2.1常系数线性微分方程的解法常微分方程高教社王高雄教材配套ppt课件

1、目录 上页 下页 返回 结束 4.2 常系数线性微分方程的解法复值函数和复值解常系数齐次线性特征方程 常系数非齐次线性方程比较系数法 拉普拉斯变换法 质点振动目录 上页 下页 返回 结束 复值函数和复值解 设实变量t在区间atb上有实函数(t)、(t)， 为虚数，则可在区间上定义复值函数 z (t)= (t)+i(t) ，称(t)为其实部, (t)为其虚部。 复值函数和实函数有同样的极限、连续、导数、微分、积分及数乘、函数和等性质。 满足微分方程(1) 的复值函数z(t)称为方程(1)的复值解。1i 1111ddd( )( )( )( )dddnnnnnnzzza tatat zf tttt目

2、录 上页 下页 返回 结束 复值函数性质 极限 连续 导数 微分 积分及函数和 000lim ( )lim ( )lim( )ttttttz ttit00lim ( )( )ttz tz t00000( )( )d ( )lim( )dttz tz tz tz ttttd ( )d ( )d( )dddz tttittt1212d( )d( )d( )( )dddz tztz tcztcttt121221d( )d( )( )( )( )( )ddz tztdz tztztz tdttt( )d( )d( )dz ttttitt1212 ( )( )d( )d( )dz tcz ttz ttc

3、 z tt目录 上页 下页 返回 结束 复指数函数性质 设、为实数，t为实变量，则K= +i 为复数，复指数函数定义为 有 称复数K= +i的共轭复数为 有 复指数函数有性质(K、K1 、 K2 为复数)()(cossin)K titteeetitKi1212()dd,.ddKtnKtKKKKK tK tKtn KtneeeeeeeKeK ett1212()11cos(),sin().22dd,.ddi ti ti ti tKtnKtKKtK tK tKtn KtnteeteeeeeeeKeK ett11cos(),sin()22i ti ti ti tteetee目录 上页 下页 返回 结束

4、 复指数函数性质证证()(cossin).KtittKteeetite12121212121212()()()()1212()121212121122cos()sin() coscossinsin(sincoscossin)(cossin)(cossin).KKtt itttttK tK teeetitettttittttetitetitee()dddd()ddddd(cossin)(sincos)d()Ktti titti ti ttti ttt i ttKtti tKtKteedeeeeeettttdteeetiteetittei eeieKe 目录 上页 下页 返回 结束 实系数线性微分

5、方程的复值解 定理定理8 对实系数函数微分方程对实系数函数微分方程(*)的复值解的实部的复值解的实部、虚部及其共轭复值函数均是原方程、虚部及其共轭复值函数均是原方程(*)的解。的解。 定理定理9 设非齐函数为复值函数：设非齐函数为复值函数：f(t)=u(t)+iv(t) 如复值函数如复值函数x=U(t)+iV(t)是微分方程是微分方程(*)的复值解的复值解，则实函数，则实函数U(t)、V(t)分别是实微分方程的解：分别是实微分方程的解：1111ddd( )( )( )( )( ).(*)dddnnnnnnxxxa tata t xu tiv ttttL1111ddd( )( )( )0(*)d

6、ddnnnnnnxxxa tata t xttt11111111ddd( )( )( )( )dddddd( )( )( )( ).dddnnnnnnnnnnnnxxxa tata t xu ttttxxxa tata t xv ttttLL目录 上页 下页 返回 结束 常系数齐次线性特征方程 系数为实常数时的常系数齐次线性方程 可以寻求指数函数形式的解 代入方程右端可得到 其中 是的n次多项式。 称为微分方程的特征方程。特征方程的根称为特征根。txe111( )nnnnFaaaL111( )0.nnnnFaaaL1111ddd 0dddnnnnnnxxxL xaaa xttt1111111d

7、ddddd()( )ntnttttnnnnnnttnneeeL eaaa etttaaaeFe目录 上页 下页 返回 结束 (a)实单特征根 (a) 为为(实实)单根时，齐次线性方程有解单根时，齐次线性方程有解 et 设设1, 2, n是特征方程的是特征方程的n个相异或相同但个相异或相同但非重的实根，则相应的微分方程有非重的实根，则相应的微分方程有n个解个解因因 i j (i j),行列式行列式即即n个解在区间上线性无关，构成的基本解组。个解在区间上线性无关，构成的基本解组。方程有通解方程有通解 12,.nttteeeL1212121212)(1211111111212111( )()0.nn

8、nnttttttntnijj i nnnntttnnnnneeeeeeW teeee LLLLLMMMMMMLL1212.ntttnxc ec ec eL目录 上页 下页 返回 结束 (b)复特征根 (b)代数方程有复根 ,因方程的系数为实数， 复根将成对共轭地出现，即 也是特征根有两共轭复值解 对应的两实值解： 1i21i1()(cossin),titteeetit21()(cossin).ttitteeeetitcos,sin.ttetet目录 上页 下页 返回 结束 (c)(1)重 0 实根 (c) = 1为k重实根时，它表示为(1) 当1=0时，特征方程有因子k ，于是即特征方程的形状

9、为对应的微分方程为易见它有k个解 1, t, t2, , tk. 且它们是线性无关的。因此特征方程的k重零根对应微分方程的k个线性无关的解: 1, t, t2, , tk-1.(1)( )1111()()()0,()0.kkFFFFL110.nnn kaaa L110.nnkn kaaL111ddd0dddnnkn knnkxxxaattt目录 上页 下页 返回 结束 (c)(2)重非0实根(2) = 10为k重实根时，作变量变换 因有 于是微分方程化为 其中b1,bn仍为常数。相应的特征方程为直接计算易得即 且因此F()=0的根对应于G()=0的根，且重数相同。问题化为前面已讨论的情形。1.

10、txye1()()()(1)2(2)111(1)().2!tmtmmmmmm mxyeeymyyyL111( )0.nnnnGbbbL1111()()()11()( ).tttttFeL eL eeGe 1()( )FG( )( )1()( ),1,2, .jjFGjkL11111111ddd dddnntttnnnnyyyL yebba y eL y ettt11111ddd 0dddnnnnnnyyyL ybba yttt目录 上页 下页 返回 结束 (续) (c)(2)重非0实根已知特征方程 G()=0 的k1重根1=0对应于微分方程L1=0的k1个解y=1, t, t2, , tk-1

11、。因而，对应于特征方程F()=0的k1重根1，微分方程L=0有个解 同样，假设特征方程L=0的其他根2, 3, m的重次依次为k2, k3, km ，且则微分方程L=0对应地有解1111112,tttktetet ete12,()mijkkknij222221212,mmmmmtttkttttktetet eteetet ete目录 上页 下页 返回 结束 (续) (c)(2)重非0实根证证 全体个解构成微分方程全体个解构成微分方程L=0的基本解组。的基本解组。反证法。假设这些函数线性相关，则有反证法。假设这些函数线性相关，则有设多项式设多项式Pm(t)不恒为零。将上式除于不恒为零。将上式除于

12、 e1t ，并对，并对t微分微分k1次，可得次，可得其中其中 Qr(t)与与Pr(t)次数相同且次数相同且Qr(t)不恒为零。等式类似，但项数减不恒为零。等式类似，但项数减少了。少了。 111111212,mmmmmtttkttttktetet eteetet eteLL LL1( )( )( )01111()( )0.rrrrmmkttrrrrkrrAAtAteP t eL1()2( )0.rmtrrQ t e11( )()( )( ).krrrrQ tP tS t目录 上页 下页 返回 结束 (续) (c)(2)重非0实根 进一步对施于同样手续，除于e(2-1) t 并微分k2次， 则得到

13、项数更少的类似多项式。继续经m-1次后将得到等式 这不可能因 其中Wm是次数低于Pm(t)的次数的多项式。 而Rm(t)与Pm(t)次数相同且Rm(t)不恒为零。 假设函数线性相关引出矛盾 证明了全部n个解线性无关且构成微分方程的基本解组1()( )0.mmtmRt e112121( )() ()()( )( ).mkkkmmmmmmmRtP tWtL目录 上页 下页 返回 结束 (d) k重共轭复根时 = +i 微分方程有k对共轭复值解或对应的2k对实值解：类似的，对含有单实根、共轭复根、重实根及重共轭复根的混合情形，可由前面讨论过的分别进行处理，求得对应其特征根的微分方程的解，且这些解线性

14、无关。当所有根计及其重次总和为微分方程的次数时，这些解构成微分方程的基本解组。11,.ttttktkteeteteteteL11cos,cos,cos,sin,sin,sin.ttktttktettettetettettetLL目录 上页 下页 返回 结束 例例1 1 求方程求方程 的通解的通解 解解 特征方程特征方程 4-1=0的根为的根为 1=1, 2=-1, 3=i, 4=-i.有两个单实根和一对单共轭复根，有两个单实根和一对单共轭复根， 故方程的通解为故方程的通解为这里这里c1, c2, c3, c4,为任意常数。为任意常数。44d0dxxt1234cossin .ttxc ec ec

15、tct目录 上页 下页 返回 结束 例例2 2 求解方程求解方程 解解 特征方程特征方程3+1=0有根有根通解为通解为其中其中c1, c2, c3为任意常数。为任意常数。33d0dxxt12,3131,.22i 1212333cossin.22ttxc eectct目录 上页 下页 返回 结束 例3 求方程 的通解解解 特征方程特征方程 的根为三重根的根为三重根=1 。因此方程有通解因此方程有通解其中其中c1, c2, c3为任意常数。为任意常数。323331(1)0 2123()txcc tc te3232ddd330dddxxxxttt目录 上页 下页 返回 结束 例例4 4 求解方程求解

16、方程 解解 特征方程特征方程 的根为的根为=i重根。重根。 方程有方程有4实值解实值解得通解得通解其中其中c1, c2, c3 , c4为任意常数。为任意常数。422221(1)0 cos ,cos ,sin ,sin .tttttt1234()cos()sinxcc ttcc tt4242dd30ddxxxtt目录 上页 下页 返回 结束 欧拉方程 称为欧拉方程。其中a1,a2,an 为实常数。引进自变量变换 x=et, t=ln x (x=-et同样，取 t=ln |x| ) 有代入欧拉方程得常系数齐次线性微分方程 11111ddd0dddnnnnnnnnyyyxa xaxa yxxx22

17、2223232233232ddddddddddddd,dddddddddddd32,dddddddtttttttyytyextxtyyyyyeeetttxtyyyyyyyeeetttxttt1111ddd0dddnnnnnnyyybbb yttt目录 上页 下页 返回 结束 例例5 5 求解方程求解方程解解 令令x=et ,方程变为方程变为特征方程为特征方程为有重根有重根=1,通解为通解为 原方程的通解为原方程的通解为 2221(1)0 12(ln)yccx x12()tycc t e222dd0ddyyxxyxx22dd20ddyyytt目录 上页 下页 返回 结束 常系数非齐次线性方程比较

18、系数法 常系数非齐次线性方程可按非齐项f(t)的类型用比较系数法求方程特解。类型： 特解为 其中k为特征方程F()=0的根的重数。 当不是特征根时k=0;单根时k=1。 可以将特解代入方程比较t的同幂次项系数确定Bi。1011( )()mmtmmf tb tbtbtbeL1011()kmmtmmxtB tBtBtBeL1111ddd ( )dddnnnnnnxxxL xaaa xf tttt目录 上页 下页 返回 结束 例6 求方程 的通解解解 先求对应的齐次线性微分方程先求对应的齐次线性微分方程 的通解。其特征方程为的通解。其特征方程为2-2-3=0有根有根1=3,2=-1. 齐次方程有通解

19、齐次方程有通解再求非齐次方程的一个特解，这里再求非齐次方程的一个特解，这里f(t)=3t+1, = 0。因因 = 0不是特征方程的根，不是特征方程的根，k=0。 特解形式为特解形式为 x=A+Bt，其中，其中A,B为待定常数。为待定常数。将将x代入原方程，代入原方程， 比较比较t的同幂次系数得的同幂次系数得 解为解为 即即 原方程的通解为原方程的通解为 312ttxc ec e23331BABtt33231BBA11,3BA 13xt31213ttxc ec et 22dd2331ddxxxttt22dd230ddxxxtt目录 上页 下页 返回 结束 例7 求方程 的通解 解解 特征方程为特

20、征方程为3+32+3+1=0，有三重根，有三重根1,2,3=1 齐次方程有通解齐次方程有通解再求非齐次方程再求非齐次方程 的一个特解，的一个特解，特解形式为特解形式为 将特解代入原方程将特解代入原方程 比较系数得比较系数得 从而从而故原方程的通解为故原方程的通解为2123()txcc tc te( )(5),1tf tet 3()txtABt e(624)(5)ttABt eet51,624AB 31(20)24txtte231231()(20)24ttxcc tc tette3232ddd33(5)dddtxxxxetttt目录 上页 下页 返回 结束 b) 类型类型 其中,为常数，A(t)

21、,B(t)是的最髙次数为m次的实系数多项式。设= +i为特征方程F()=0的k重根。 则方程有特解 这里P(t),Q(t)为待定的的最髙次数为m次的实系数多项式。将特解代入方程，比较t的同幂次系数， 可得一系列线性方程，解之得特解。注意：待定系数法的关键是正确写出特解形式! P(t),Q(t)应为m次完全多项式。( ) ( )cos( )sintf tA ttB tt e ( )cos( )sinktxtP ttQ tt e目录 上页 下页 返回 结束 例8 求方程 的通解解解 特征方程为特征方程为2+4+4=( +2)2=0，有重根，有重根1,2=-2 齐次方程有通解齐次方程有通解求非齐次方

22、程求非齐次方程 的一个特解，的一个特解，因因=2i不是特征方程的根，特解形式为不是特征方程的根，特解形式为将特解代入原方程将特解代入原方程比较系数得比较系数得即即故原方程的通解为故原方程的通解为212()txcc t e( )cos2 ,2f tti cos2sin2xAtBt8 cos28 sin2cos2BtAtt10,8AB1sin28xt2121()sin28txcc t et22dd44cos2ddxxxttt目录 上页 下页 返回 结束 拉普拉斯变换法 实或复值连续函数 f(t) 当 t0 满足 | f(t)|上有定义。 对常系数非齐线性方程 及初始条件 设f(t)为连续函数且满足

23、原函数条件。 则方程的解 x(t) 及其各阶导数均是原函数。0( )( )dtF sef tt(1)(1)000(0),(0),(0)nnxxxxxxL1111ddd( )dddnnnnnnxxxaaa xf tttt目录 上页 下页 返回 结束 (续) 拉普拉斯变换法 记 有 如对方程两边进行拉普拉斯变换，利用线性性质可得关系式00( ) ( )( ),( ) ( )( ).ttF sf tef t dtX sx tex t dt0( )12(1)000 ( )( ),( )( ).nnnnnx tsX sxxts X ssxsxxL LL12(1)000123 (2)100010( )(

24、)( )( )( ).nnnnnnnnnns X ssxsxxa sX ssxsxxasX sxa X sF sLLL(1)(1)000(0),(0),(0)nnxxxxxxL1111ddd( )dddnnnnnnxxxaaa xf tttt目录 上页 下页 返回 结束 (续) 拉普拉斯变换法 即 或 A(s)X(s)=F(s)+B(s) 其中A,B均为已知多项式。因此有 这是方程满足初始条件的解的象函数X(s)。 再利用拉普拉斯反变换公式可得方程的解x(t)。 此即为拉普拉斯变换方法。1111( )nnnnnnd xdxdxaaa xf tdtdtdtL(1)(1)000(0),(0),(0

25、)nnxxxxxxL11211123(1)101200()( )( )()().nnnnnnnnnnnsa sasaX sF ssa saxsa saxxLLLL( )( )( )( )F sB sX sA s目录 上页 下页 返回 结束 拉普拉斯变换和反变换表 目录 上页 下页 返回 结束 例例9 求方程求方程 满足初值条件满足初值条件 x(0)=0 的解的解 解解 对方程两端施行拉普拉斯变换，对方程两端施行拉普拉斯变换， 得到象函数方程得到象函数方程 由初值条件由初值条件x(0)=0得得查拉普拉斯变换表知查拉普拉斯变换表知 和和 的原函数分别为的原函数分别为 e2t 和和 et 利用线性性

26、质，求得利用线性性质，求得X(s)的原函数为的原函数为 这就是所要求的解。这就是所要求的解。2ddtxxet1( )(0)( )2sX sxX ss111( )(1)(2)21X sssss12s11s2( )ttx tee目录 上页 下页 返回 结束 例例10 10 求解方程求解方程解解 先令先令 = t-1将方程化为将方程化为再对方程两端实行拉普拉斯变换，利用初值条件得到再对方程两端实行拉普拉斯变换，利用初值条件得到 即即查拉普拉斯变换表得查拉普拉斯变换表得 从而从而 此即为所要求的解。此即为所要求的解。 2 ,(1)(1)0txxxexx(1) 2 ,(0)(0)0 xxxexx211(

27、 )2( )( )2s X ssX sX sse311( )(1)X ses211( )2xe 21( )(1)2tx tte目录 上页 下页 返回 结束 例例11 求解方程求解方程解解 对方程两端施行拉普拉斯变换得对方程两端施行拉普拉斯变换得 即即把上式右端分解为部分分式把上式右端分解为部分分式各分式分别查拉普拉斯变换表，各分式分别查拉普拉斯变换表， 利用线性性质，求得的原函数即方程的解利用线性性质，求得的原函数即方程的解 3 3 1(0)(0)(0)0 xxxxxxx321(331)( )sssX ss31( )(1)X ss s323111111(1)(1)(1)sss sss2211(

28、 )11(22)22ttttx tetet ette 目录 上页 下页 返回 结束 1-1 例2 数学摆 阻力与近似方程近似方程 令如摆在一个粘性介质中运动，阻力系数为，则方程为:则数学摆近似方程sin带粘性介质的数学摆近似方程22dsin0dglt数学摆方程22ddsin0ddgmtlt22d0dglt22dd0ddgmtlt目录 上页 下页 返回 结束 质点线性振动 质点线性振动质点线性振动 (1) 无阻尼无阻尼 (2) 有阻尼有阻尼 (a)小阻尼小阻尼 (2) 大阻尼大阻尼 (3) 临界阻尼临界阻尼 (3) 无阻尼强迫振动无阻尼强迫振动(= 0) (a) p (b) p= (4) 小阻尼

29、强迫振动小阻尼强迫振动 质点非线性振动质点非线性振动 第第6章讨论章讨论22dd1( )ddgF tmtlmlt22d0dglt22dd0ddgmtlt22ddsin0ddgmtlt目录 上页 下页 返回 结束 质点振动 振动-钟摆，弹簧，乐器，机械，桥梁，电路. (1) 数学摆的无阻尼微小自由振动方程为 或 特征方程为2+2 = 0，特征根为共轭复根 1,2= i。 通解为 令 则通解式可改写为 即22d0dglt2222d0,()dglt 12cossinctct2212112222221212sin,cos.,arctan.cccAccccccc22111222221212cossin(

30、sincoscos sin)ccccttccccAttsin()At目录 上页 下页 返回 结束 (1) 数学摆的无阻尼微小自由振动 从通解式 中可看出，不管初状态 为何值， 摆的运动总一 个正弦 函数，且是周期 函数。 如图4.1） 这种运动称为简谐振动 称为圆频率，A为振幅， 为初相位。 周期为 ，频率为2T12Tsin()At目录 上页 下页 返回 结束 (1) 数学摆的无阻尼微小自由振动 数学摆的振幅A、初相位均依赖于初值条件。 数学摆的周期只依赖于摆长l,与初值无关。 当把数学摆移至位置= 0即 再松开时其初值条件为 将上式代入通解得 初相位 ，振幅A= 0 。 因而，所求的特解为0

31、d0,0dtt时000d|sin,cos0.dttAAt00sincos2tt22222d0,(),sin()dgAtlt 目录 上页 下页 返回 结束 (2) 有阻尼自由振动有阻尼自由振动方程为特征方程为有特征根 根据 n 大于、小于和等于分为小阻尼、大阻尼和临界阻尼三种情况进行讨论。2220n221,2nn 22dd0ddgmtlt2222dd20,(,)d2dgnntmlt 目录 上页 下页 返回 结束 (a) 小阻尼n时 小阻尼n时大阻尼时：这时特征方程有两不同负实根210 通解为从式中可知摆的运动也不是周期的，且因方程 最多只有一个解，故摆最多只通过平衡位置一次； 同时由知当t足够大

32、时，d/dt与c1的符号相反， 即经过一段时间后， 摆单调地趋于平衡 位置。如图(4.3) 1212ttc ec e12120ttc ec e12121()1 1221 122ddttttceceeccet目录 上页 下页 返回 结束 (c) 临界阻尼 n =时 临界阻尼n =时：特征方程有重根2=1=-n 方程的通解为摆的运动也不是周期的，其图形和图(4.3)类似，当t时(t)趋于零。摆不具有振动的性质。值n =称为阻尼的临界值，正好可以抑制振动。实际上，当n时如图(4.3)，摆不振动； 而当n时如图(4.2)，摆虽衰减但仍振动。 12()ntecc t目录 上页 下页 返回 结束 (3) 无阻尼强迫振动无阻尼强迫振动方程为令其中H为已知常数，p为外力圆频率，此时上式变为方程对应的齐次线性微分方程的通解为 这里A,为任意常数。下面求非齐方程的特解。 22d1( ),dgF tlmlt21,( )singF tHptlml222dsindHptt sin()At目录 上页 下页 返回 结束 (3) (a)无阻尼p(a) p 有形如的解，这里M,N是待定常数。将上式代入方程，比较同类项系数，可得最后得方程的通解为通解中包括无阻尼自由振动的项(固有振动) 和外力引发的频率相同