第八章6多元函数极值

1、的图形的图形观察二元函数观察二元函数22yxexyz 多元函数极值多元函数极值一、多元函数的极值和最值一、多元函数的极值和最值1 1、二元函数极值的定义、二元函数极值的定义 设函数设函数),(yxfz 在点在点),(00yx的某邻域内的某邻域内有定义，对于该邻域内异于有定义，对于该邻域内异于),(00yx的点的点),(yx：若满足不等式若满足不等式),(),(00yxfyxf ，则称函数，则称函数在在),(00yx有 极 大 值 ； 若 满 足 不 等 式有 极 大 值 ； 若 满 足 不 等 式),(),(00yxfyxf ，则称函数在，则称函数在),(00yx有极有极小值；小值；极大值、极

2、小值统称为极值极大值、极小值统称为极值. .使函数取得极值的点称为极值点使函数取得极值的点称为极值点. .处有极小值处有极小值在在函数函数)0 , 0(4322yxz (1)处有极大值处有极大值在在函数函数)0 , 0(22yxz (2)处无极值处无极值在在函数函数)0 , 0(xyz (3)2 2、多元函数取得极值的条件、多元函数取得极值的条件定理定理 1 1（必要条件）（必要条件）设函数设函数),(yxfz 在点在点),(00yx具有偏导数，且具有偏导数，且在点在点),(00yx处有极值，则它在该点的偏导数必处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：然为零： 0),(00 yxfx， 0),(

3、00 yxfy. .证证不妨设不妨设),(yxfz 在点在点),(00yx处有极大值处有极大值,则则对对于于),(00yx的的某某邻邻域域内内任任意意 ),(yx),(00yx都都有有 ),(yxf),(00yxf,故故当当0yy ，0 xx 时时，有有 ),(0yxf),(00yxf,说明一元函数说明一元函数),(0yxf在在0 xx 处有极大值处有极大值,必必有有 0),(00 yxfx;类类似似地地可可证证 0),(00 yxfy.推广推广 如果三元函数如果三元函数),(zyxfu 在点在点),(000zyxp具有偏导数，则它在具有偏导数，则它在),(000zyxp有极值的必要条有极值的

4、必要条件为件为 0),(000 zyxfx， 0),(000 zyxfy， 0),(000 zyxfz. 仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的的点，均称为函数的驻点驻点.注意：注意：驻点驻点极值点极值点例如例如, 点点)0 , 0(是函数是函数xyz 的驻点，的驻点，定理定理 2 2（充分条件）（充分条件）设函数设函数),(yxfz 在点在点),(00yx的某邻域内连续，的某邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数，有一阶及二阶连续偏导数，问题：如何判定一个驻点是否为极值点？问题：如何判定一个驻点是否为极值点？又又 0),(00 yxfx,

5、, 0),(00 yxfy， 令令 ayxfxx ),(00， byxfxy ),(00， cyxfyy ),(00，但但不不是是极极值值点点.则则),(yxf在点在点),(00yx处是否取得极值的条件如下：处是否取得极值的条件如下：（1 1）02 bac时具有极值，时具有极值， 当当0 a时有极大值，时有极大值， 当当0 a时有极小值；时有极小值；（2 2）02 bac时没有极值；时没有极值；（3 3）02 bac时可能有极值时可能有极值, ,也可能没有极值，也可能没有极值，还需另作讨论还需另作讨论例例 1 1 求求由由方方程程yxzyx22222 0104 z确确定定的的函函数数),(yx

6、fz 的的极极值值 解解将方程两边分别对将方程两边分别对yx,求偏导求偏导 0422204222yyxxzzzyzzzx由由函函数数取取极极值值的的必必要要条条件件知知,驻驻点点为为)1, 1( p,将将上上方方程程组组再再分分别别对对yx,求求偏偏导导数数,21|, 0|,21|zzczbzzapyypxypxx 故故 )2(0)2(122 zzacb,将将)1, 1( p代代入入原原方方程程,将将)1, 1( p代代入入原原方方程程,有有6, 221 zz,当当21 z时时，041 a,所所以以2)1, 1( fz为为极极小小值值；当当62 z时时，041 a,所以所以6)1, 1( fz

7、为极大值为极大值.求函数求函数),(yxfz 极值的一般步骤：极值的一般步骤：第第一一步步 解解方方程程组组, 0),( yxfx0),( yxfy求出实数解，得驻点求出实数解，得驻点.第二步第二步 对于每一个驻点对于每一个驻点),(00yx，求求出出二二阶阶偏偏导导数数的的值值a、b、c.第三步第三步 定出定出2bac 的符号，再判定是否是极值的符号，再判定是否是极值.3 3、多元函数的最值、多元函数的最值 与一元函数相类似，我们可以利用函数的与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值极值来求函数的最大值和最小值.求最值的一般方法求最值的一般方法设设 f ( x , y

8、 ) 在在d上连续，上连续，d内可微且在内可微且在d内至多有有限个驻点内至多有有限个驻点,这时若这时若 f ( x , y ) 在在d内取得最值内取得最值,则这个最值也一定是极值则这个最值也一定是极值将函数在将函数在 d d 内的所有驻点处的函数值及在内的所有驻点处的函数值及在 d d 的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值大者即为最大值，最小者即为最小值. .故一般方法是故一般方法是 在实际问题中，往往根据问题的性质就可在实际问题中，往往根据问题的性质就可以断定函数在区域内部确有最大值（最小值），以断定函数在区域内部确

9、有最大值（最小值），这时如果函数在区域内只有一个驻点，则可以这时如果函数在区域内只有一个驻点，则可以断定该点处的函数值就是函数在区域上的最大断定该点处的函数值就是函数在区域上的最大值（最小值）值（最小值）例例 2 2 求二元函数求二元函数)4(),(2yxyxyxfz 在直线在直线6 yx，x轴和轴和y轴所围成的闭区域轴所围成的闭区域d上的最大值与最小值上的最大值与最小值. 解解如图如图,先先求求函函数数在在d内内的的驻驻点点，xyo6 yxdd解方程组解方程组 0)4(),(0)4(2),(222yxyxxyxfyxyxxyyxfyx得得区区域域d内内唯唯一一驻驻点点)1 , 2(,且且4)

10、1 , 2( f,再再求求),(yxf在在d边边界界上上的的最最值值， 在边界在边界0 x和和0 y上上0),( yxf,在边界在边界6 yx上，即上，即xy 6于于是是)2)(6(),(2 xxyxf,由由 02)6(42 xxxfx,得得4, 021 xx, 2|64 xxy,64)2 , 4( fxyo6 yx 比较后可知比较后可知4)1 , 2( f为最大值为最大值,64)2 , 4( f为最小值为最小值.例例 3 3 求求122 yxyxz的的最最大大值值和和最最小小值值. 解解由由, 0)1()(2)1(22222 yxyxxyxzx, 0)1()(2)1(22222 yxyxyy

11、xzy得驻点得驻点)21,21(和和)21,21( ,因为因为01lim22 yxyxyx即边界上的值为零即边界上的值为零.,21)21,21( z,21)21,21( z所以最大值为所以最大值为21，最小值为，最小值为21 .无条件极值无条件极值：对自变量除了限制在定义域内对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件外，并无其他条件.二、条件极值与拉格朗日乘数法二、条件极值与拉格朗日乘数法条件极值条件极值：对自变量有附加条件的极值：对自变量有附加条件的极值拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法 要找函数要找函数),(yxfz 在条件在条件0),( yx 下的下的可能极值点，可能极值点，先构造函数先构造函

12、数),(),(),(yxyxfyxf ，其中其中 为某一常数，可由为某一常数，可由 . 0),(, 0),(),(, 0),(),(yxyxyxfyxyxfyyxx 解出解出 , yx，其中，其中yx,就是可能的极值点的坐标就是可能的极值点的坐标. 一些较简单的条件极值问题可以把它转化为一些较简单的条件极值问题可以把它转化为无条件极值来求解无条件极值来求解降元法，但这种方法需要降元法，但这种方法需要经过解方程和代入的手续，对于较复杂的方程就经过解方程和代入的手续，对于较复杂的方程就不容易作到，有时甚至是不可能的不容易作到，有时甚至是不可能的解决条件极值问题的一般方法解决条件极值问题的一般方法是

13、是lagrange乘数法乘数法升元法升元法求求 z = f ( x , y )下下的的极极值值在在条条件件0),( yx 其几何意义是其几何意义是),(0),(:00yxyxl上求一点上求一点在曲线在曲线 ),(),(00yxfyxf 使使),(),(00yxfyxf 或或其中点其中点 ( x , y ) 在曲线在曲线 l 上上假定点假定点p (x0 , y0 ) 为条件极值点为条件极值点在在(x0 , y0 ) 的某个邻域内的某个邻域内 连续连续yx ,且不同时为且不同时为0f( x , y )可微可微0 y 不妨设不妨设0),( yx 于是于是确定了一个隐函数确定了一个隐函数y = y(x

14、) 故故 z= f x , y(x)在在p(x0 , y0)处取得极值处取得极值故故0 pdxdz即即0)(),(),(0000 xyyxfyxfyx又由隐函数的微分法知又由隐函数的微分法知),(),(0000yxyxdxdyyxp 代入上式代入上式0),(),(),(),(000000 yxyxyxfyxfxyyoox 令令),(),(0000yxyxfyy 得得p (x0 ,y0 )为条件极值点的必要条件为为条件极值点的必要条件为0),(0),(),(0),(),(0000000000 yxyxyxfyxyxfyyxx xyzoz=f(x,y)lm无条件极值点无条件极值点.p条件极值点条件

15、极值点.拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况：拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况：要找函数要找函数),(tzyxfu 在条件在条件 0),( tzyx ，0),( tzyx 下的极值，下的极值， 先构造函数先构造函数 ),(),(tzyxftzyxf ),(),(21tzyxtzyx 其中其中21, 均为常数，可由均为常数，可由 偏导数为零及条件解出偏导数为零及条件解出tzyx,，即得极值点的坐标，即得极值点的坐标.例例4求内接于椭球求内接于椭球 1222222 czbyax的最大长方体的体积的最大长方体的体积,长方体的各面平行于坐标面长方体的各面平行于坐标面解一解一 设内接于椭

16、球且各面平行于坐标面的长方体在第设内接于椭球且各面平行于坐标面的长方体在第一卦限的顶点的坐标为一卦限的顶点的坐标为( x , y , z )则长方体的体积为则长方体的体积为v=8xyz022 axyzfx 022 byxzfy 022 czxyfz 1222222 czbyax) 1(222222 czbyaxxyzf 令令 23 xyz解得解得3,3,3czbyax 22axyz 22byxz 或或两式相除两式相除222222byaxyaxbxy 同理同理2222czax 即即222222czbyax 代入解得代入解得3,3,3czbyax 三式相加得三式相加得解二解二任意固定任意固定 z0

17、 (0 z0 0且且u 在在d上连续，故必存在上连续，故必存在 最大值，且一定在最大值，且一定在d内取得内取得另一方面另一方面由于由于 u 和和 lnu 在在d内有相同的极值点内有相同的极值点故问题转化为求故问题转化为求lnu 在条件在条件 x + y + z = m 下的极值。下的极值。令令)(lnmzyxuf )(lnlnlnmzyxzcybxa 则则0 xafx0 ybfy0 zcfz与与 x + y + z = m 联立解得联立解得cbacmzcbabmycbaamx ,cbacbacbacbamcbau )(max注注若一元函数若一元函数 f(u) 在区间在区间 i 上严格单调增上严

18、格单调增一般情形一般情形多元函数多元函数 g(p) 在区域在区域d上有定义上有定义时时且且当当dp ipg )(则则 f(u) 与复合函数与复合函数 f g(p) 有相同的极值点有相同的极值点利用这一结论可将求利用这一结论可将求f g(p) 的驻点转化为的驻点转化为f(u) 的驻点的驻点或相反地将求或相反地将求f(u) 的驻点转化为求的驻点转化为求f g(p) 的驻点的驻点使问题简化使问题简化 转移大法转移大法四、小结四、小结多元函数的极值多元函数的极值（取得极值的必要条件、充分条件）（取得极值的必要条件、充分条件）多元函数的最值多元函数的最值拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法思考题思考题 若若),(0yxf及及),(0yxf在在),(00yx点均取得点均取得极值， 则极值， 则),(yxf在点在点),(00yx是否也取得极值？是否也取得极值？思考题解答思考题解答不是不是.例例如如 22),(yxyxf ,当当0 x时时，2), 0(yyf 在在)0 , 0(取取极极大大值值;当当0 y时，时，2)0 ,(xxf