2.1第二类曲线积分ppt课件

1、curvilinear integral第二节第二节 第二类曲线积分第二类曲线积分问题的提出问题的提出第二类曲线积分的概念第二类曲线积分的概念第二类曲线积分的计算第二类曲线积分的计算第十章第十章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分小结小结 思考题思考题 作业作业变力沿曲线所作的功变力沿曲线所作的功BAL:常力沿直线所作的功常力沿直线所作的功ABFW 实例实例 ),(yxFjyxQiyxP),(),( 一、问题的提出一、问题的提出对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分OxyAB Ldst( , ),x yds在处任意取一小弧段作与AB方向一致的单位切向量t那么( , )( , )dWF x ytds

2、F x yds从而( , )( , )LLWF x ydsF x ytds定义1 设设L是一条有向光滑的平面曲线是一条有向光滑的平面曲线,起点是起点是A,终点是B,与,Lt方向一致的单位切向量为( , )F x y是一个连续的向量值函数,则称积分( , )LF x yds为 在有向曲线 上的第二类曲线积分. FL即,( , )( , )LLF x ydsF x ytds二、第二类曲线积分的概念二、第二类曲线积分的概念1. 定义定义对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分注意: 被积表达式都定义在曲线上,即满足曲线的方程.2. 性质性质(1) 线性性质设 是两个连续的向量值函数,F G 设设L是一条有向

3、光滑的平面曲线是一条有向光滑的平面曲线,起点是起点是A,终点是B,12,k k是两个常数, 那么1212LLLk Fk GdskF dskG ds(2) 对弧段的可加性设 如前所述,F L1212,LLLL LL与 的方向一致那么12LLLF dsF dsF ds对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分(3)设 如前所述,F L那么LLF dsF ds ,LL是与 反向的曲线L LOxy 第二类曲线积分与第二类曲线积分与曲线的方向有关曲线的方向有关. .3. 存在条件存在条件在光滑曲线弧在光滑曲线弧L上上第二类曲线积分存在第二类曲线积分存在.连续时连续时, ,( , )F x y当对坐标的曲线积分对坐

4、标的曲线积分4. 物理意义物理意义WAB所作的功所作的功沿沿 AByQxPddjyxQiyxPF),(),( 变变力力sFWABd 对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分dd ,d sxy() (dd)ABPiQjxiyj对坐标的曲线积分与曲线的方向有关对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.三、第二类曲线积分的计算思想是思想是因此下限应是起点的坐标因此下限应是起点的坐标,化为定积分计算化为定积分计算. .上限是终点的上限是终点的坐标坐标.对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分设平面曲线L的方程是( )( )( )r tx t iy t j,tLA tLB对应 的起点对应 的终点( )( ),( )LTr tx

5、 ty t 与 方向一致的切向量从而单位切向量221( ),( )( )( )tx ty txtyt又22( )( )dsxtyt dt再设( , )( , )( , )F x yP x y iQ x y j连续,那么( ( ), ( ) ( )( ( ), ( )( )LLF dsF tdsP x ty tx tQ x ty ty tdt 1. 平面曲线平面曲线对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分设空间曲线C的方程是( )( )( )( )r tx t iy t jz t k,tCA tCB对应 的起点对应 的终点( )( ),( ),( )Tr tx ty tz t 与L方向一致的切向量从而单

6、位切向量2221( ),( ),( )( )( )( )tx ty tz txtytzt又222( )( )( )dsxtytzt dt再设( , , )( , , )( , , )( , , )F x y zP x y z iQ x y z jR x y z k连续,那么( ( ), ( ), ( ) ( )( ( ), ( )( )( ( ), ( ), ( ) ( )CCF dsF tdsP x ty tz tx tQ x ty ty tR x ty tz tz tdt 2. 空间曲线空间曲线对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分3. 等价形式等价形式设空间曲线C的与C方向一致的切向量为cos

7、,cos,cos,cos ,cos,costt xt yt z( ),Tr t dtdx dy dz 从而单位切向量为又设( , , )( , , )( , , )( , , )F x y zP x y z iQ x y z jR x y z k那么coscoscosCCCCF dsF tdsPQRdsPdxQdyRdz 第二类曲线积分也称为对坐标的曲线积分.对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分(1) 若若L是直线是直线x=a上的一段上的一段,那那么么( , )d0LP x yx (2) 若若L是直线是直线y=b上的一段上的一段,那那么么( , )d0LQ x yy 注意:对坐标的曲线积分对坐标的

8、曲线积分例例1 计算计算()d()LIxy xx y dy其中其中L分别为分别为:(1) 以原点为中心以原点为中心,1为半径的圆弧第一象限部分为半径的圆弧第一象限部分,从从A(1,0)到到B(0.1);(2) 从从A(1,0)到到B(0,1)的直线段的直线段;(3) 有向折线段有向折线段AOB.xOABy结论结论:虽然被积函数虽然被积函数,起点终点都相同起点终点都相同,但积分路径不同但积分路径不同,从而积分值不同从而积分值不同.对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分例例2 计算计算dLIx yydx其中其中L分别为分别为:(1) 抛物线抛物线22yx上从原点到上从原点到B(1,2)的一段的一段;(2

9、) 直线段直线段OB:2 ;yx(3) 任意以任意以O为起点为起点,B为终点的光滑曲线为终点的光滑曲线.结论结论:被积函数被积函数,起点终点都相同起点终点都相同,虽然积分路径不同虽然积分路径不同,但积分值相同但积分值相同.对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分例例3 计算计算222dIy x z dy x dz其中其中是球面是球面2222xyza与圆柱面与圆柱面22, (0,0)xyaxza的交线的交线,它在它在xy平面上的投影曲线为逆时针方向平面上的投影曲线为逆时针方向.对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分解解: 柱面柱面:22222aaxy 令令cos22( :02 )sin2aaxttayt那么那

10、么cos22:sin( :02 )2sin2aaxtaytttza222sin2tzaxya即即对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分22222203sin()sinsincoscoscos422 22224aat aaaatt attt dta 原式对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分 ttzztyytxx),(),(),(设设A对应对应例例4设点设点 M(x,y,z) 的向径的向径一单位正电荷沿光滑曲线一单位正电荷沿光滑曲线:, t解解即即,kzj yi xr .|222zyxr 根据库伦定律根据库伦定律,位于原点位于原点(0,0,0)处的电荷处的电荷q产生的静电场中产生的静电场中,求电场所作的功求

11、电场所作的功W.从点从点A移到点移到点B,B对应对应的电场力的电场力位于点位于点M处的单位正电荷受到处的单位正电荷受到 r对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分, rOM rrqF3 sFWABd ,t因此所求的功为因此所求的功为 )()(2d rrrrq srrqd3 23222)(dddzyxzzyyxxq 23222)(d)(zyxtz zyyxxq )(1)(1 rrq其中其中)(),( rr)d,d,d(dzyxs 分别是点分别是点A和和B到原点的距离到原点的距离.222|zyxrr 2222)ddd(2dzyxzzyyxxr 21222)(d)(zyxtz zyyxx 对坐标的曲线积分对

12、坐标的曲线积分kzj yi xr rrqF3 sFWd 此例表明此例表明,静电场电场力作功只与正电荷运静电场电场力作功只与正电荷运动的起点和终点的位置有关动的起点和终点的位置有关,而与运动的路径无而与运动的路径无关关.凡是具有这种特性的力场凡是具有这种特性的力场,称保守力场称保守力场.例5. 计算曲线积分()()Lxy dxx y dy 其中L为椭圆:22221xyab取逆时针方向.对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分第二类曲线积分的概念第二类曲线积分的概念第二类曲线积分的计算第二类曲线积分的计算对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分四、小结四、小结思想思想:化为定积分计算化为定积分计算对坐标曲线积分的物理意义对坐标曲线积分的物理意义变力沿曲线所作的功变力沿曲线所作的功关于曲线方向的性质