积分第一中值定理及其推广证明

1、积分第一中值定理：如果函数f(x)在闭区间a,b上连续，g(x)在(a,b)上不变号，并且g(x)在闭区间a,b上是可积的，则在a,b上至少存在一点，使得 成立。证明如下: 由于g(x)在闭区间a,b上不变号，我们不妨假设g(x) 0,并且记f(x)在闭区间a,b上的最大值和最小值为M和m，即m f (x) M，我们将不等式两边同乘以g(x)可以推出，此时对于任意的x a,b都会有成立。对上式在闭区间a,b上进行积分，可以得到bg(x)dx。abbm g(x)dx f(x)g(x)dx Maa此时在m, M之间必存在数值，使得mM，即有成立。由于f(x)在区间a,b上是连续的，则在a,b上必定

2、存在一点，使f() 成立。此时即可得到bba f(x)g(x)dx f ( ) a g(x)dx，命题得证。2.2积分第一中值定理的推广定理：(推广的第一积分中值定理)若函数f(x)是闭区间a,b上为可积函数，g(x)在a,b上可积且不变号，那么在开区间(a,b)上至少存在一点，使得成立。推广的第一积分中值定理很重要，在这里给出两种证明方法。证法1:由于函数f(x)在闭区间a,b上是可积的，g(x)在a,b上可积且不变号，令xxF (x) f (t)g(t)dt ， G(x) g (t )dt ，很显然 F(x),G(x)在a,b aa上连续。并且bF(a) 0, F(b) f(t)g(t)d

3、t，G(a) 0,G(b)abag(t)dt，F( ) f( )g(a)，G( ) g()。由柯西中值定理即可得到F(b) F(a)G(b) G(a)F ()G(a,b)，化简，即f( )g()g()ba f(t)g(t)dt b ag(t)dt根据上式我们很容易得出ba f(t)g(t)dt f( ) ag(t)dt, (a,b)，命题得证。0。而函数f (x)在证法2：由于函数g(x)在a,b上可积且不变号，我们不妨假设g(x)闭区间a,b上可积，我们令 m inf f(x)|x a,b ，M sup f(x)|x a,b。假设 F(x)是f(x)在闭区间a,b上的一个原函数，即F(X)f

4、(x), X a,b。我们就可以得到下面等式b此时由于g(x) 0，则会有g(x)dx 0,由于存在两种可能性，那么下面我们就要分两种情况以下我们分两种情形来进行讨论:(1).如果ba g(X)dXbf (x)g(x)dx 0，那么对于(a,b)a都有恒成立。.如果ba g(X)dXba g (x)dx 可得此时至少存在一点(Xi,X2)，使得 F ( ) f()，即有我们记此时我们又分两种情形继续进行讨论:ba f(x)g(x)dx(I m g(x)dxM成立，则此时一定就存在m M，可以使得f(xi)f (X2)我们不妨假设XiX2，这其中Xi, X2a,b。因为 F(X)f(x)，X a

5、,b，则会有F (xi)f (Xi)f (X2)F (X2)。成立，从而结论成立。b(n M，因为 g (x)dxa0,此时一定存在区间ai,b, (a,b)(其中印b,)，使得 x ai,bi，恒有 g(x) 0ba g(x)dxba f(x)g(x)dx，因为 M，则有而且我们已知Mf (x)g(x)Xl0 Myibf (x)g(x)dx Mdf(x)dx 0。于是ai,bi(a,b)，使得f ()如果不存在一个ag(a,b)，使得 f()M，则在闭区间Xi,yi上必定有0。M f (x)0及g(x) 0成立，从而使得M f(x)g(x)b如果f(x)g(x)dx0，由达布定理在ai,bi上有M f(x)g(x0，这与