《力矩分配法》

1、1第第12章章 渐进法渐进法2力矩分配法的力矩分配法的理论基础：位移法；理论基础：位移法；计算对象：杆端弯矩；计算对象：杆端弯矩；计算方法：逐渐逼近的方法；计算方法：逐渐逼近的方法；适用范围：连续梁和无侧移刚架。适用范围：连续梁和无侧移刚架。1 1、转动刚度、转动刚度S S： 表示杆端对转动的抵抗能力。表示杆端对转动的抵抗能力。 在数值上在数值上=仅使杆仅使杆端发生单位转动时需在杆端施加的力矩。端发生单位转动时需在杆端施加的力矩。1SAB=4i1SAB=3iSAB=i1SAB=0SAB与杆的与杆的i（材料的性质、横截面（材料的性质、横截面的形状和尺寸、杆长）及远端支承的形状和尺寸、杆长）及远端

2、支承有关，有关，SAB=4i1而与近端支承无关。而与近端支承无关。12-1 12-1 力矩分配法的基本概念及基本运算力矩分配法的基本概念及基本运算3因此，在确定杆端转动刚度时：因此，在确定杆端转动刚度时：近端看位移近端看位移（是否为单位位移）（是否为单位位移） 远端看支承远端看支承（远端支承不同，转动刚度不同）。（远端支承不同，转动刚度不同）。MAB1MABMAB111MAB下列那种情况的杆端弯矩下列那种情况的杆端弯矩MAB=SAB转动刚度转动刚度SAB=4i是（是（ ）iiiiiiAAAAA4iSAB3iBBBBB4分配系数分配系数SAB = 4i1SAB= 3i11SAB= i2 2、分配

3、系数、分配系数 设设A点有力矩点有力矩M，求，求MAB、MAC和和MADCABDiABiACiADAM如用位移法求解：如用位移法求解：AABAABABSiM 4AACAACACSiMAADAADADSiM 3MMABMACMAD0AmAADACABSSSM)(AADACABASMSSSMMSSMAADAD于是可得于是可得MSSMAABABMSSMAACACMMAjAjAAjAjSS153 3、传递系数、传递系数MAB = 4 iAB AMBA = 2 iAB A21ABBAABMMCMAB = 3iABA0ABBAABMMCMAB= iABAMBA = - iAB A1ABBAABMMC 在结

4、点上的外力矩按各杆分配系数分配给各杆近端截面，各杆远在结点上的外力矩按各杆分配系数分配给各杆近端截面，各杆远端弯矩分别等于各杆近端弯矩乘以端弯矩分别等于各杆近端弯矩乘以传递系数传递系数。AlAB近端近端远端远端ABAAAB6基本运算基本运算ABCMABMBAMBCABCMABPMBAPMBCPMBMBMBAMBCMB= MBA+MBCABC-MBBAMBCMABM0-MBBAMBCM)(BBABAMM)(BBCBCMM+=最后杆端弯矩：最后杆端弯矩：MBA = MBAP+BAMMBC =MBCP+BCMMAB= MABP+ABM然后各跨分别叠加简支梁的弯矩图，即得最后弯矩图。然后各跨分别叠加简

5、支梁的弯矩图，即得最后弯矩图。固端弯矩带本身符号固端弯矩带本身符号12-2 单结点的力矩分配7例1. 用力矩分配法作图示连续梁的弯矩图。3m3m6mEIEI200kN20kN/m（1 1）B点加约束点加约束ABC200kN20kN/mMAB=MBA=MBC=mkN 15086200mkN 150mkN 9086202MB=MBA+ MBC=mkN 60-150150-90（2 2）放松结点）放松结点B B，即加，即加-60-60进行分配进行分配60ABC-60设设i =EI/l计算转动刚度：计算转动刚度：SBA=4iSBC=3i分配系数分配系数：571. 0344iiiBA429. 073ii

6、BC0.5710.429分配力矩分配力矩:3 .34)60(571. 0BAM7 .25)60(429. 0BCM-34.3-25.7-17.20+(3) (3) 最后结果。合并前面两个过程最后结果。合并前面两个过程ABC0.5710.429-150150-90-34.3-25.7-17.20-167.2115.7-115.70167.2115.730090M图图(kNm)ABC=812-3 多结点的力矩分配ABCDBCMBAMBCMCBMCDMABMBMCmBAmBCmCB-MB放松，平衡了放松，平衡了MC固定固定放松，平衡了放松，平衡了-MC固定固定固定固定放松，平衡了放松，平衡了渐近运算

7、渐近运算9CB例例1.1.用力矩分配法列表计算图示连续梁。用力矩分配法列表计算图示连续梁。ABCD6m6m4m4mEI=1EI=2EI=120kN/m100kN61ABi4182BCi61CDi141432614BCBASS6 . 04 . 032132BCBA216131414CDCBSS333. 0667. 02111CDCB0.4 0.60.667 0.333m-6060-100100分配与传递-33.3-66.7-33.429.4442214.7-14.7-7.3-7.34.42.92.2-1.5 -0.7-0.70.30.41.50.2-43.692.6 -92.641.3-41.3

8、Mij043.692.6133.141.3ABCD21.9M图（图（kNm）10ABCD6m6m4m4mEI=1EI=2EI=120kN/m100kN43.6133.141.321.9M图（kNm）92.6ABCDABCD51.868.256.443.66.9Q图（kN）求支座反力求支座反力68.256.4B124.611 1 1）单结点力矩分配法得到精确解；多结点力矩分配法得到渐近解。）单结点力矩分配法得到精确解；多结点力矩分配法得到渐近解。 2 2）首先从结点不平衡力矩绝对值较大的结点开始。）首先从结点不平衡力矩绝对值较大的结点开始。 3 3）结点不平衡力矩要变号分配。）结点不平衡力矩要变

9、号分配。 4 4）结点不平衡力矩的计算：）结点不平衡力矩的计算：结点不平结点不平衡力矩衡力矩（第一轮第一结点）（第一轮第一结点）固端弯矩之和固端弯矩之和（第一轮第二、三（第一轮第二、三结点）结点）固端弯矩之和固端弯矩之和 加传递弯矩加传递弯矩传递弯矩传递弯矩（其它轮次各结点）（其它轮次各结点）总等于附加刚臂上的约束力矩总等于附加刚臂上的约束力矩5 5）不能同时放松相邻结点（因定不出其转动刚度和传递系数），但可）不能同时放松相邻结点（因定不出其转动刚度和传递系数），但可 以同时放松所有不相邻的结点，以加快收敛速度。以同时放松所有不相邻的结点，以加快收敛速度。力矩分配法小结：力矩分配法小结：120

10、.2221114321ABCDFEB3 . 04 . 03 . 0BEBCBAC222. 0333. 0445. 0CFCDCBmBA= 40kNm mBC= - 41.7kNm mCB= 41.7kNm0.30.40.30.4450.33340-41.741.7-18.5-9.3 -13.9-9.33.33.34.42.2-1.0-0.5 -0.7-0.50.15 0.150.2-4.651.65-0.250.0743.45 3.45 -46.924.4-9.8 -14.61.72-4.9043.546.924.514.73.451.79.84.89M图)(mkN 例例2.2.4m4m5m4

11、m2mq=20kN/mABCDFE13静定伸臂的处理静定伸臂的处理例题例题2-4 试作弯矩图。试作弯矩图。50kN1m1m5m50kN50SBA=15 EI=常数常数5 i=5i=1SBC=3BA=5/6BC=1/65/6 1/620.8mM50254.220.8 20.85050kN20.850M图（图（kN.m)ABCABMM/2144EI4EI2EI2EI用力矩分配法计算，作用力矩分配法计算，作M图。图。取取EI=5i=4i=4i=2.5i=2.52kN/m20kN5m5m1m4m20kN20结点结点杆端杆端AEBCFABEBBEBABCCBCFFCm0.2630.3160.4210.6

12、150.38500031.25 20.83 20.8300(20)2.74 3.29 4.391.372.20MB=31.2520.83=10.42MC=20.83202.2=1.370.84 0.530.270.420.10 0.14 0.180.050.09 ABCEF152.85结点结点杆端杆端AEBCFABEBBEBABCCBCFFCm0.2630.3160.4210.6150.38500031.25 20.83 20.8300(-20)2.74 3.29 4.391.372.200.84 0.530.270.420.10 0.14 0.180.050.090.06 0.030.020

13、.030.01 0.01 0.01M01.4227.8024.96 19.940.560.29k计算之前计算之前, ,去掉静定伸臂去掉静定伸臂, ,将其上荷载向结点作等效平移。将其上荷载向结点作等效平移。k有结点集中力偶时有结点集中力偶时, ,结点不平衡力矩结点不平衡力矩= =固端弯矩之和结点集中固端弯矩之和结点集中 力偶力偶( (顺时针为正顺时针为正) )1620kN/m3m3m3m2iiiiii4i2iSAG=4i20kN/m1.5miiACEGHSAC=4i SCA=4iSCH=2iSCE=4iAG=0.5AC=0.5CA=0.4CH=0.2CE=0.4mkNmAG.1535 . 120

14、2结点杆端ACEAGACCACHCECHm0.50.50.40.20.415170.50.50.40.20.4157.5 7.53.751.50 0.75 1.50 0.75 0.750.37 0.380.190.08 0.03 0.08 0.04 0.040.02 0.02结点杆端ACEAGACCACHCECHmM7.117.112.360.781.580.7920kN/m7.110.791.582.630.791.587.112.630.78M图（kN.m)18i=1i=1i=22m2m4m4mABCD40kN/m100kN15kN练：用力矩分配法计算练：用力矩分配法计算,画画M图。图。解

15、：解：1）求）求大家算大家算AB= AC=AD=4/92/93/92）求）求m大家算大家算mAB= mBA=mAD=50 50 80M=15MAmABmADmACM+MA=mAB+mAD+mAC M=50+8015= 45结点结点BACD杆端杆端分配系数分配系数BAABADACCADA4/93/92/9分配与传递分配与传递20固端弯矩固端弯矩 5050 8010151010最后弯矩最后弯矩 4070 6510 1040701001080M图（图（kN.m)194I4I5I3I3I1110.750.5i=1110.750.5ABCDEF5m4m4m4m2m20kN/m例题例题12-3 求图示刚架

16、求图示刚架 的弯矩图。的弯矩图。解：解：1）求分配系数）求分配系数SBA=3 SBC=4 SBE=43/4=3 SCB=4 SCD=3 SCF=41/2=2结点结点B：S=SBA+SBC+SBE3+4+3=10 BA=3/10=0.3BC=4/10=0.4BE=3/10=0.3CB=4/9=0.445CD=3/9=0.333CF=2/9=0.222结点结点C：S=SCB+SCD+SCF4+3+2=9 1）求固端弯矩）求固端弯矩mkNqlmCB.7 .41122 mkNqlmBC.7 .41122 mkNqlmBA.4082 20ABCD EFBA=3/10=0.3BC=4/10=0.4BE=3

17、/10=0.3CB=4/9=0.445CD=3/9=0.333CF=2/9=0.222mkNqlmBc.7 .41122mkNqlmBA.4082mCB=41.7kN.mBABEBCCBCFCD0.30.30.40.4450.222 0.3334041.741.718.5 9.3 13.9 9.33.3 3.3 4.44041.79.3=112.21.0 0.5 0.7 0.50.15 0.15 0.243.4 3.5 46.5 24.4 9.8 14.8 EB1.60.11.7FC4.70.24.921ABCDEF20kN/m43.446.924.414.69.84.93.51.7M图（kN

18、.m)ABCDEF29.150.954.545.53.71.32.5Q图(kN)ABCDEF49.2105.42.5N图(kN)1.22212-4 无剪力分配法一、应用条件一、应用条件：结构中有线位移的杆件其剪力是静定的。：结构中有线位移的杆件其剪力是静定的。PPPPPPABCDPPPABCDP2P3P柱剪力图柱剪力图即即：刚架中除了无侧移杆外，其余杆件全是剪力静定杆。：刚架中除了无侧移杆外，其余杆件全是剪力静定杆。23二、单层单跨刚架二、单层单跨刚架BACBACAASAB= iAB SAC= 3iAC只阻止转动只阻止转动放松放松单元分析：单元分析：ABABMAB-MBAAQ=0等效等效ABA

19、MABSAB=iAB CAB=-1上面两个过程主要讨论剪力静定杆件的变形和受力特点。上面两个过程主要讨论剪力静定杆件的变形和受力特点。（2 2）剪力静定杆件的转动刚度）剪力静定杆件的转动刚度S=i；传递系数；传递系数C=-1。（3 3）ACAC杆的计算与以前一样。杆的计算与以前一样。 （1 1）求剪力静定杆的固端弯矩时，求剪力静定杆的固端弯矩时， 先由平衡条件求出杆端剪力；将先由平衡条件求出杆端剪力；将杆端剪力看作杆端荷载，按该端滑动，远端固定杆件计算固端弯矩。杆端剪力看作杆端荷载，按该端滑动，远端固定杆件计算固端弯矩。24例：例：2m2m4m5kNABC1kN/mi1=4i2=3（1）m75

20、5. 345163BCm67. 2641622qlmBA33. 532qlmAB（2）S、C123312iSiSBCBA8 . 02 . 01233BCBA1BAC0.2 0.8-2.67 -3.75-5.331.285.14-1.28-1.391.39-6.611.395.706.61M图图(kNm)25三、三、 多跨单层刚架多跨单层刚架P1P2ABCDEP1P2ABP1mABmABBCmBCmCBP1+P2(1)(1)求固端弯矩求固端弯矩AB、BC杆是剪力静定杆。杆是剪力静定杆。1 1）由静力条件求出杆端剪力；）由静力条件求出杆端剪力；2 2）将杆端剪力作为荷载求固端弯矩）将杆端剪力作为荷

21、载求固端弯矩26BCDEASBA= iABSBE=3iBESBC= iBC（2 2）分配与传递）分配与传递 在结点力矩作用下，剪力静定的杆件其剪力均为零，在结点力矩作用下，剪力静定的杆件其剪力均为零，弯弯矩的分配与传递均在零剪力条件下进行矩的分配与传递均在零剪力条件下进行，这就是无剪力分配，这就是无剪力分配法名称的来源。法名称的来源。CBC= -1CBA= -127C8kN17kN27273.53.5553.3m3.6mABC4kN8.5kN4kNAB3.555454-6.6-6.6BC12.5kN-22.5-22.65ABCAB0.02110.97890.02930.02060.9501-6.6-6.6-22.5-22.50.627.650.85-0.85 -0.60.157.05-0.1500.010.14-0.01-7.057.05-6.1527.79-21.64-23.36例：例：由结点由结点B 开始开始288m6=48m5n4kN4kN4kN6kN6kN2kN4kN6kN(3