41不定积分的概念和性质54008

1、1 不定积分的概念不定积分的概念 不定积分的计算不定积分的计算第四章第四章 不定积分不定积分24.1 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质4.1.1 原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念例如例如,cos)(sinxx定义定义4.1.1 若在区间若在区间i上，上，)()(xfxf则称则称)(xf为为)(xf在区间在区间i上的一个上的一个原函数原函数.xsinxcos是是的一个原函数的一个原函数.)(sincx,cosxcx sin也是也是xcos的原函数的原函数.问题问题dx)x(f)x(df (1)何种函数具有原函数何种函数具有原函数?(2)函数若具有原函数函数若具有原函数,怎样写

2、出原函数怎样写出原函数?1、原函数、原函数3结论结论: 若函数若函数)(xf在区间在区间i上上连续连续,则存在可导函数则存在可导函数)(xf, 使使)(ix)()(xfxf连续函数一定有原函数连续函数一定有原函数i 若函数若函数)(xf在区间在区间 有一原函数有一原函数),(xf则则 仍为仍为)(xf的原函数，的原函数，cxf)(cxfx)()(则则)(xf的的cxf)( c为任意常数为任意常数)证证)(x设设为为)(xf的任一原函数的任一原函数,)()(xfx则则0)()(xfx)(xf)(xfcxfx)()(即即可表示为可表示为:所有原函数所有原函数定理定理4.1.14dxxf)(定义定义

3、4.1.2 c)x(fdx)x(f函数函数)(xf的的全体原函数全体原函数,记作记作:积分号积分号;)(xf被积函数被积函数;dxxf)(被积表达式被积表达式;x积分变量积分变量.若若)()(xfxf 则则)(xf的的不定积分不定积分为：为：)(xf的的不定积分不定积分.称为称为2. 不定积分的定义不定积分的定义5例例1dxx2求解解:dxx 2例例3dxx1求 xlndxx 12 x)( )xln( c)xln(dxx 1总之总之,0 1 x,cxlndxxcx 33例例2. 求求dxx211解解.,) (211xdxx 211. cxarctan 0 x解解 当当时时,cxln 0 x当当

4、时时,331xxarctanx1 )(x11 x1 6不定积分表示的是一族函数不定积分表示的是一族函数,从几何上看从几何上看,代表一族曲线代表一族曲线,称为称为积分曲线族积分曲线族.3.不定积分的几何意义不定积分的几何意义曲线曲线:ccxfy( ,)(为任意常数为任意常数 )在在 ( x0 , y0 )的切线的切线的斜率为的斜率为 f ( x0 )yox7例例4. 设曲线通过点（设曲线通过点（1，2），且其上任意点处的切线斜率等于这），且其上任意点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍点横坐标的两倍,求此曲线的方程求此曲线的方程.)x(f解解)(xfy xdxdy2 xxf2)(即即，由题意知，由题

5、意知cx 2dxx 2又曲线通过点（又曲线通过点（1，2），），1c12 x)x(f此曲线的方程为此曲线的方程为12 xy设所求曲线方程为：设所求曲线方程为：xyo11212 xy8求不定积分的运算与求导数运算是互逆的求不定积分的运算与求导数运算是互逆的.4.1.2 不定积分的性质不定积分的性质)x(fdx)x(f dx)x(fdx)x(fd c)x(fdx)x(f c)x(f)x(df (1)(2)k(dx)x(fkdx)x(kf0 dx)x(gdx)x(fdx)x(g)x(f(3)94.1.3 基本积分表基本积分表dxk )(1dxx)( 2dxx)( 1 3 cxarctan dxx)(

6、 211 10 xdxcos)( 7 (8)2dxxsec ckx 1 11 cx cxln dxx)( 211 11 cxarcsin xdxsin)( 6ccosx csinx cxtan dxx2csc (9) (12)dxxtanxsec dxxcotxcsc (13) (5) dxex cotcx csccxcaaxln (4) dxax seccxcex10例例1dxxx)5(2解解dxxx)5(2dxxx)5(2125dxxdxx212552772xcx 23310dxxx231dxxxxx223133dxxxx)33(21cxxxx1ln3322dxxx231例例2. 求解解11dxexx2例例3. 求解解dxexx2dxex)2(cexx2ln12ceex)2ln()2(例例4. 求dxxx241解解dxxx 241dxxx 24111dx)xx( 22111331x x cx arctan例例5. 求dxx2tan解解dxxtan 2dx)x(sec 12 cxxtan 12例例6. 求dxxx22cossin1解解dxxcosxsin 221dxxcosxsinxcosxsin 2222dxxcos 21dxxsin 21dxxsec 2dxxcsc 2xtan cxcot 例例1. 课本课