中考数学专题复习第十三讲反比例函数

1、1 / 242013年中考数学专题复习第十三讲反比例函数【基础知识回顾】一、反比例函数的概念：一般地：互数 y(k 是常数，kM0)叫做反比例函数【名师提醒：1、在反比例函数关系式中：kM0、XM0、yM02、 反比例函数的另一种表达式为y=( k 是常数，kM0)3、反比例函数解读式可写成 xy= k (kM0)它表明反比例函数中自变量 x 与其对应函数值 y 之积，总等于】二、反比例函数的同象和性质：k1、 反比例函数 y=；(kM0)的同象是它有两个分支，关于对称k2、 反比例函数 y=.：. (kM0)当 k0 时它的同象位于象限，在每一个象限内 y 随 x 的增大而当 k 0 和 a

2、v0 两种情况讨论，分析出两函数图象所在象限，再在四个选项中找到正确图象.ay=解：当 a0 时，y=ax+1 过一、二、三象限，y= 二过一、三象限；ay-当 av0 时，y=ax+1 过一、二、四象限，y=.过二、四象限；故选 C.3 / 24点评：本题考查了一次函数与二次函数的图象和性质，解题的关键是明确在图 一 a 值的前提下图象能共存./ 一 总 +2丿二例 2 （2012?佳木斯）在平面直角坐标系中，反比例函数上图象的两个分支分别在（）A.第一、三象限 B 第二、四象限C第一、二象限D 第三、四象限思路分析：把 a2- a+2 配方并根据非负数的性质判断出是恒大于 0 的代数式，

3、再根据反比例函数的性质解答.1解：a2 a+2=a2 a+ +2= （a _ ） 2+7 4 ,1.（a - ） 20,1（ a J 2+7 4 0,反比例函数图象的两个分支分别位于第一、三象限.故选 A.点评：本题考查了反比例函数图象的性质，先判断出a2 a+2 的正负情况是解ky题的关键，对于反比例函数（20）：（ 1） k0,反比例函数图象在一、三象限；（2） kv0,反比例函数图象在第二、四象限内.6y-例 3 （2012?台州）点（一 1, y1）,（ 2, y2）,（ 3, y3）均在函数的图象上，贝 U y1, y2, y3 的大小关系是（）A. y3vy2vy1 B.y2vy3

4、vy1 C.y1vy2vy3 D.y1vy3vy2 思路分析：先根据反比例函数的解读式判断出此函数图象所在的象限，再根据 各点的坐标判断出各点所在的象限，根据函数图象在各象限内点的坐标特点解 答.6y-解：函数 中 k=60,此函数的图象在一、三象限，且在每一象限内y 随 x 的增大而减小，4 / 24 1V0,点（一 1, y1）在第三象限，二 y1V0,/ 0V2V3, （ 2, y2）,（ 3, y3）在第一象限， y2 y3 0, y2 y3 y1.故选 D.点评：本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，根据题意判断出函数图 象所在象限是解答此题的关键.对应训练y-1.（2012?毕

5、节地区）一次函数 y=x+m（ m 0）与反比例函数 丄的图象在图y- +2.（ 2012?内江）函数 二的图象在（）限A.第一象限B.第一、三象限C .第二象限D.第二、四象B .5 / 241解：.和中 x0,中XM0,故 x0,此时 y 0, 则函数在第一象限.故选A._23.（2012?佛山）若 A （x1 , y1 ）和 B （x2, y2）在反比例函数 二的图象 上，且 0vxlvx2,则 y1 与 y2 的大小关系是 y1y2.答案：考点二：反比例函数解读式的确定例 4 （2012?哈尔滨）如果反比例函数的图象经过点（一 1, 2）,则 k 的值是（）A. 2 B . 2 C .

6、 3 D . 3思路分析：根据反比例函数图象上点的坐标特征，将（一1, 2）代入已知反比例函数的解读式，列出关于系数 k 的方程，通过解方程即可求得 k 的值. 解：根据题意，得上-12= 一 ，即卩 2=k 1，解得 k=3.故选 D.点评：此题考查的是用待定系数法求反比例函数的解读式，是中学阶段的重 点.解答此题时，借用了“反比例函数图象上点的坐标特征”这一知识点. 对应训练4.（2012?广元）已知关于 x 的方程（x+1） 2+ （x b） 2=2 有唯一的实数解，1+iy _且反比例函数. 的图象在每个象限内 y随 x 的增大而增大，那么反比例函数的关系式为（）3122y-尸一尸一尸

7、一一A.:B .xC .xDX答案：D6 / 24分析：关于 x 的方程(x+1) 2+(x b) 2=2 有唯一的实数解，则判别式等于1+Ay - -0,据此即可求得 b 的值，然后根据反比例函数二 的图象在每个象限内 y随 x 的增大而增大，贝吐匕例系数 1+bv0,则 b 的值可以确定，从而确定函数的 解读式.解：关于 x 的方程(x+1) 2+ (x b) 2=2 化成一般形式是：2x2+ (2 2b) x+ (b21)=0， = ( 2 2b) 2 8 (b2 1) = 4 ( b+3)( b 1) =0, 解得：b= 3 或 1.反比例函数.的图象在每个象限内 y 随 x 的增大而

8、增大，1+bv0bv 1， b= 3.故选 D.4例 5 (2012?铁岭)如图，点 A 在双曲线 二上,y点 B 在双曲线(kM0) 上, AB/x轴,分别过点 A、B 向 x 轴作垂线，垂足分别为D C,若矩形 ABCD 勺面积是 8,则 k 的值为()A.12 B . 10 C . 8 D . 6 思路分析：先根据反比例函数的图象在第一象限判断考点三：反比例函数k 的几何意义7 / 24出 k 的符号，再延长线段 BA 交 y 轴于点 E,由于 AB/X轴，所以 AEly轴，故四边形AEOD 是矩形，由y于点 A 在双曲线工上，所以 S 矩形 AEOD=，图理可得 S 矩形 OCBE=K

9、由 S矩形 ABCD=S 巨形 OCBE- S 矩形 AEODSP 可得出 k 的值.ky 解：双曲线.（0）上在第一象限，V J刃 k 0,延长线段 BA 交 y 轴于点 E， AB/x轴, .AEly轴，.四边形 AEOD1 矩形,y= 点 A 在双曲线 二上，S矩形 AEOD=4图理 S 矩形 OCBE=KS矩形 ABCD=矩形 OCB-S 矩形 AEOD=-4=8,.k=12.故选 A.ky-点评：本题考查的是反比例函数系数k 的几何意义，即反比例函数图象中任取一点，过这一个点向 x 轴和 y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面 积是定值|k| .对应训练5.（2012?株洲）如图，

10、直线 x=t （t 0）与8 / 24B、C 两点，A 为 y 轴上的任意一点，则厶 ABC 的面积为()3一tA. 3 B . 23C. D 不能确定答案：C2-121v=.y-y- y-解：把 x=t 分别代入 二，得21- 所以 B (t , )、C(t , i ),213所以 BC= ( i ) =f .A 为 y 轴上的任意一点，点 A 到直线 BC 的距离为 t，133_ 號.xf ABC 的面积=】-.故选 C.考点四：反比例函数与一次函数的综合运用2必二一例 6 (2012?岳阳)如图，一次函数 y1=x+1 的图象与反比例函数 的图反比例函数的图象分别交9 / 24象交于AB

11、 两点，过点作 ACLx 轴于点 C,过点 B 作 BDLx 轴于点 D,10 / 24A.点 A 和点 B 关于原点对称B. 当 xV1 时，y1y2C. SAAOC=SBODD.当 x 0 时，y1、y2 都随 x 的增大而增大思路分析：求出两函数式组成的方程组的解，即可得出A、B 的坐标，即可判断A;根据图象的特点即可判断 B;根据AB 的坐标和三角形的面积公式求出另 三角形的面积，即可判断 C;根据图形的特点即可判断 D.y=z+1解: A、I X ，2把代入得：X+仁.，解得：x 仁一 2，x2=1，代入得：y 仁1，y2=2， B （2，1），A（1,2）， AB 不关于原点对称，

12、故本选项错误；B、当2VxV0 或 x 1 时，y1y2，故本选项错误；1 1CvSAAOC=X1X2=1，SABOD=X|2|X|1|=1， SABOD=AAOC 故本选项正确；D 当 x 0 时，y1 随 x 的增大而增大，y2 随 x 的增大而减小，故本选项错误； 故选C.点评：本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题的应用，主要考查学生观 察图象的能力，能把图象的特点和语言有机结合起来是解此题的关键，题目比 较典型，是一F列说法正确的是（连接 AO BO11 / 24道具有一定代表性的题目.12 / 24对应训练6.（2012?达州）一次函数 y 仁 kx+b （0）与反比例函数 y2

13、 二（m0），在图一直角坐标系中的图象如图所示，若 y1y2,则 x 的取值范围是（）解：由函数图象可知一次函数 y 仁 kx+b 与反比例函数 y2=（m0）的交点坐标 为（1,4）, （一2,2）,由函数图象可知，当一 2vxV0 或 x 1 时，y1 在 y2 的上方，当 y1 y2 时 x 的取值范围是一 2vxV0 或 x 1. 故选 A.【聚焦山东中考】1.（2012?青岛）点 A （x1, y1）, B （x2, y2）, C （x3, y3）都是反比例函-3y-数 的图象上，若 x1vx2v0vx3，则 y1 , y2, y3 的大小关系是（）A. y3vy1vy2 B.y1v

14、y2vy3 C.y3vy2vy1 D.y2vy1vy3答案：A解：反比例函数 y 二一 3 x 中，k= 3v0,此函数图象在二四象限，且在每一象限内 y 随 x 的增大而增大，A. 2vxV0 或 x 1B.xv 2 或 0Vxv1C. x 113 / 24/x1vx2vOvx3, y3v0,y3vOvy1vy2, y3vy1vy2.故选A._22.（2012?菏泽）反比例函数二的两个点（x1,y1 ）、（ x2, y2），且 x1 x2，则下式关系成立的是（）A. y1 y2 B . y1vy2 C . y 仁 y2 D .不能确定答案：D5_3 . （ 2012?滨州）下列 函数：y=2

15、x 1 ;y=上；y=x2+8x 2 ;_2_1y= 1 ;y=丄.；y=二中，y 是 x 的反比例函数的有（填序号）。答案：k2y -4.（ 2012?济宁）如图，是反比例函数1的图象的一个分支，对于给出的下列说法：1常数 k 的取值范围是 k2；2另一个分支在第三象限；3在函数图象上取点 A （a1，b1）和点 B （a2，b2），当 a1 a2 时，贝Ub1vb2；4在函数图象的某一个分支上取点A （a1，b1）和点 B （a2，b2），当 a1 a2 时，则 b1vb2；其中正确的是（在横线上填出正确的序号）14 / 24解：根据函数图象在第一象限可得 k 20,故 k2,故正确;2根

16、据反比例函数的性质可得，另一个分支在第三象限，故正确；3根据反比例函数的性质，图象在第一、三象限时，在图象的每一支上y 随 x的增大而减小，A、B 不一定在图象的图一支上，故错误；4根据反比例函数的性质，图象在第一、三象限时，在图象的每一支上y 随 x的增大而减小，故在函数图象的某一个分支上取点A（ a1，bl）和点 B（ a2,b2），当 a1a2 时，贝Ublvb2 正确；故答案为：.ky 5.（2012?维坊）点 P 在反比例函数工（0）的图象上，点 Q（2, 4）与 点 P 关于 y 轴对称，则反比例函数的解读式为解：点 Q （2, 4）和点 P 关于 y 轴对称，P点坐标为（一 2,

17、 4），ky-将（2, 4）解读式 得，k=xy=2X4=8,8A 二-一函数解读式为.8A 二一一故答案为.6.（ 2012?聊城）如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O,且正方形15 / 24k一y-的一组对边与 x 轴平行，点 P （3a, a）是反比例函数 （k0）的图象上 与正方形的一个交点若图中阴影部分的面积等于 9,则这个反比例函数的解16 / 24解：反比例函数的图象关于原点对称,阴影部分的面积和正好为正方形面积的:，设正方形的边长为b,则b2=9，解得 b=6,正方形的中心在原点 0,直线 AB 的解读式为：x=3,点 P (3a, a)在直线 AB 上,-P ( 3,

18、1),二 k=3,故答案为:点 P 在反比例函数.(k 0)的图象上,此反比例函数的解读式17 / 247.(2012?泰安)如图，一次函数 y=kx+b 的图象与坐标轴分别交于 A, B 两m点，与反比例函数的图象在第二象限的交点为 C, CDLx轴，垂足为 D,若 0B=2 OD=4 AOB 的面积为 1.(1) 求一次函数与反比例的解读式；m(2) 直接写出当 xv0 时，kx+b二0 的解集.解：（1）v0B=2 AOB 的面积为 1 B （ 2, 0），0A=1二 A（0，1）Ji=-1 -2k= 01-二 y= - x 1又v0D=4 ODx轴，二C（4，y），1-将 x= 4 代

19、入 y= - x 1 得 y=1，二C（一 4，1）m:.1=-，18 / 24二 m= 4，19 / 24 y=-。m(2)当 xV0 时，kx+b 0 的解集是 xV 4.【备考真题过关】-、选择题1.(2012?南充)矩形的长为 x,宽为 y,面积为 9,则 y 与 x 之间的函数关系式用图象表示大致为()k2.(2012?孝感)若正比例函数 y= 2x 与反比例函数二图象的一个交点坐标为(一 1, 2),则另一个交点的坐标为()A.( 2, 1) B . (1, 2)C . ( 2, 1)D . ( 2, 1)答案：B3y-3.(2012?恩施州)已知直线 y=kx ( k0)与双曲线

20、交于点 A (x1 ,y1), B (x2, y2)两点，贝 U x1y2+x2y1 的值为()A. 6 B . 9 C . 0 D . 9答案：A3y-3.思路分析：先根据点 A (x1, y1), B (x2, y2)是双曲线上的点可得3y-、出 x1?y 仁 x2?y2=3,再根据直线 y=kx (k 0)与双曲线交于点 A (x1 ,20 / 24y1) , B (x2 , y2)两点可得出 x 仁x2 , y 仁y2，再把此关系代入所求代数 式进行计算即可.21 / 243解：点 A (xl, y1), B (x2, y2)是双曲线二上的点 x1?y 仁 x2?y2=3，直线 y=k

21、x (k0)与双曲线 y=3 x 交于点 A (x1, y1) , B (x2, y2)两 占八、) x 仁x2, y 仁y2，原式=xlyl x2y2= 3 3= 6.故选 A.64.（2012?常德）对于函数.,下列说法错误的是（）A. 它的图象分布在一、三象限B. 它的图象既是轴对称图形又是中心对称图形C当 x0 时，y 的值随 x 的增大而增大D.当 xv0 时，y 的值随 x 的增大而减小答案：Cy -5.（2012?淮安）已知反比例函数:的图象如图所示，贝 U 实数 m 的取值 范围是（）答案：A1一y-6.（2012?南平）已知反比例函数的图象上有两点 A （1 , m）、B （

22、2,A. m 1B. m0C22 / 24n）.则 m 与 n 的大小关系为（）A. m n B . nvn C . m=n D .不能确定答案：A23 / 247.（ 2012?内江）已知反比例函数X 的图象经过点（1，2），贝 U k 的值为（）A. 2 B答案：D8.（ 2012?荆门）已知：多项式x2kx+1 是一个完全平方式，则反比例函数jt-1y X 的解读式为（1尸A .)3y-B.1y二一C.或3y=-解： 多项式 x2 kx+1 是一个完全平方式, k=2,把 k=2分别代入反比例函数 y=k 1 x 的解读式得:y=1 x或 y= 3 x ，故选：C.9.（ 2012?铜仁

23、地区）如图，正方形 ABOC 的边长为2,反比例函数.：的图象过点 A,则 k 的值是（）A. 2 B . 2 C答案：D10 . （2012?黔东南州） 如图，点A 是反比例函数6八;（xv0）的图象上的点，过点 A 作口 ABCD 使点 B、 C 在 x 轴上，点D 在 y 轴上，贝 U 二 ABCD 勺面积为（）A. 1 B . 3 C . 6 D.1224 / 2425 / 24解：过点 A 作AELOB 于点 E,因为矩形 ADOC 勺面积等于AD AE平行四边形的面积等于：ADAE所以？ABCD 勺面积等于矩形 ADOE 勺面积，根据反比例函数的 k 的几何意义可得：矩形 ADOC

24、 勺面积为 6,即可得平行四边形 ABCD 勺面积为 6.故选 C.k11.（ 2012?无锡）若双曲线二与直线 y=2x+1 的一个交点的横坐标为1,则 k 的值为（）A. 1 B . 1 C . 2 D . 2答案：By-12.（2012?梅州）在图一直角坐标系下，直线 y=x+1 与双曲线的交点的个数为（）A. 0 个 B . 1 个 C . 2 个 D .不能确定答案：C13.（ 2012?阜新）如图，反比例函数二的图象26 / 24与正比例函数 y2=k2x 的图象交于点（2, 1），则使y1y2的 x 的取值范围是（）A. Ovxv2B. x 2C. x 2 或一 2vxv0D.

25、xv-2 或 Ovxv2解：反比例函数与正比例函数的图象均关于原点对称，IAB 两点关于原点对称，- A（ 2, 1）,-B （- 1,-2）,由函数图象可知，当 Ovxv2 或 xv-2 时函数 y1 的图象在 y2 的上方，使 y1 y2 的 x 的取值范围是 xv-2 或 Ovxv2.故选 D.ky 14.（2012?南京）若反比例函数二与一次函数 y=x+2 的图象没有交点，贝 Uk 的值可以是（）A. 2 B . -1 C . 1 D . 2ky-,、解：反比例函数与一次函数 y=x+2 的图象没有交点，彳Ak. y =无解，即工=x+2 无解，整理得 x2+2x- k=0,=4+4kv0,解得 kv-1,四个选项中只有2v-1,所以只有 A 符合条件.故选 A.二、填空题27 / 242y-16.（2012?连云港）已知反比例函数-的图象经过点 A （m 1）,贝 U m 的值为答案：217. （2012?盐城）若反比例函数的图象经过点 P （- 1, 4）,则它的函数关系 式是4y-答案：:.ky18.（ 2012?衡阳）如图，反比例函数 工的图象经过点 P，则k=.答案：一 619