他们相映而至，和谐统一。（4）争论式思辨百家争鸣、齐赢共生。在思辨交流中，一方的发言是对另一方思辨观点及内容的批评和否定，提出了另一种完全不同的观点，引发争论。在进行争论式思辨时，要注意这样几点：首先，将问题理解，归类；其次，找出该问题与自己观点的矛盾之处；第三，从自己的观点中找出更有深度的思想来反驳。第四，思辨时要相互尊重，在智慧碰撞中不断吸收内化，从而齐赢共生。例如：教