第五节隐函数求导

1、 第九章 第五节一、一个方程所确定的隐函数一、一个方程所确定的隐函数 及其导数及其导数 二、方程组所确定的隐函数组二、方程组所确定的隐函数组 及其导数及其导数隐函数的求导方法 本节讨论 :1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 .例如, 方程02cyx当 c 0 时, 不能确定隐函数;2) 在方程能确定隐函数时, 研究其连续性、可微性 及求导方法问题 . 在一元函数微分学中我们已经提出了隐函在一元函数微分学中我们已经提出了隐函0),( yxf求出它所确定的隐函数的导数的方法。求出它所确定的隐函数的导数的方法。然而有一问题没有解决：在什么条件下该方程然而有一问题没有解决：在什么条件下该方程)(xy

2、y 并且函数并且函数 是可导的？是可导的？)(xyy 数的概念，并且通过举例的方法指出了不经过数的概念，并且通过举例的方法指出了不经过显化直接由方程显化直接由方程可以唯一确定函数可以唯一确定函数问题的提出问题的提出0),( yxf所确定的所确定的 y 是是 x 的隐函数 y = f (x) , 如何求 xdyd例如：例如：0 xexyy两边对两边对 x 求导求导01)(xdexdxdydy,01)(xdydexexdydyyyyexexdyd 11由方程一、一个方程所确定的隐函数及其导数一、一个方程所确定的隐函数及其导数问题：问题：(1) 没有统一的公式没有统一的公式;(2) 没有回答隐函数是

3、否一定存在没有回答隐函数是否一定存在. 隐函数的微分法可以看成复合函数微分法的一个应用.在一元函数中，我们已经用复合函数求导法，求出方程f(x,y)=0所确定的隐函数y=f(x)的导数. 现在从另一个角度，即根据多元复合函数的求导法来导出隐函数的求导公式.一、一个方程所确定的隐函数及其导数一、一个方程所确定的隐函数及其导数定理定理1.1. 设函数),(00yxp),(yxf;0),(00yxf则方程00),(xyxf在点连续函数 y = f (x) , )(00 xfy 并有连续yxffxydd(隐函数求导公式) 具有连续的偏导数;的某邻域内某邻域内可唯一确定一个在点的某一邻域内满足0),(0

4、0yxfy满足条件导数三个条件、三个结论三个条件、三个结论定理证明从略，仅就求导公式推导如下：0)(,(xfxf两边对 x 求导0ddxyyfxfyxffxydd0yf,0),()(所确定的隐函数为方程设yxfxfy在),(00yx的某邻域内则问题：问题：如何给出如何给出 的计算公式？的计算公式？22xdyd若f( x , y ) 的二阶偏导数也都连续,22ddxy2yxxyyxxfffff3222yxyyyxyxyxxffffffffyxff)(yxffy)(2yxyxyyyyxfffffff二阶导数 :)(yxffxxyxxydd则还有例例1. 验证方程01sinyxeyx在点(0,0)某

5、邻域可确定一连续导数的隐函数, )(xfy 0dd,0dd22xxyxxy解解: 令, 1sin),(yxeyyxfx,0)0 , 0(f, yefxx连续 ,由 定理1 可知,1)0 , 0(yf0, )(xfy 导的隐函数 则xyfy cos在 x = 0 的某邻域内方程存在一个可且并求0ddxxy0 xffyx 1xy cosyex0, 0yx0dd22xxy)cos(ddxyyexx2)cos( xy 3100yyx)(yex)(cosxy )(yex) 1sin(yy1, 0, 0yyx, 1sin),(yxeyyxfx, yefxxxyfy cos0 xy30dd22xxy)(,

6、01sinxyyyxeyxyycos两边对 x 求导1两边再对 x 求导yyyy cos)(sin2令 x = 0 , 注意此时1,0yy0 yxyyexxey0 yx)0 , 0(cosxyyex导数的另一求法导数的另一求法 利用隐函数求导解解令令则则,arctanln),(22xyyxyxf ,),(22yxyxyxfx ,),(22yxxyyxfy yxffdxdy .xyyx xyyxarctan)ln(2122定理定理2 . 若函数 ),(000zyxp),(zyxfzyzxffyzffxz,的某邻域内具有连续偏导数连续偏导数 ,则方程0),(zyxf在点),(00yx并有连续偏导数

7、, ),(000yxfz 定一个连续函数 z = f (x , y) , 定理证明从略, 仅就求导公式推导如下:满足0),(000zyxf0),(000zyxfz 在点满足:某一邻域内可唯一确0),(,(yxfyxf两边对 x 求偏导xfzxffxzzyffyz同理可得( , )( , , )0,zf x yf x y z设是方程所确定的隐函数则zfxz00),(000zfzyx的某邻域内在例例3. 设,04222zzyx解法解法1 利用隐函数求导0422xzxzzxzxz2 22zxxz222)( 2xz222xzz0422xz2)(1xz322)2()2(zxz.22xz求再对 x 求导解

8、法解法2 利用公式设zzyxzyxf4),(222则,2xfxzxffxz两边对 x 求偏导)2(22zxxxz2)2()2(zxzxz322)2()2(zxz2zxzx242 zfz例例3. 设,04222zzyx.22xz求设函数设函数 由方程由方程 确定。确定。),(yxzz yezzx232 yzxz3求求 。例例4解解法一法一(利用隐函数求导法则利用隐函数求导法则)设设02),(32zyezyxfzxzxexf322 2 yf1332 zxezf则有则有zfxfxzzxzxee3232312于是于是zfyfyzzxe32312从而有从而有yzxz3zxzxee32323123zxe3

9、23122法二法二(利用全微分公式利用全微分公式)2(32yddedzzxdyzxdezx2)32(32dydzdxezx2)32(32有有 dydxedzezxzx22)31 (3232yezzx232 dyedxeedzzxzxzx323232312312从而有从而有zxzxeexz3232312zxeyz32312于是于是yzxz32法三法三(利用复合函数求偏导数法利用复合函数求偏导数法)把把z看成看成x,y的函数，两边同时对的函数，两边同时对x,y求导，有求导，有yezzx232 )32(32xzexzzx 2)3(32 yzeyzzx从而有从而有zxzxeexz3232312 zxe

10、yz32312 yzxz 3于是于是zxzxee32323123 zxe32312 2zx xz1f xz 12f xzyxzyxz21fzyf211fyxf 11f 1zx2f yxzxzy 211fyxf21fzyfyx 01f 1yx2f zxyxzy 21fzxf21fzyf法一法一思路思路：法二法二利用全微分形式不变性同时求出各偏导数.令令, zyxu ,xyzv 则则),(vufz （1）解出）解出 d z 得得dzdxxyffyzffvuvu 1两边微分得两边微分得dvfdufdzvu )(dzdydxfu )(xydzxzdyyzdxfv dyxyffzfxfvuvu 1xz

11、,1vuvuxyffyzff 所以所以yz ,1vuvuxyffxzff （2）解出）解出 d x 得得dxdyfzyffzxfvuvu dvfdufdzvu )(dzdydxfu )(xydzxzdyyzdxfv dzfyzfyfxfvuvu 1yx ,vuvufzyffzxf-所以所以zx ,1vuvufyzffxyf （3）解出）解出 d y 得得dydxfzxffzyfvuvu dzfzxfyfxfvuvu 1所以所以xy ,vuvufzxffzyf -zy ,1vuvufxzffxyf zx xz21fzyf211fyxf211fyxf21fzyfyx 21fzxf21fzyf法三：

12、利用隐函数求导法则法三：利用隐函数求导法则xyzvzyxuzvufzyxf,),().(设则有则有21yzfffx21xzfffy121xyfffz于是于是例例6 已知已知0cossin020022zyxyxxttdttdtttde确定确定 z = z ( x , y ) ，yzxz,求解：解：令令zyxyxxttdttdtttdezyxf0200cossin),(22xf2)(4xxxe )(sinxyxyxyx2)()(cosxzyxzyx42xexxyxsin2)(coszyxzyyf0)(sinyyxyxyx2)()(cosyzyxzyxyyxsin2)(coszyxzxzf00 2)

13、()(coszzyxzyx 2)(coszyxyx xzzxff 42xexxyxsin 2)(coszyxzy 2)(coszyxyx yzzyff 2)(coszyxyxyyxsin2)(coszyxzx 42xex xyxsin2)(coszyxzyyyxsin2)(coszyxzx2)(coszyxyxxfyfzfzxffxz xz例例7. 设f( x , y)具有连续偏导数, 0),(zyzxf.dz求解法解法1 利用偏导数公式.是由方程设),(yxfz 0),(zyzxf yz212fyfxfz211fyfxfzyyzxxzzdddzf11 1f)(2zx 2f)(2zyzf12

14、确定的隐函数,)dd(2121yfxffyfxz则)()(2221zyzxff 已知方程故对方程两边求微分: 1f)dd(d2121yfxffyfxzz)dd(2zzxxzzzfyfxd221 zyfxfdd21解法解法2 微分法.0),(zyzxf)dd(2zzyyz)(dzx 2f0)(dzy 1f 2f0二、方程组所确定的隐函数组及其导数二、方程组所确定的隐函数组及其导数隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.0),(0),(vuyxgvuyxf),(),(yxvvyxuu由 f、g 的偏导数组成的行列式vuvuggffvugfj),(),(称为f、g 的雅可比雅可比( jacobi )

15、行列式(函数行列式).以两个方程确定两个隐函数的情况为例 , 即问题：问题：如何求偏导数如何求偏导数?,yvxvyuxu 雅可比雅可比(1804 1851)德国数学家. 他在数学方面最主要的成就是和挪威数学家阿贝儿相互独地奠定了椭圆函数论的基础. 他对行列式理论也作了奠基性的工作. 在偏微分方程的研究中引进了“雅可比行列式”, 并应用在微积分中. 他的工作还包括代数学, 变分法, 复变函数和微分方程, 在分析力学, 动力学及数学物理方面也有贡献 . 他在柯尼斯堡大学任教18年, 形成了以他为首的学派.222111cybxacybxa解解:22111babax 2211bcbc2211caca2

16、2111babay 二元线性代数方程组解的公式定理定理3.3.,0),(0000vuyxf的某一邻域内具有连续偏设函数),(0000vuyxp),(, ),(vuyxgvuyxf则方程组0),(,0),(vuyxgvuyxf),(00yx在点的单值连续函数单值连续函数),(, ),(yxvvyxuu且有偏导数公式 : 在点的某一邻域内可唯一唯一确定一组满足条件满足:0),(),(pvugfpj;0),(0000vuyxg导数；, ),(000yxuu ),(000yxvv ),(),(1vxgfjxu),(),(1vygfjyu),(),(1xugfjxv),(),(1yugfjyv定理证明略

17、.仅推导偏导数公式如下：vvvuvugfggff1vvvuvugfggff1uuvuvugfggff1uuvuvugfggff1xxgfyygfxxgfyygf0),(),(,(0),(),(,(yxvyxuyxgyxvyxuyxf,的线性方程组这是关于xvxu0),(0),(vuyxgvuyxf有隐函数组则两边对 x 求导得,),(),(yxvvyxuu设方程组,0vuvuggffj在点p 的某邻域内xuxvxuxvxfufvf0 xgugvg0故得系数行列式同样可得),(),(1vygfjyu),(),(1vxgfjxu),(),(1xugfjxv),(),(1yugfjyv说明：定理的叙

18、述及计算公式都比较麻烦，实际计算中一般不套公式，而用推导公式的方法。xuxvxuxvxfufvf0 xgugvg0例例1. 设, 1,0vxuyvyux.,yvxvyuxu解解:xyyxjjxu122yxvxuyyu方程组两边对 x 求导，并移项得求vxvxxuyxvyu22yxvyuxvyuxjxv122yxuyvx练习练习: 求yvyu,uxvyxux022yx22yxvyuxyv答案答案:由题设故有 vueyvuexuucossin例2：设 xd解：将方程两边取微分得求求.,yvxvyuxu )sin()(vudedu udeu )cossin(vdvuvdu ydudeu)sincos

19、(vdvuvdu 整理得整理得xdvdvuduveu cos)sin(ydvdvuduveu sin)cos( ,)cos(sincossin1 vveydvxdvduu)cos(sin)(sin)(cos1 vveuydevxdevdvuuu 解得解得 vueyvuexuucossin例3：设解：将方程两边取微分得求求.,yvxvyuxu ,)cos(sincossin1 vveydvxdvduu)cos(sin)(sin)(cos1 vveuydevxdevdvuuu ,)cos(sinsin1 vvevxuu,)cos(sincos1 vvevyuu,)cos(sin)(cos1 vve

20、uevxvuu)cos(sin)(sin1 vveuevyvuu例例4.4.设函数在点(u,v) 的某一),(, ),(vuyyvuxx0),(),(vuyx1) 证明函数组),(),(vuyyvuxx( x, y) 的某一邻域内. ),(, ),(yxvvyxuu2) 求),(, ),(yxvvyxuu解解: 1) 令0),(),(vuxxvuyxf0),(),(vuyyvuyxg对 x , y 的偏导数.在与点 (u, v) 对应的点邻域内有连续的偏导数,且 唯一确定一组单值、连续且具有连续偏导数的反函数),(),(),(),(yxvyxuyyyxvyxuxx式两边对 x 求导, 得uy0 xvxu1xuxvuxvxvy则有),(),(vugfj,0),(),(vuyx由定理 3 可知结论 1) 成立.2) 求反函数的偏导数. , 0j注意vyvxj011xuxv,1vyj uyj 1011uyuxj从方程组解得同理, 式两边对 y 求导, 可得,1vxjyuuxjyv1xuxv例例4的应用的应用: 计算极坐标变换sin,cosryrx的反变换的导数 .),(),(ryxjxrx同样有22yxyyr22yxxy所以由于vyj 1uyj 1cos1rrsin1rcossinsi