84轨迹和轨迹方程（第1课时）

1、第八章第八章 圆锥曲线方程圆锥曲线方程第 讲（第一课时）（第一课时）考点考点搜索搜索曲线的方程与方程的曲线的概念，曲线的方程与方程的曲线的概念，以及轨迹与轨迹方程的含义以及轨迹与轨迹方程的含义求轨迹方程的基本方法求轨迹方程的基本方法高考高考猜想猜想1.以直线与圆锥曲线为背景，求动以直线与圆锥曲线为背景，求动点的轨迹方程点的轨迹方程(或轨迹图形或轨迹图形).2.利用轨迹思想解决变量的取值范利用轨迹思想解决变量的取值范围与最值问题围与最值问题.1. 对于曲线对于曲线C和方程和方程F(x,y)=0,如果曲线如果曲线C上的点的坐标都是上的点的坐标都是_,且且以方程以方程F(x，y)=0的解为坐标的点都

2、在的解为坐标的点都在_,则方程则方程F(x,y)0叫做叫做_,曲线曲线C叫做叫做_.2. 直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线是直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线是基本的轨迹图形，其中：基本的轨迹图形，其中： (1)在平面内，到两定点的距离相等在平面内，到两定点的距离相等的点的轨迹是的点的轨迹是_.方程方程F(x，y)=0的解的解曲线曲线C上上曲线曲线C的方程的方程方程方程F(x，y)=0的曲线的曲线连结两定点的线段的中垂线连结两定点的线段的中垂线(2)平面内到角两边距离相等的点的轨迹是平面内到角两边距离相等的点的轨迹是_. (3)平面内到定直线的距离等于某一定值的平面内到定直线的距离等于某一定值的点的

3、轨迹是点的轨迹是_. (4)平面内到定点的距离与到定直线距离之平面内到定点的距离与到定直线距离之比等于常数的点的轨迹是圆锥曲线比等于常数的点的轨迹是圆锥曲线.当常数大于当常数大于1时，表示时，表示_;当常数等于当常数等于1时，表示时，表示_;当常数大于当常数大于0而小于而小于1时时,表示表示_. (5)平面内到定点的距离等于定长的点的轨平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是迹是 _.角平分线角平分线与这条直线平行的两条直线与这条直线平行的两条直线双曲线双曲线抛物线抛物线椭圆椭圆圆圆3. 求动点的轨迹方程的基本方法有：求动点的轨迹方程的基本方法有： (1)如果动点运动的条件就是一些几何量的如果动

4、点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，易于表达成含等量关系，这些条件简单明确，易于表达成含x，y的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为 _. (2)运用解析几何中一些常用定义运用解析几何中一些常用定义(例如圆锥例如圆锥曲线的定义曲线的定义)，可从曲线定义出发直接写出轨迹，可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程，这种方法称之为出轨迹方程，这种方法称之为 _.直接法直接法定义法定义法 (3)动点所满足的条件不易表达或求出，但动点所满足的条件不易表达或求出，但形成轨

5、迹的动点形成轨迹的动点P(x，y)却随另一动点却随另一动点Q(x，y)的运动而有规律的运动，且动点的运动而有规律的运动，且动点Q的轨迹为给定的轨迹为给定或容易求得，则可先将或容易求得，则可先将x，y表示为表示为x、y的式子，的式子，再代入再代入Q的轨迹方程，然后整理得的轨迹方程，然后整理得P的轨迹方程，的轨迹方程，这种方法称之为这种方法称之为 _. (4)求轨迹方程有时很难直接找出动点的横求轨迹方程有时很难直接找出动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量(参数参数)，使，使x、y之间建立起联系，然后再从所求之间建立起联系，然后再从所求式子中消去参

6、数，得出动点的轨迹方程，这种式子中消去参数，得出动点的轨迹方程，这种方法称之为方法称之为 _.代入法代入法参数法参数法1.已知两点已知两点M(-2，0)，N(2，0)，点，点P为为坐标平面内的动点，且满足坐标平面内的动点，且满足 则动点则动点P的轨迹方程是的轨迹方程是( )A. y2=8x B. y2=-8xC. y2=4x D. y2=-4x 解解:设点设点P(x,y),则则 由已知可得由已知可得 化简得化简得y2=-8x，故选，故选B.B| |0,MNMPMN NP (2, ),( -2, ),(4,0).MPxy NPxy MN 224 (2)4( -2)0,xyx2.点点P(4，-2)

7、与圆与圆x2+y2=4上任一点连线的中上任一点连线的中点的轨迹方程是点的轨迹方程是( ) A. (x-2)2+(y+1)2=1 B. (x-2)2+(y+1)2=4 C. (x+4)2+(y-2)2=4 D. (x+2)2+(y-1)2=1 解解:设圆上任一点为设圆上任一点为Q(s,t),PQ的中点为的中点为A(x,y), 则则 解得解得 将其代入圆的方程将其代入圆的方程, 得得(2x-4)2+(2y+2)2=4，整理得，整理得(x-2)2+(y+1)2=1.A42,-22sxty2 -4,22sxty3.已知已知A(0，7)、B(0，-7)、C(12，2)，以，以C为一个焦点作过为一个焦点作

8、过A、B的椭圆，则椭圆的另的椭圆，则椭圆的另一个焦点一个焦点F的轨迹方程是的轨迹方程是( )解：解：由题意由题意|AC|=13,|BC|=15,|AB|=14，又又|AF|+|AC|=|BF|+|BC|，所以所以|AF|-|BF|=|BC|-|AC|=2.22222222. -1(-1) . -14848. -1 . -14848xxA yyB yxyC yD xA故点故点F的轨迹是以的轨迹是以A、B为焦点，为焦点，实轴长为实轴长为2的双曲线的下支的双曲线的下支.又又c=7，a=1，所以，所以b2=48，所以点所以点F的轨迹方程为的轨迹方程为 (y-1).22-148xy1.(2010北京卷改

9、编北京卷改编)在平面直角坐标在平面直角坐标系系xOy中，点中，点B与点与点A(-1,1)关于原点关于原点O对称，对称，P是动点，且直线是动点，且直线AP与与BP的斜率之积等于的斜率之积等于- ，求动点，求动点P的轨迹方程的轨迹方程 题型题型1 直接法求轨迹方程直接法求轨迹方程13 解解：因点：因点B与点与点A(-1,1)关于原点关于原点O对称，对称，得点得点B的坐标为的坐标为(1，-1)设点设点P的坐标为的坐标为(x，y)，则，则kAP= ，kBP=，由题意得由题意得 =- ，化简得：化简得： + =1(x 1)即 动 点即 动 点 P 的 轨 迹 方 程 为的 轨 迹 方 程 为 + =1(

10、x 1)11yx11yx11yx11yx1324x3 24y24x3 24y点评：点评：本题的轨迹方程是用直接法求本题的轨迹方程是用直接法求得动点所满足的条件已给出，只要设出得动点所满足的条件已给出，只要设出动点坐标，代入条件即可列出方程，然后动点坐标，代入条件即可列出方程，然后化简即可化简即可 如图，圆如图，圆O1和和圆圆O2的半径都等于的半径都等于1,O1O2=4，过动点过动点P分别作圆分别作圆O1、圆、圆O2的切线的切线PM、PN(M、N为切为切点点),使得使得PM= PN,试建立试建立适当的坐标系，求动点适当的坐标系，求动点P的轨迹方程的轨迹方程.解：解：以线段以线段O1O2的中点的中

11、点O为原点，为原点，O1O2所在直线为所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，轴，建立平面直角坐标系，则点则点O1(-2，0)，O2(2，0)，设点，设点P(x，y).2由已知由已知|PM|2=2|PN|2，所以所以|PO1|2-1=2(|PO2|2-1).又又(x+2)2+y2-1=2(x-2)2+y2-1，化简得化简得x2+y2-12x+3=0.故点故点P的轨迹方程是的轨迹方程是x2+y2-12x+3=0.2. 已知圆已知圆A:(x+2)2+y2=1 与点与点A(-2，0)，B(2，0)，分，分 别求出满足下列条件的动点别求出满足下列条件的动点 P的轨迹方程的轨迹方程. (1)PAB的周长为的

12、周长为10； (2)圆圆P过点过点B(2，0)且与且与 圆圆A外切外切(P为动圆圆心为动圆圆心)； (3)圆圆P与圆与圆A外切且与直线外切且与直线x=1相切相切(P为动圆圆心为动圆圆心). 题型题型2 定义法求轨迹方程定义法求轨迹方程解：解：(1)根据题意，知根据题意，知|PA|+|PB|+|AB|=10，即即PA+|PB|=64=|AB|.故故P点的轨迹是椭圆，且点的轨迹是椭圆，且2a=6，2c=4，即即a=3，c=2，b=5.因此其方程为因此其方程为 (y0). (2)设圆设圆P的半径为的半径为r，则，则|PA|=r+1，|PB|=r，因此因此|PA|-|PB|=1.由双曲线的定义知，由双

13、曲线的定义知，P点的轨迹为双曲线的右支，点的轨迹为双曲线的右支，22195xy且且2a=1，2c=4，即，即因此其方程为因此其方程为 (3)依题意，知动点依题意，知动点P到定点到定点A的距离等的距离等于它到定直线于它到定直线x=2的距离，故其轨迹为抛物的距离，故其轨迹为抛物线，且开口向左，线，且开口向左，p=4. 因此其方程为因此其方程为y2=-8x. 点评：点评：根据给定的条件转换得出所求轨根据给定的条件转换得出所求轨迹是符合某种定义的圆锥曲线，然后按此圆迹是符合某种定义的圆锥曲线，然后按此圆锥曲线的方程形式求得其对应的系数即可得锥曲线的方程形式求得其对应的系数即可得出所求轨迹方程，这就是定

14、义法求轨迹方程出所求轨迹方程，这就是定义法求轨迹方程. 115,2,.22acb22414-1().152xyx 设点设点P为直线为直线l: x=- 上一动点上一动点,F(- ,0)为为定点，连结定点，连结PF并延长到点并延长到点M， 使使|PM|=|PF|FM|,求点求点M的的 轨迹方程轨迹方程. 解：解：设直线设直线l交交x轴于轴于A点，点， 作作MBl，垂足为，垂足为B， 则则PAFPBM， 所以所以 因为因为|PM|=|PF|FM|，8 332 3|.|PFAFPMBM所以所以 即即所以点所以点M的轨迹是以点的轨迹是以点F为左焦点，为左焦点，l为左准线的椭圆位于直线为左准线的椭圆位于直

15、线x=- 右侧的部分右侧的部分.由由可得可得a=4，b=2，c= .因为因为|OF|= =c，所以，所以O为椭圆的中心为椭圆的中心.故点故点M的轨迹方程是的轨迹方程是1|,|AFFMBM|13.|2MFMBAF2 3222232 3,|,23cbAFabcac2 32 3221(-2 34).164xyx1. 直接法求轨迹方程的一般步骤是：直接法求轨迹方程的一般步骤是： (1)建系建系建立适当的坐标系建立适当的坐标系. (2)设点设点设轨迹上的任一点设轨迹上的任一点P(x，y). (3)列式列式列出动点列出动点P所满足的关系式所满足的关系式. (4)代换代换依条件式的特点，选用距离依条件式的特

16、点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为公式、斜率公式等将其转化为x，y的方程式，的方程式，并化简并化简. (5)证明证明证明所求方程即为符合条件证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程的动点轨迹方程.2. 求出的轨迹方程中若有的解不合轨迹条求出的轨迹方程中若有的解不合轨迹条件件,从而使轨迹图形上有不合轨迹条件的点存在从而使轨迹图形上有不合轨迹条件的点存在,则该方程及其曲线不满足纯粹性；求出的轨迹则该方程及其曲线不满足纯粹性；求出的轨迹方程所表示的曲线若不是所有适合条件的点的方程所表示的曲线若不是所有适合条件的点的集合，即曲线之外还有适合条件的点存在，则集合，即曲线之外还有适合条件的点存在，则该方程及曲