考查角度1坐标系与参数方程

1、考查角度1坐标系与参数方程= 出上 二门叵U聲分析m III u I' NI 1 |1分类透析一方程互化与相交弦长问题例习(河北衡水中学2018届高三数学复习题)在直角坐标系xOy中,圆c的参数方程为(©为参数),以0为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1) 求圆C的普通方程；(2) 直线I的极坐标方程是2 p sin - - =4 ,射线OM 9=一与圆C的交点为P,与直线I的交点为Q求线段PQ的长.分析I(1)利用cos2©+sin2©=消去©即可.(2)先求出圆C的极坐标方程，再由直线I和圆C的极坐标方程得 到P Q两点的极径，它们的

2、差的绝对值就是线段 PQ的长.解析(1) V圆C的参数方程为(©为参数),又P =6sin 9 ,cos2© +sin 2©=1, 二圆C的普通方程为x2+<y- 3)2=9.(2)化圆C的普通方程为极坐标方程得设P( p 1, 9 1),则由V9 1= 9 2, /. |PQ|=| p 2- p 1|= 1.设Q( p 2, 9 2),则由方法技巧I化曲线的参数方程为普通方程的方法有反解消参、平 方消参等,注意消参后变量的取值范围.化普通方程为极坐标方程，则 需利用关系式x= p cos 9 , y= p sin 9来转化.在极坐标系中求线段 的长度、图形

3、的面积等问题时，注意观察几何对象隐含的特点(如三点 共线等),从而得到解决问题的合理方法.分类透析二方程互化与参数几何意义的应用例2 (福建省三明市第一中学2018届高三适应性试题)在直角坐标系xOy中,曲线G的参数方程为_ (t为参数),在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线G的极坐标方程为p=8sin 9G2的直角坐标方程;(1) 求曲线G的普通方程和曲线(2) 若曲线G与G交于A B两点，点P的坐标为(0,9),求厂7. 分析 (1)消元法解出直线G的普通方程，利用直角坐标和极坐标的互化公式解出圆G的直角坐标方程.(2)将直线G的参数方程代入圆G的直角坐标方程，并化简整理 得关

4、于t的一元二次方程，利用|t|的几何意义求解问题.2解析(1)由曲线G的极坐标方程为P =8sin 9 ,即p 2=8 p sin 9 , 得 x2+y =8y,故曲线G的直角坐标方程为x2+(y-4)2=16.由曲线G的参数方程为-(t为参数),可得y-9=2x,即曲线G的普通方程为2x-y+9=0.(2)显然点P在直线G上，又直线G的参数方程为-(t为参数),将其代入x2+( y- 4) 2=16中并化简，得12+4 "t+ 9=0.设点A对应的参数为ti,点B对应的参数为t2,则t 1+t2 = -4, t 1t2=9,从而-一_一| | | | | | | | | | | 方

5、法技巧丨利用|t|的几何意义求解问题是解决直线上的定点与 交点问题的常规解法.注意|PA|=|t 1|,| PB|=|t 2|,要去绝对值符号，需 判断交点与定点的位置关系，上方为正，下方为负.分类透析三方程互化与最值问题例3 (安徽省六安市第一中学2018届高三适应性试题)在直角坐标系xOy中，C:(t为参数),以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线G2: P 2+10p cos 9 -6 p sin 9+33=0.(1) 求G的普通方程及G的直角坐标方程；(2) 若P Q分别为G, G上的动点，且|PQ|的最小值为2,求k的值. 分析 (1)消去参数可得G的普通方程；由互化

6、公式可得曲线G的直角坐标方程.(2)利用点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离d,利用d-r= 2即可得出.解析(1)由可得其普通方程为y=k(x-1),它表示过定点(1,0),斜率为k的直线.由P 2+10 pcos 9-6psin 9+33=0可 得其直角坐标方程为x2+y2+10x- 6y+33=0,整理得(x+5) 2+( y- 3) 2=1,它 表示圆心为(-5,3),半径为1的圆.(2)因为圆心(-5,3)到直线y=k(x-1)的距离d,所以|PQ|的最小值为"丨-1,故'-1 =2,得3k +4k=0,解得k=0或k=-.方法技巧I求解与极坐标有关的问题的主要方

7、法：(1) 直接利用极坐标系求解，可与数形结合思想配合使用；(2) 转化为直角坐标系，用直角坐标求解.使用后一种方法时，应注意若结果要求的是极坐标，还应将直角 坐标化为极坐标.分类実破©*腸羁改鋼團 1. (2017年全国I卷，文22改编)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(9为参数，9 0 2 n 曲线G的参数方程为-(t为参数).(1)求曲线C, C的普通方程；求曲线C上一点P到曲线C距离的取值范围.分析(1)直接消去参数即得普通方程.(2)求曲线C上一点P到 曲线G距离的取值范围，可借助参数方程设此点为(cos a ,3sin a),然后根据点到直线的距离公式得出表达

8、式转化为三角函数求最值问 题即可.解析(1)直接消去参数得C的普通方程为X2+_=1,直接消去参数得G的普通方程为y=-(x+2),即x+y+2=0.设 P(cos a ,3sin a ),则点P到G的距离|a 0 2 n 当 sin =1,即 a 二时，dma)=2当 sin =- 1,即 a=时,CkinR.曲线G上一点P到曲线G距离的取值范围为0,2.2. (2018年全国I卷,文22改编)在直角坐标系xOy中，曲线G的参数方程为(a为参数),以坐标原点为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线G的极坐标方程为p cos2 9二4sin 9(1)求曲线G的普通方程和曲线G的直角坐标方程；

9、 若曲线G和曲线G有三个公共点，求以这三个点为顶点的三角形 的面积.(a为参数),消去参数a,得解析I(1)由曲线G: 曲线G的普通方程为x2+(y-a)2=16.由曲线 G: P cos2 6=4sin 9 ,得 p 2cos2 9=4 p sin 9 ,化为直角 坐标方程为x2=4y.(2)因为曲线G和曲线G都是关于y轴对称的图形，它们有三个公共点,所以原点为其中的一个公共点.将原点qo,o)代入 x2+(y-a)2=16,得a=4或a=-4(舍去),此时，曲线G的方程为 x2+(y-4)2=16,故曲线G和曲线G的三个公共点坐标为(0,0),(4,4),(-4,4),易得以这三个点为顶点

10、的三角形的面积为 -X4X 4-(-4) =16.3. （2018年全国n卷,文22改编）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（0为参数）.（1）求曲线C的普通方程； 经过点P -（直角坐标系xOy中的点）作直线l交曲线C于A B两点，若P恰好为线段AB的中点，求直线的方程.（1）由曲线C的参数方程,得所以 cos2 9+sin 2 B 二- +y2=1,所以曲线C的普通方程为一+y2=1.（2）设直线l的倾斜角为0 1,则直线的参数方程为（t为参数）,0 1)t- 2=0,t 1+t 2=.由题意知t 1=-t 2,将其代入曲线C的直角坐标方程，得（cos2 0 1+4sin 2 0 J

11、t 2+（2cos 0 1+4si n所以2cos 0 1+4sin 0 1=0,得直线 l 的斜率 k=-,所以所以直线l的方程为x+2y-2=0. 分类突破-）已知直线I的1. （福建省两大名校2018届高三下学期第一次模拟题参数方程为-（t为参数）,在以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为P2=4 P cos0+2p sin 0-4.（1）求直线l的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程； 若直线l与曲线C交于A B两点，求|OA| |OB|的值.-（t为参数）,解析 （1） V直线l的参数方程为I二直线I的普通方程为y= 一 + 一(X-1),即y= X,二直

12、线I的极坐标方程为9=.T曲线C的极坐标方程为p 2=4 p cos 9+2 p sin 9 -4,2 2 2 2X +y =4x+2y-4,即(x-2) +(y-) =3,二曲线C的直角坐标方程为(x-2)2+(y- 一)2=3.(2)将直线I : 9二-代入曲线C的极坐标方程：P 2=4 P cos9+2 P sin 9-4,得 p -5p +4=0.设直线I与曲线C的两个交点A B的极坐标分别为A p F, 9 1), B( p 2, 9 2),p 1 p 2=4,|OA| |OB|=| p i| | p 2|=| p 1 p 2|=4.2. (山东、湖北部分重点中学2018届高三高考冲

13、刺模拟题)在直角坐标系xOy中,直线I的参数方程为(t为参数，a为直线的倾斜角).以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴， 建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是P =4cos 9(1)当a二45°时,求直线I的普通方程与曲线C的直角坐标方程；已知点C的直角坐标为q2,0),直线I与曲线C交于A B两点，当 ABCS积最大时，求直线I的普通方程.解析(1)当a二45°时，直线I的参数方程为消去t得直线I的普通方程为x-y- 5=0.曲线C的极坐标方程是p =4cos 9 ,两边乘以p为p 2=4 p cos 9 , 可得 x2+y2-4x=0,所以曲线C的直角坐标方程

14、为(x- 2) 2+y2=4.(2)因为直线I与曲线C交于A B两点，由参数方程设直线I的普 通方程为y=k( x-5).曲线C是以Q2,0)为圆心,2为半径的圆，$ ab=|CA|CB| sin / ACB=sin / ACB.当/ ACB=0°时 ABC勺面积最大，此时点C到直线I的距离为,所以"=丄,解得k=±所以直线I的普通方程为y=±(X-5).3. (江西省抚州市临川区一中2018届模拟)以坐标原点0为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为 p二2(1)写出曲线C的参数方程； 在曲线C上任取一点P,过点P分别作x轴,y

15、轴的垂线，垂足分别 为A B求矩形OAPB勺面积的最大值.解析 I (1)由 p=2-得 p 2=2( p sin 9 + p cos9+1),所以 x2+y2=2x+2y+2,即(X-1)2+( y-1)2=4,故曲线C的参数方程为(©为参数).(2)由(1)可设点P的坐标为(1 +2COS © ,1 +2sin© ), © 0 2 n 则矩形 OAPB勺面积 S=|(1 +2cos © )(1 +2sin © ) |=| 1+2sin ©+2cos ©+4sin © cos © |令 t=s

16、in ©+ cos ©= sin -,则 t - 2,t =1+2sin © cos © ,所以 S=|1+2t+2t2-2|=-,故当 t=时，SmaX=3+24. (河北省石家庄二中2018届高三三模试题)在直角坐标系xOy中,曲线G过点P(a,1),其参数方程为-(t为参数,a R .以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线G的极坐标 方程为 P cos2 9+3COS 9 - p=0.(1)求曲线C的普通方程和曲线C的直角坐标方程； 已知曲线C和曲线C交于A B两点，且|PA|=3|PB|,求实数a的值.解析(1)由C的参数方程消参得其普通方程为x-y-a+