第4讲 溷凝土的徐变收缩理论

1、桥桥 梁梁 结结 构构 理理 论论任课教师：吴金荣任课教师：吴金荣安徽理工大学土木建筑学院安徽理工大学土木建筑学院混凝土的徐变收缩理论v徐变、收缩及其影响因素v徐变、收缩的数学模型v徐变效应分析v徐变、收缩微分方程v徐变、收缩代数方程v徐变收缩有限元、拟弹性逐步分析法 徐变、收缩徐变、收缩是混凝土这种粘弹性材料的基本特性之一，它是混凝土这种粘弹性材料的基本特性之一，它不但对不但对桥梁结构影响大桥梁结构影响大，而且，而且持续的时间长持续的时间长，且其，且其变化过程复变化过程复杂杂，不易把握。，不易把握。1.徐变、收缩及其影响因素徐变、收缩及其影响因素 (1) 徐变与收缩徐变与收缩 徐变徐变当荷载

2、作用在混凝土构件上，试件首先发生瞬时当荷载作用在混凝土构件上，试件首先发生瞬时弹性变形，随后，随时间缓慢地进一步增加变形。这种缓慢增弹性变形，随后，随时间缓慢地进一步增加变形。这种缓慢增加的变形称为混凝土的徐变变形。加的变形称为混凝土的徐变变形。 收缩收缩在无荷载情况下，混凝土构件随时间缓慢变形，在无荷载情况下，混凝土构件随时间缓慢变形，这种变形称为混凝土的收缩变形。这种变形称为混凝土的收缩变形。 在实际混凝土结构中，在实际混凝土结构中，徐变、收缩与温度应变是混杂在一徐变、收缩与温度应变是混杂在一起起的。从实测的应变中，应扣除温度应变和收缩应变，才能得的。从实测的应变中，应扣除温度应变和收缩应

3、变，才能得到徐变应变。在分析计算中温度应力与温度应变往往单独考虑。到徐变应变。在分析计算中温度应力与温度应变往往单独考虑。徐变与收缩则可在一起考虑。徐变与收缩则可在一起考虑。根据根据1990年年ceb-fip标准规范，在时刻标准规范，在时刻 承受单轴向、不变应承受单轴向、不变应力为力为 的混凝土构件，在时刻的混凝土构件，在时刻 的总应变的总应变 可分解为可分解为 t)(t)()( )()()()()(ttttttntsci加 载 时 初加 载 时 初始应变始应变在在 时刻时刻时的徐变应变时的徐变应变t收缩应变收缩应变温度应变温度应变由应力产生的应变由应力产生的应变)()()(ttci不由应力产

4、生的应变不由应力产生的应变)()()(ttttsn在不包括温度应变时，混凝土的应变可进一步分解为（下图）在不包括温度应变时，混凝土的应变可进一步分解为（下图）strfgfavet,)()(e 初始瞬时弹性应变初始瞬时弹性应变 ；e 滞后弹性应变，属可恢复的徐变；滞后弹性应变，属可恢复的徐变； v 初始瞬时流塑应变，主要不可恢复；初始瞬时流塑应变，主要不可恢复； a 基本徐变应变，不可恢复；基本徐变应变，不可恢复；gf , 干燥徐变应变，部分可能恢复。干燥徐变应变，部分可能恢复。trf , 混凝土的徐变，通常采用混凝土的徐变，通常采用徐变系数徐变系数 来描述。目前国来描述。目前国际上对徐变系数有

5、际上对徐变系数有两种不同两种不同的定义。如在的定义。如在 时刻开始作用于混时刻开始作用于混凝土的单轴向常应力凝土的单轴向常应力 至时刻至时刻 所产生的徐变应变为所产生的徐变应变为 ，第一种徐变系数采用第一种徐变系数采用混凝土在混凝土在28天时的瞬时弹性应变天时的瞬时弹性应变定义，即定义，即),(t)(t),(tc28)(),(),(ettc 采用这种定义的是采用这种定义的是ceb-fip标准规范标准规范（1990年版）及英年版）及英国标准国标准bs5400第四部分（第四部分（1984年版）。年版）。徐变系数的另一种定义可表示为徐变系数的另一种定义可表示为)()(),(),(ettc 这一定义是

6、由美国这一定义是由美国aci209委员会委员会报告所建议的（报告所建议的（1982年年版）。在该建议中，混凝土的标准加载龄期版）。在该建议中，混凝土的标准加载龄期 ，对于潮湿养，对于潮湿养护的混凝土为护的混凝土为7天，对于蒸汽养护的混凝土为天，对于蒸汽养护的混凝土为13天。天。 从时刻从时刻 开始对混凝土作用单轴向单位应力，在时刻开始对混凝土作用单轴向单位应力，在时刻所产生的总应变通常定义为所产生的总应变通常定义为徐变函数徐变函数 。对于上述两种徐。对于上述两种徐变系数的定义方法，徐变函数可分别表示为变系数的定义方法，徐变函数可分别表示为t),(tj ceb-fip ),(1)(1),(28t

7、eetj ac1209 ),(1 )(1),(tetj 混凝土的收缩是混凝土硬固由于所含水分的蒸发及其它物理化学的原混凝土的收缩是混凝土硬固由于所含水分的蒸发及其它物理化学的原因（但不是由于应力的原因）产生的体积的缩小。与收缩相反的是混凝土因（但不是由于应力的原因）产生的体积的缩小。与收缩相反的是混凝土凝固因含水量的增加也导致的体积的增加。混凝土的收缩应变，一般表达凝固因含水量的增加也导致的体积的增加。混凝土的收缩应变，一般表达为为 的函数形式。混凝土的函数形式。混凝土收缩应变终值收缩应变终值的预计，主要依据的预计，主要依据环境条件、环境条件、混凝土成分及构件尺寸混凝土成分及构件尺寸，cfb-

8、fip建议、建议、aci209委员会建议及委员会建议及bs5400规范都有相应计算方法。规范都有相应计算方法。),(ts (2) 徐变、收缩对桥梁结构的影响徐变、收缩对桥梁结构的影响 混凝土的徐变、收缩对桥梁结构的影响表现在：混凝土的徐变、收缩对桥梁结构的影响表现在： （a）在钢筋砼、预应力）在钢筋砼、预应力砼砼等配筋构件中，随时间而变化的混凝土徐等配筋构件中，随时间而变化的混凝土徐变、收缩受到变、收缩受到内部配筋约束内部配筋约束将导致将导致内力的重分布内力的重分布。预应力损失实际上也。预应力损失实际上也是预应力是预应力砼砼构件内力重分布的一种构件内力重分布的一种 。 （b b）预制的）预制的

9、砼砼梁或钢梁与就地灌筑的混凝土板组成的结合梁，将由梁或钢梁与就地灌筑的混凝土板组成的结合梁，将由于于预制部件与现场浇筑部件之间不同的徐预制部件与现场浇筑部件之间不同的徐变、收缩值而导致内力的重分变、收缩值而导致内力的重分布布。同样，梁体的各组成部分具有不同的徐变、收缩特性者亦将由于变。同样，梁体的各组成部分具有不同的徐变、收缩特性者亦将由于变形不同、相互制约而引起内力或应力的变化。形不同、相互制约而引起内力或应力的变化。 （c c）分阶段施工的预应力混凝土超静定结构分阶段施工的预应力混凝土超静定结构，如连续梁、，如连续梁、刚架、斜拉桥、拱桥等，在施工过程中发生体系转换时，从前刚架、斜拉桥、拱桥

10、等，在施工过程中发生体系转换时，从前期结构继承下来的应力状态所产生的徐变受到后期结构的约束，期结构继承下来的应力状态所产生的徐变受到后期结构的约束，从而导致结构内力与支点反力的重分布。从而导致结构内力与支点反力的重分布。 （d d）外加强迫变形如支座沉降或支座标高调整外加强迫变形如支座沉降或支座标高调整所产生的约所产生的约束内力，也将在混凝土徐变的过程中发生变化，部分约束内力束内力，也将在混凝土徐变的过程中发生变化，部分约束内力将逐渐释放。将逐渐释放。 （e e）徐变对细长混凝土压杆会产生的附加挠度。徐变对细长混凝土压杆会产生的附加挠度。 混凝土的徐变、收缩及其对结构性能影响的预计和控制，混凝

11、土的徐变、收缩及其对结构性能影响的预计和控制，是十分复杂又难以获得精确答案的问题。正如美国混凝土学会是十分复杂又难以获得精确答案的问题。正如美国混凝土学会第第209委员会委员会1982年的报告所指出的那样，几乎所有影响徐年的报告所指出的那样，几乎所有影响徐变、收缩的因素，连同它们所产生的结果本身。变、收缩的因素，连同它们所产生的结果本身。 因此，对于一些特别重要的工程，应该通过模型试验或因此，对于一些特别重要的工程，应该通过模型试验或实物测量的方法来校核计算中所用的参数，以提高计算结果实物测量的方法来校核计算中所用的参数，以提高计算结果与实际接近的程度。与实际接近的程度。 (3) 影响徐变、收

12、缩的因素影响徐变、收缩的因素 徐变、收缩虽各有自身的特点，但它们都可以与混凝土内徐变、收缩虽各有自身的特点，但它们都可以与混凝土内水化水泥浆的特性联系起来。化学成分截然不同的水泥制造的水化水泥浆的特性联系起来。化学成分截然不同的水泥制造的混凝土，所反映的徐变、收缩性能并没有本质上的差异，这混凝土，所反映的徐变、收缩性能并没有本质上的差异，这说说明徐变、收缩的机理在于混凝土水化水泥浆的物理结构，而不明徐变、收缩的机理在于混凝土水化水泥浆的物理结构，而不在于水泥的化学性质在于水泥的化学性质。 关于混凝土收缩的原因及机理可归纳为：关于混凝土收缩的原因及机理可归纳为： （a a）自发收缩自发收缩。这是

13、在没有水分转移下的收缩，其原因是。这是在没有水分转移下的收缩，其原因是水泥水化物的体积小于参与水化反应的水泥和体积，因此是一水泥水化物的体积小于参与水化反应的水泥和体积，因此是一种水化反应所产生的固有收缩。这种收缩的量值较小。种水化反应所产生的固有收缩。这种收缩的量值较小。 （b b）干燥收缩干燥收缩。这是混凝土内部吸附水的消失而产生的收。这是混凝土内部吸附水的消失而产生的收缩。也是混凝土收缩应变的主要部分。缩。也是混凝土收缩应变的主要部分。 （c c）碳化收缩碳化收缩。这是由混凝土中的水泥水化物与空气中的。这是由混凝土中的水泥水化物与空气中的二氧化碳发生化学反应而产生。碳化收缩是不久以前才发

14、现的二氧化碳发生化学反应而产生。碳化收缩是不久以前才发现的现象。现象。 关于混凝土徐变机理的各种理论和假设，关于混凝土徐变机理的各种理论和假设，迄今为止还没有迄今为止还没有一种能被广泛接受一种能被广泛接受。美国混凝土学会。美国混凝土学会209委员会在委员会在1972年的报年的报告中将徐变的主要机理分为告中将徐变的主要机理分为 （a a）在应力和吸附水层的润滑作用下，水泥胶浆体的滑动）在应力和吸附水层的润滑作用下，水泥胶浆体的滑动或剪切所产生的水泥石的粘稠变形。或剪切所产生的水泥石的粘稠变形。 （b）在应力作用下，由于吸附水的渗流或层间水转移而导）在应力作用下，由于吸附水的渗流或层间水转移而导致

15、的紧缩。致的紧缩。 （c c）在水泥胶凝体对骨架弹性变形的约束作用所引起的滞）在水泥胶凝体对骨架弹性变形的约束作用所引起的滞后弹性变形。后弹性变形。 （d）由于局部发生微裂及结晶破坏以及重新结晶与新的联）由于局部发生微裂及结晶破坏以及重新结晶与新的联结而产生的永久变形。结而产生的永久变形。 在下图中，影响混凝土收缩因素是与荷载条件无关的部在下图中，影响混凝土收缩因素是与荷载条件无关的部分，但对混凝土徐变与收缩均有影响的因素，其作用不尽相分，但对混凝土徐变与收缩均有影响的因素，其作用不尽相同。同。 对于混凝土徐变，另一项重要的影响因素就是对于混凝土徐变，另一项重要的影响因素就是荷载条件荷载条件。

16、在徐变试验中施加于构件的应力一般取低于混凝土强度在徐变试验中施加于构件的应力一般取低于混凝土强度45%左右的单轴向压应力左右的单轴向压应力。大量试验结果表明，当压应力小于混。大量试验结果表明，当压应力小于混凝土凝土强度的强度的50%时，徐变应变可以被时，徐变应变可以被认为与所施加应力具有认为与所施加应力具有线性关系线性关系。超过这一应力，将导致非线性关系。这种现象被。超过这一应力，将导致非线性关系。这种现象被认为是由于骨料与凝固水泥浆交界面上出现的微裂所致。当认为是由于骨料与凝固水泥浆交界面上出现的微裂所致。当应力小于混凝土强度的应力小于混凝土强度的50%时，拉力徐变与所施应力呈线性时，拉力徐

17、变与所施应力呈线性关系，拉力徐变初始速度较大但降速快，最终徐变可能小于关系，拉力徐变初始速度较大但降速快，最终徐变可能小于压力徐变。压力徐变。混凝土徐变泊松比一般可视为与弹性泊松比相等。混凝土徐变泊松比一般可视为与弹性泊松比相等。 内部因素内部因素1 1 骨料种类骨料种类2 2 水泥品种水泥品种 3 3 配合比配合比 4 4 水灰比水灰比5 5 外加剂外加剂 6 6 构件外形尺寸构件外形尺寸7 7 搅拌捣固搅拌捣固8 8 养护时间养护时间 9 9 养护湿度养护湿度 1010 养护温度养护温度 材材料料性性质质构件几何性质构件几何性质制制造造养养护护构件构件性质性质与与荷荷载载有有关关( (无无

18、关关) )的的随随时时间间的的应应变变 外部因素外部因素 1 环境湿度环境湿度2 2 环境温度环境温度 3 3 环境介质环境介质4 4 加载加载( (或干燥或干燥) )开始龄期开始龄期 5 5 荷载持续时间荷载持续时间 6 6 荷载循环次数荷载循环次数 7 7 卸荷时间卸荷时间 8 8 应力大小应力大小 9 9 应力分布应力分布1010 加荷速度加荷速度 环境条件环境条件加载历史加载历史荷载性质荷载性质荷荷载载条条件件与与荷荷载载有有关关无无关关的的随随时时间间的的应应变变 影响徐变、收缩的因素2.徐变、收缩的数学模型 (1) 徐变、收缩数学表达式徐变、收缩数学表达式 （a）徐变数学表达式）徐

19、变数学表达式 目前国际上徐变系数的数学表达式有多种，但是可以分目前国际上徐变系数的数学表达式有多种，但是可以分为两类：为两类： 一类一类将徐变系数表达为一系列系数的乘积将徐变系数表达为一系列系数的乘积，每一个，每一个系数表示一个影响徐变值的重要因素；另一类则将系数表示一个影响徐变值的重要因素；另一类则将徐变系数表徐变系数表达为若干个性质互异的分项系数之和。达为若干个性质互异的分项系数之和。 h.tost与与w.rat在在1967年提出徐变系数年提出徐变系数 的一般的一般表达式可写成表达式可写成),(t)(),(tfktn加载加载龄期龄期 常应力常应力 持续作用的时间；持续作用的时间；)(t)(

20、 加载龄期的影响系数；加载龄期的影响系数；k 徐变随时间发展的函数。徐变随时间发展的函数。 )(tf0 . 1)(,; 0)(,tfttft 徐变系数特征值，徐变系数特征值， ，其中，其中 分别为取决于环境、混凝土成分及稠度、构件尺分别为取决于环境、混凝土成分及稠度、构件尺寸寸 的系数。的系数。n320ccn320,cc上式又可写成上式又可写成),(),(),(tft加载龄期为加载龄期为 时徐变系数终值时徐变系数终值32),(cckkn 在上式中，连乘系数的多少视考虑因素的多少而定，每一在上式中，连乘系数的多少视考虑因素的多少而定，每一种系数可以从现成的图表中查得，或按一定的公式计算。目前，种

21、系数可以从现成的图表中查得，或按一定的公式计算。目前，采用这种表达式的有采用这种表达式的有英国规范英国规范bs5400（1984年版第四部分），年版第四部分），及美国及美国aci209委员会的建议（委员会的建议（1982年版）。年版）。ceb-fip标准规范（标准规范（1978年版）采用下述的徐变系数表达式年版）采用下述的徐变系数表达式),(),()(),(tttfda 加载后最初几天产生的不可恢复的变形系数；加载后最初几天产生的不可恢复的变形系数；)(a 可恢复的弹性变形系数，或徐弹系数；可恢复的弹性变形系数，或徐弹系数；),(td 不可恢复的流变系数，或徐塑系数；不可恢复的流变系数，或徐塑

22、系数；),(tf z.p.bazant提出了由基本徐变和干燥徐变组成的徐变表提出了由基本徐变和干燥徐变组成的徐变表达式，称为达式，称为bp模式，用徐变函数模式，用徐变函数 表示为总应变表示为总应变),(0ttj),(),(),()(1),(0000ttcttctcettjpd 分别表示干燥龄期、加载龄期及计算徐变时的龄期；分别表示干燥龄期、加载龄期及计算徐变时的龄期； tt,0 单位应力产生的初始弹性应变；单位应力产生的初始弹性应变；)(e1单位应力产生的基本（无水分转移）徐变；单位应力产生的基本（无水分转移）徐变；),(tc0 干燥以后徐变的减小值。干燥以后徐变的减小值。),(0ttcp式中

23、：式中：式中：式中： 1990年版年版ceb-fip标准规范的徐变系数表达式有很大变标准规范的徐变系数表达式有很大变动，形式上也类似于系数乘积动，形式上也类似于系数乘积),()(),(),(0tbttcfcmrhc式中：式中： 名义徐变系数；名义徐变系数；0 环境相对湿度修正系数；环境相对湿度修正系数；rh 混凝土强度修正系数混凝土强度修正系数 ； fcm加载龄期修正系数；加载龄期修正系数；)( 徐变进程时间系数；徐变进程时间系数；),(tc 以上以上 、 除与环境相对湿度有关，也与构件的理除与环境相对湿度有关，也与构件的理论厚度有关。水泥品种、养护温度对徐变的影响，通过修正加论厚度有关。水泥

24、品种、养护温度对徐变的影响，通过修正加载龄期载龄期 予以考虑。予以考虑。rh),(tc 混凝土徐变混凝土徐变随加载龄期的增长而单调地衰减，又随着加载随加载龄期的增长而单调地衰减，又随着加载持续时间的增加而单调地增加持续时间的增加而单调地增加，但增加的速度随时间的增加而，但增加的速度随时间的增加而递减。关于徐变系数是否存在极限的问题，递减。关于徐变系数是否存在极限的问题， 学术界有着不同的意见。学术界有着不同的意见。认为极限存在者，一般用指数函认为极限存在者，一般用指数函数或双曲线函数作为表达式数或双曲线函数作为表达式, ,认为不存在极限者，则多采用幂函认为不存在极限者，则多采用幂函数或对数函数

25、作为表达式数或对数函数作为表达式 指数函数表达式最有代表性的是指数函数表达式最有代表性的是老化理论老化理论表达式，也称表达式，也称dischinger法，假定不同加载龄期的徐变系数法，假定不同加载龄期的徐变系数龄期曲线，龄期曲线，可能可能由通过原点的徐变系数由通过原点的徐变系数龄期曲线的垂直平移而得龄期曲线的垂直平移而得，即，即),(),(),(00tttt按指数形式可表达为按指数形式可表达为1 )0 ,(),()(teet徐变速率徐变速率 这种表达式是这种表达式是f.dischinger在在1937年首先应用于复杂结年首先应用于复杂结构分析而被称为构分析而被称为dischinger法。法。

26、双曲线幂函数系数表达式是双曲线幂函数系数表达式是d.e.branson于于1964年提年提出的，也是美国出的，也是美国aci209委员会所建议的形式委员会所建议的形式ddtbtt)()(),( 、 由试验确定的常数，美国由试验确定的常数，美国aci209委员会在委员会在1982年报告中取年报告中取bd6 . 0,10db1975年年z.p.bazant提出了双幂函数来表示基本徐变提出了双幂函数来表示基本徐变nmtaatc)(),(0式中式中 是一些与影响徐变因素有关的函数。这是徐变系是一些与影响徐变因素有关的函数。这是徐变系数最为复杂的时间函数，但其适合计算机编程运算。数最为复杂的时间函数，但

27、其适合计算机编程运算。nam, （b）收缩应变的数学表达式）收缩应变的数学表达式 混凝土收缩应变一般表达式为收缩应变终值与时间函数的混凝土收缩应变一般表达式为收缩应变终值与时间函数的乘积，即乘积，即)(),(,tftss收缩应变发展的时间函数收缩应变发展的时间函数010.)(,;)(,tfttft 收缩应变的终值取决于环境的相对湿度、混凝土成分和构收缩应变的终值取决于环境的相对湿度、混凝土成分和构件理论厚度件理论厚度等因素。收缩应变时间函数的表达式有如下几种形等因素。收缩应变时间函数的表达式有如下几种形式：式： 美国美国aci209委员会建议的双曲线函数表达式委员会建议的双曲线函数表达式)()

28、(tattf与混凝土的养护条与混凝土的养护条件有关的参数件有关的参数 1978年年z.p.bazant教授提出的教授提出的bp模式中，采用平方根双模式中，采用平方根双曲线函数形式表示收缩应变的时间函数曲线函数形式表示收缩应变的时间函数)()(tattf常数由构件形状、有效常数由构件形状、有效厚度及开始干燥的龄期厚度及开始干燥的龄期等因素而定等因素而定 收缩应变另一种时间函数是假定其发展速度同徐变一样，收缩应变另一种时间函数是假定其发展速度同徐变一样，故通常取指数函数的形式，即故通常取指数函数的形式，即)(1)(tetf收缩的速率收缩的速率 （c）混凝土弹性模量随时间的发展）混凝土弹性模量随时间

29、的发展 在混凝土徐变的分析中，混凝土在混凝土徐变的分析中，混凝土弹性模量随时间弹性模量随时间的发展规的发展规律是一个重要的参数，尤其在较精确的分析计算中。律是一个重要的参数，尤其在较精确的分析计算中。 根据美国根据美国aci209委员会委员会1982年的报告，混凝土的弹性年的报告，混凝土的弹性模量的时间函数表示为模量的时间函数表示为2821)(etcctte常数，根据养护条件常数，根据养护条件和水泥品种而定和水泥品种而定 1990年版的年版的ceb-fip标准规范给出的混凝土的割线模量标准规范给出的混凝土的割线模量的时间函数则为的时间函数则为)(6 . 028)()()()()(tsaccee

30、etttette与水泥品种有关的系数与水泥品种有关的系数和与龄期有关的函数和与龄期有关的函数 以上两种规范所给出的混凝土割线弹性模量函数的形式以上两种规范所给出的混凝土割线弹性模量函数的形式完完全不同全不同。事实上，由于决定混凝土弹性模量的因素复杂，随着。事实上，由于决定混凝土弹性模量的因素复杂，随着试验的深入，同一规范在不同时期也会有较大改变，如试验的深入，同一规范在不同时期也会有较大改变，如ceb-fip1978年版的与其上式完全不同。年版的与其上式完全不同。 （2）徐变、收缩应变、应力的关系）徐变、收缩应变、应力的关系 （a）线性叠加原理）线性叠加原理 如前所述，在工作应力下，混凝土的弹

31、性应变和徐变应如前所述，在工作应力下，混凝土的弹性应变和徐变应变都与应力呈线性关系。因此，变都与应力呈线性关系。因此，只要总应力不超过混凝土强只要总应力不超过混凝土强度的度的50%左右，分批施加应力所产生的应变可以采用叠加原左右，分批施加应力所产生的应变可以采用叠加原理理。至于卸载或减载后的徐变恢复是否可叠加和如何叠加的至于卸载或减载后的徐变恢复是否可叠加和如何叠加的问题是值得进一步探讨的。问题是值得进一步探讨的。1943年年d.mchenry提出了徐变提出了徐变可逆性理论，他将卸载考虑为施加负荷载，其所产生的徐变可逆性理论，他将卸载考虑为施加负荷载，其所产生的徐变与同一时刻施加的正荷载所产生

32、的徐变相等，但方向相反。与同一时刻施加的正荷载所产生的徐变相等，但方向相反。混凝土试件的试验都说明叠加原理对基本徐变符合得很好，混凝土试件的试验都说明叠加原理对基本徐变符合得很好，但是对于包括干燥徐变的总徐变来说，由叠但是对于包括干燥徐变的总徐变来说，由叠加原理所得出的加原理所得出的徐变恢复一般大于实际恢复徐变恢复一般大于实际恢复。因此，应用叠加原理对递减荷。因此，应用叠加原理对递减荷载将会产生少量偏差。载将会产生少量偏差。叠加原理仍是设计工作中有价值的工叠加原理仍是设计工作中有价值的工具。具。 根据叠加原理，对于在根据叠加原理，对于在 时刻施加初应力时刻施加初应力 ，又在不同，又在不同的时刻

33、的时刻 分阶段施加应力增量分阶段施加应力增量 的混凝土，的混凝土，其在以后任何时刻其在以后任何时刻 包括收缩应变在内的总应变可以表达为包括收缩应变在内的总应变可以表达为0)(0), 2 , 1(nii)(itnisiiittetet100000),(),(1 )()(),(1 )()(),( 对后加应力为连续变化的应力，则可写出描述叠加原理的对后加应力为连续变化的应力，则可写出描述叠加原理的积分表达式积分表达式tstettet0),(d)(),(1)(),(1 )()(),(00000进行分部积分，并假定进行分部积分，并假定收缩应变的发展进程与徐变相似收缩应变的发展进程与徐变相似，即，即),(

34、),(0,0ttsststdtdetett0),(d),()()()()(),(0,00 则则 （b）应力、应变关系的微分方程表达式）应力、应变关系的微分方程表达式 将不同的徐变系数表达式代入上式可推导出应力、应变关将不同的徐变系数表达式代入上式可推导出应力、应变关系的微分方程表达式。如对于系的微分方程表达式。如对于dischinger法，应力、应变的微法，应力、应变的微分方程为分方程为tttettttetd),(d)()(d)(d)(1dd 但是，有些徐变系数表达式不能得出常微分方程，故不能但是，有些徐变系数表达式不能得出常微分方程，故不能利用微分方程求解，正因为如此，利用微分方程求解，正因

35、为如此，dischinger法在国内外广泛法在国内外广泛被采用，直到被采用，直到20世纪世纪60年代后期才逐渐为年代后期才逐渐为trost-bazant法所法所取代取代 （c）应力、应变关系的代数方程表达式）应力、应变关系的代数方程表达式 1967年年h.trst教授在他的论文中，从混凝土应力教授在他的论文中，从混凝土应力应变应变的线性关系和叠加原理出发，引入了老化系数（松弛系数）的的线性关系和叠加原理出发，引入了老化系数（松弛系数）的概念，并假定混凝土弹性模量为常数，推导出在不变荷载下，概念，并假定混凝土弹性模量为常数，推导出在不变荷载下，由徐变、收缩导致的应变增量与应力增量之间关系的代数方

36、程由徐变、收缩导致的应变增量与应力增量之间关系的代数方程表达式为表达式为),(),(),(1 ),(),()(),(tttettets),(),(),(1 ),(),(1 )()(tttettets从上式又可推导出从应变变化求应力变化的公式，即从上式又可推导出从应变变化求应力变化的公式，即),()(),()()()(),(),(1),(),(ttettetttts),()()(),(),(1),(),(1),(1)()(ttttetttts 老化系数（当初老化系数（当初h.t.rost称其松弛系数，称其松弛系数，1972年年z.p.bazant改称老化系数）改称老化系数）),(ttiiiktk

37、t),()(),(表示加载龄期对徐变表示加载龄期对徐变系数终值的影响系数系数终值的影响系数 1972年年z.p.bazant将将),(),(1)(),(ttete定义为按龄期调整的有效模量。定义为按龄期调整的有效模量。 老化系数可根据所采用的徐变系数表达式进行推算。如采老化系数可根据所采用的徐变系数表达式进行推算。如采用用dischinger法的表达式，则老化系数可以表示为法的表达式，则老化系数可以表示为),(111),(),(tett),()(),(tgt),(1)(),(tetg松弛函数松弛函数松弛系数松弛系数松弛系数定义为从龄期松弛系数定义为从龄期 至至 的应力降低值对初应力之比的应力降

38、低值对初应力之比t)(),()(),(tt 在实际结构中，应力和应变往往是随时间同时变化，交错在实际结构中，应力和应变往往是随时间同时变化，交错影响的。在影响的。在静定结构中，应变或变形的增减并不导致应力的变静定结构中，应变或变形的增减并不导致应力的变化，但是应力的变化往往导致应变的变化化，但是应力的变化往往导致应变的变化。在超静定结构中，。在超静定结构中，不仅应力的变化将导致应变的变化，而且应变的变化也会导致不仅应力的变化将导致应变的变化，而且应变的变化也会导致应力的变化。工程中一些重要的问题如：应力的变化。工程中一些重要的问题如：已知支座的不均匀已知支座的不均匀沉陷量，求支座反力与内力的变

39、化问题；沉陷量，求支座反力与内力的变化问题；结合梁的内力重分结合梁的内力重分布布问题。问题。（d）徐变与松弛）徐变与松弛从龄期从龄期 开始施加常应变开始施加常应变 至龄期至龄期 时的应力时的应力可表达为可表达为)(t),(t 分阶段施工的超静定结构在体系转换后的内力重分布分阶段施工的超静定结构在体系转换后的内力重分布问题等都属于问题等都属于松弛问题。松弛问题。 松弛试验较为困难，资料很少。但是徐变和松弛具有内松弛试验较为困难，资料很少。但是徐变和松弛具有内在的联系，往往需要从已知的徐变函数来推求松弛函数。在的联系，往往需要从已知的徐变函数来推求松弛函数。z.p.bazant从徐变函数与松弛函数

40、的基本概念出发，推导出从徐变函数与松弛函数的基本概念出发，推导出从松弛函数到老化系数的计算公式：从松弛函数到老化系数的计算公式：),(1),()()(),(ttgeettcctetet0d),(1 d)(d1),()(),(00将老化理论的徐变系数将老化理论的徐变系数)()(),(tt把上式代入上式有把上式代入上式有 tcccetetet0d)(d)(d1 )(1 )()()()(),(000ettdeettettccc)(d)(t) )(d)(d)()(),(dc00)()()(0ttc 时刻总应力时刻总应力t3.徐变效应分析徐变效应分析 （1） 老化理论分析老化理论分析 （a）徐变微应变与

41、微应力关系）徐变微应变与微应力关系 若弹性模量取为常数，并不计弹性应变和收缩影响，则若弹性模量取为常数，并不计弹性应变和收缩影响，则应力、应变关系方程表达式为应力、应变关系方程表达式为（b）徐变微应变与内力的关系）徐变微应变与内力的关系 设设 、 为为 时实际结构的初始弯矩和轴力，时实际结构的初始弯矩和轴力，它可以是静定的、超静定的、或者部分静定另一部分超静定结它可以是静定的、超静定的、或者部分静定另一部分超静定结构的内力，视具体情况而定。在构的内力，视具体情况而定。在 后结构成为超静定，后结构成为超静定， 为徐变引起超静定结构的赘余力（为徐变引起超静定结构的赘余力（ ），）， 为超为超静次数

42、，静次数， 和和 为为 =1作用于基本结构产生的弯矩和轴作用于基本结构产生的弯矩和轴力，于是赘余力产生的任意截面的弯矩和轴力为力，于是赘余力产生的任意截面的弯矩和轴力为)(0m)(0n0t0tnj, 2 , 1njmjnjtxjtxnjjtjctnjjtjctxmnxmm11由它产生的徐变应力由它产生的徐变应力iymantctctc)( 轴力和徐变应力以受拉为正，弯矩适用于右手规则，以轴力和徐变应力以受拉为正，弯矩适用于右手规则，以指向指向 轴正向为正，如下图所示。轴正向为正，如下图所示。x结构初始内力产生的应力结构初始内力产生的应力iyman)()()(000消去消去mct，nct并微分有并

43、微分有jtnjjjcxiymantd)(d1写成应力应变式有写成应力应变式有yttc)(),(d00式中式中d)(d)(d)(1)(1100njnjjtjjtjxntxntneat)()()(njjtjnjjtjxmtxmtmei110ddd1重心轴的曲率重心轴的曲率 截面重心处截面重心处的轴向应变的轴向应变（c）变形协调及内力求解）变形协调及内力求解设切口设切口 方向的变形为方向的变形为 ，利用虚力原理得，利用虚力原理得itxismstniiidd0)(将将 和和 表达式代入上式有表达式代入上式有)(0t dd ddddn1j100sxeimmeannstxeimmeannsteimmean

44、njtjijisjtnjjijisiii)()()()( 应当注意，结构不同位置的徐变系数是不同的，如果最年应当注意，结构不同位置的徐变系数是不同的，如果最年轻混凝土的徐变系数为轻混凝土的徐变系数为 ，那么，由老化理论知，其他龄期，那么，由老化理论知，其他龄期混凝土的徐变系数可表示成混凝土的徐变系数可表示成)(tettetssss )()()(则有则有njnjjtijjtijipixx11*dddseimmeannsiiipd)()(00*seimmeannsjijiijd*seimmeannjijiijd根据变形协调条件，应当有根据变形协调条件，应当有), 2 , 1( 0nii写成矩阵形式

45、为写成矩阵形式为 0dd*xx 上式是上式是老化理论求解超静定结构徐变二次内力的基本微分方老化理论求解超静定结构徐变二次内力的基本微分方程组程组，当混凝土龄期相同时，即，当混凝土龄期相同时，即 ，于是有，于是有1s * 0ddxx令令 1x于是于是 xxddx由此解得由此解得 )1 (exx即即njexxjjt, 2 , 1 )1 ( （d）讨论）讨论 如果用如果用 、 表示后期结构的弯矩和轴力，即一次落架的表示后期结构的弯矩和轴力，即一次落架的内力，内力， 、 为为 时刻的结构内力，则有时刻的结构内力，则有gm2gn2gtmgtntnjnjjjjjgtexmmxmmm1100)1 ()()(

46、由于由于njjjgxmmm102)(有有njgjjmmxm102)(得得)1)()(020emmmmggt类似可以推得类似可以推得)1)()(020ennnnggt表明，当结构初始内力是一次落架的内力时，即表明，当结构初始内力是一次落架的内力时，即gmm20)(gnn20)( 那么这那么这两式右边的第二项等于零，亦就是徐变的二次内力两式右边的第二项等于零，亦就是徐变的二次内力等于零等于零；另外，也表明，；另外，也表明， 、 的差值的差值越大，徐变二次力亦越大，结构内力变化亦越大，这些性质对越大，徐变二次力亦越大，结构内力变化亦越大，这些性质对了解结构的徐变效应是十分重要的。了解结构的徐变效应是

47、十分重要的。)(02mmg)(02nng（2） t-b分析法 在应力、应变关系的代数方程式中舍去弹性应变及收缩影在应力、应变关系的代数方程式中舍去弹性应变及收缩影响，则有响，则有etetcc)(),()(),(000仿效上节老化理论分析过程，有仿效上节老化理论分析过程，有yttc)(),(00njjtjxaenteant1000),()()(njjtjxiemteim100),()(利用虚力原理可以求出切口方向的变形为利用虚力原理可以求出切口方向的变形为njnjjtijipjijijtiiiciixsiemmaennxsteimmeannsmdstn11000d d d*),()()()(st

48、eimmeanniiipd),()()(000*siemmaennjijiijd*根据切口处的变形协调条件有根据切口处的变形协调条件有), 2 , 1( 0nii写成矩阵形式写成矩阵形式 0*x 上式是上式是t-b法求解超静定结构徐变赘余力的基本方程，它法求解超静定结构徐变赘余力的基本方程，它是代数方程组，很容易求解。是代数方程组，很容易求解。当结构混凝土龄期相同，且初始内力为一次落架时，则有当结构混凝土龄期相同，且初始内力为一次落架时，则有 0 0*x 即即徐变不引起此种超静定结构内力重分布。徐变不引起此种超静定结构内力重分布。（2） 参数参数（a）从前期继承下来在赘余力方向的初内力）从前期

49、继承下来在赘余力方向的初内力), 2 , 1(,1njxj（b）结构体系转换时刻为）结构体系转换时刻为 （c）体系转换后时刻）体系转换后时刻 产生于赘余力方向的次内力为产生于赘余力方向的次内力为 （ ）。）。t),(txjnj, 2 , 1（3） 相容方程相容方程 在体系转换后的任何时刻在体系转换后的任何时刻 的的 时间内，第时间内，第 个赘余力方个赘余力方向的变位增量分别为：向的变位增量分别为：tdti（a）由次内力增量）由次内力增量 产生的变位增量：产生的变位增量：),(tdxjnjjijtx1),(（b）由徐变增量产生的变位增量：）由徐变增量产生的变位增量：njjijttx1),(d),

50、( 4.徐变、收缩微分方程徐变、收缩微分方程 （1） 基本假定基本假定 （a）桥梁结构的所有构件具有相同的徐变和收缩特性）桥梁结构的所有构件具有相同的徐变和收缩特性 （b）体系转换之前结构继承下来的荷载为）体系转换之前结构继承下来的荷载为 ，内力为，内力为 ，体，体系转换之后结构具有系转换之后结构具有 次超静定。次超静定。q1xn （c）由荷载及初内力）由荷载及初内力 产生的变位增量：产生的变位增量：ix),(d1 ,ti （d）由混凝土收缩变化产生的变位增量：）由混凝土收缩变化产生的变位增量：),(d,tsi则变位相容条件为则变位相容条件为 21 0dd dd111,n),(it(t,ttx

51、txiijnjjijnjjij),(),(),(),(,式中：式中： 所产生于基本静定结构第所产生于基本静定结构第 个赘余力方向个赘余力方向的变位；的变位；ij1jxi 由荷载由荷载 及初内力及初内力 产生于基本静定结构第产生于基本静定结构第 个赘余力方向的变位；个赘余力方向的变位；1 , iq1xi 时间时间 混凝土的徐变系数。混凝土的徐变系数。),(tt 体系转换体系转换后经后经 的时间的时间 内，混凝土收缩内，混凝土收缩产生于基本静定结构第产生于基本静定结构第 个赘余力方向的变位。个赘余力方向的变位。),(d,tsitt di（4） 求解方法求解方法 若收缩速度与徐变相似，则若收缩速度与

52、徐变相似，则),(d),(,ttdsisinjjijqiix11 ,1 ,则变位相容条件式可化为则变位相容条件式可化为njsiqijjjijnixtxttx1,1 ,), 2 , 1( ),(),(d),(d式中：式中： 荷载荷载 产生于基本静定结构第产生于基本静定结构第 个赘余力方向的个赘余力方向的变位；变位；qi,qi 在在 混凝土收缩产生于基本静定结构第混凝土收缩产生于基本静定结构第 个个赘余力方向的变位赘余力方向的变位 ；,siti),(,si 在在 混凝土的徐变系数，即徐变系数终极混凝土的徐变系数，即徐变系数终极值值 。t),( 另一方面，若以同样的外荷载和与收缩应变终极值瞬时施另一

53、方面，若以同样的外荷载和与收缩应变终极值瞬时施加于经体系转换的后期结构中，令第加于经体系转换的后期结构中，令第 个赘余力方向的弹性次个赘余力方向的弹性次内力为内力为 ，则有相应方程，则有相应方程i),(,nixi212), 2 , 1( 1,2,nixnjsiqiiij比较式得到比较式得到), 2 , 1( ),(),(d),(d2,1 ,nixxtxttxiiii解微分方程，并根据初始条件：解微分方程，并根据初始条件：0),(, 0),(,ttxti)1)(),(),(1 ,2,tiiiexxtx故故), 2 , 1, (ni式中：式中： 第第 个赘余力方向因徐变与收缩而产生的内个赘余力方向

54、因徐变与收缩而产生的内力变化；力变化；),(txii 先期结构在第先期结构在第 个赘余力方向的截面内力；个赘余力方向的截面内力；1 , ixi 先期结构荷载加上与收缩应变终极值时的瞬先期结构荷载加上与收缩应变终极值时的瞬时荷载，按后期结构计算得到的第时荷载，按后期结构计算得到的第 个赘余力方向的截面内力。个赘余力方向的截面内力。2, ixi 可以看到，在推导过程中，可以看到，在推导过程中，忽略了实际存在的构件施工节忽略了实际存在的构件施工节段之间徐变特性的差异段之间徐变特性的差异，而经过体系转换后超静定结构几乎毫，而经过体系转换后超静定结构几乎毫无例外地存在着这种差异，这是该式的缺点。但是该式

55、使我们无例外地存在着这种差异，这是该式的缺点。但是该式使我们能够直接估计体系转换后的徐变影响，能够直接估计体系转换后的徐变影响，看到实际的内力线总是看到实际的内力线总是在前期结构的内力线和后期结构的内力线之间变动，变动的辐在前期结构的内力线和后期结构的内力线之间变动，变动的辐度与徐变大小有关。度与徐变大小有关。5.徐变、收缩代数方程 （1） 基本假定基本假定 （a）桥梁结构各构件的徐变、收缩特性相同。）桥梁结构各构件的徐变、收缩特性相同。 （b）后期结构为）后期结构为 次超静定结构。次超静定结构。n （2） 相容方程相容方程 体系转换时刻为体系转换时刻为 ，转换后任一时刻，转换后任一时刻 ，因

56、徐变、收缩产生，因徐变、收缩产生于第于第 个赘余力方向的相容变位有：个赘余力方向的相容变位有：ti （a）由截面徐变次内力）由截面徐变次内力 产生的变位：产生的变位：),(txj),(),(),(tttxijnjj11 （b）由荷载及前期结构继承下来的初内力产生的变位：）由荷载及前期结构继承下来的初内力产生的变位：),(1 ,ti （c）由收缩增量产生的变位）由收缩增量产生的变位),(,tsi则变位相容条件则变位相容条件为为njsiijjinittttxt1,1 ,), 2 , 1( 0),(),(),(1 ),(),(式中：式中： 由荷载及前期结构继承下来的初内力产生于基本静由荷载及前期结构

57、继承下来的初内力产生于基本静定结构第定结构第 个赘余力方向的变位；个赘余力方向的变位； 1 , ii 从时刻从时刻 至时刻至时刻 的时间内，产生于第的时间内，产生于第 个赘余个赘余力方向的截面徐变次内力；力方向的截面徐变次内力；),(txjtj 当当 时产生于基本静定结构第时产生于基本静定结构第 个赘余力个赘余力方向的变位；方向的变位；ij1jxj 从从 到到 时间内的收缩增量产生的基本静定结构时间内的收缩增量产生的基本静定结构第第 个赘余力方向的变位个赘余力方向的变位),(,tsiti有有njsiqijjijttxtxtt1,1 ,),(),(),(),(),(1 整理有整理有), 2 ,

58、1( )(),(),(1),(),(1 ,2,nixxttttxiii若认为若认为微分方程微分方程式与式与代数方程代数方程式的求解结果相同，则式的求解结果相同，则),(1),(),(1),(tettt此即为前述的老化系数此即为前述的老化系数（3） 求解方法求解方法 假定收缩发展的速度与徐变相同，则假定收缩发展的速度与徐变相同，则),(),(,ttsisi )21( 0111,n,itttttttttxbbsbiaasaibbiaainjbbbijaaaijijj,(),(),(),(),(),(),(),(),(,式中：式中： 、 第第 个赘余力在个赘余力在 段作用引起的第段作用引起的第 个个

59、赘余力方向的变位；赘余力方向的变位；aijbijj,bai 荷载及前期结构内力对荷载及前期结构内力对 段作用引起的段作用引起的第第 个赘余力方向的变位；个赘余力方向的变位；1 ,ai1 ,bi,bai （4） 考虑不同徐变、收缩特性考虑不同徐变、收缩特性 如 结 构 各 节 段 混 凝 土 具 有 不 同 的 徐 变 、 收 缩 特 性 ，如 结 构 各 节 段 混 凝 土 具 有 不 同 的 徐 变 、 收 缩 特 性 ，则则 、 、 等均应按徐变特性分段计算。例如，以徐变系等均应按徐变特性分段计算。例如，以徐变系数为数为 者为者为 段，徐变系数为段，徐变系数为 者为者为 段等等，这有段等等

60、，这有ij1 , isi,aabb 1111111111ijiisjijijjiiiiiiicsiicstttttttettttttetttt),(),(),()()(),(),()(),(),(式中：式中： 、 至至 时间内由徐变时间内由徐变与收缩引起的应变增量和应力增量；与收缩引起的应变增量和应力增量；),(1iicstt),(1iicstt1itit 时刻的应力增量；时刻的应力增量；)(jtjt 至至 时间内发生的收缩应变增量；时间内发生的收缩应变增量；),(1iistt1itit 时刻的弹性模量。时刻的弹性模量。)(jtejt6.徐变收缩有限元、拟弹性逐步分析法 用用dischinge