2.1-三重积分的计算(1)ppt课件

1、9.3 9.3 三重积分的计算三重积分的计算9.39.31 1直角坐标系中三重积分的计算直角坐标系中三重积分的计算一、三重积分的定义一、三重积分的定义 设设),(zyxf是空间有界闭区域是空间有界闭区域上上 的有界函数，的有界函数， 将将 任意分成任意分成个个 n小闭区域小闭区域nvvv , 2, 1，其中，其中 iv 表示第表示第 个个 i小闭区域，也表示它的体积。小闭区域，也表示它的体积。iiiiv ) , ,(，作，作 和式和式iiiinivf ) , ,(1， max1的直径的直径记记iniVd ，若极，若极 限限iiiinidvf ) , ,(lim10存存在在，且且极极限限值值与与

2、的的分分法法 、 ) , ,(iii 的取法无关，则称的取法无关，则称),(zyxf上上在在 可积，可积， 并称此极限值为并称此极限值为),(zyxf上上在在 的三重积分，记作的三重积分，记作 dvzyxf),(， 即即 niiiiidvfdvzyxf10,lim,(）（）， 其其中中dv称称为为体体积积元元素素。 , 划划分分用用平平行行于于坐坐标标面面的的平平面面在在直直角角坐坐标标系系中中，如如果果,lkjizyxv 则则.积元素积元素叫做直角坐标系中的体叫做直角坐标系中的体其中其中dxdydz直角坐标系下的体积元素直角坐标系下的体积元素 2的的体体积积 dxdydz （时时 1),(

3、zyxf） 。 注注: 1 dxdydzzyxfdvzyxf ),( ),(， iniiiidvfdvzyxfm 10),(lim),(。 iiiinivfm ) , ,( 1 物体的质量物体的质量设设平平行行于于轴轴 z且且穿穿过过闭闭区区 域域的的直直线线与与 的的边边界界曲曲面面 S 的的交交点点不不多多于于两两个个， xyD二、三重积分的计算二、三重积分的计算（一坐标面投影法细棒法）（一坐标面投影法细棒法）oxyz ),(1yxzz ),(2yxzz 2S1S. , xyDxOy得得投投影影区区域域投投影影平平面面向向将将积积分分区区域域),( , ),(),(),(21xyDyxyx

4、zzyxzzyx ).(),(),(21xyDCyxzyxz 2P1P),(yx 过过xyD内任一点内任一点)(yx，作平行于作平行于 z 轴轴的直线，此直线的直线，此直线 与与21 SS 和和的交点的立坐标为的交点的立坐标为)(1yxz，和和)(2yxz，。 ,),() ,(),(2),(1 yxzyxzdzzyxfyxF作定积分作定积分先固定先固定, ),( xyDyx 然后将然后将) ,(yxF在在xyD上作二重积分上作二重积分 ddzzyxfdyxFyxzyxzDDxyxy),() ,(),(),(21， ddzzyxfdvzyxfyxzyxzDxy),() , ,(),(),(21（

5、先一后二法先一后二法 ） 。） 。 若若xyD可用不等式可用不等式)()(21xyyxy ，bxa 表示，则表示，则 ),(),()()(2121)()(yxzyxzxyxybadzzyxfdydxdvzyxf，上上式式是是先先对对 z，次次对对 y，最最后后对对 x 的的三三次次积积分分。 则则得得上上连连续续时时在在当当函函数数 ,),( zyxf注注：1若若平平行行于于) ( 轴轴或或轴轴yx的的直直线线与与 S 的的交交点点不不多多于于 两两个个，则则同同样样可可把把投投影影到到yoz面面（xoz或或面面）上上， 得得到到先先对对 x（或或 y）的的积积分分。 2若若平平行行于于坐坐标

6、标轴轴的的直直线线与与 S 的的交交点点多多于于两两个个，则则可可 把把分分 成成几几块块处处理理。 设设 21 ),(),( ),(czczDyxzyx ， 其其中中)(zD是是用用平平面面 z=z 截截闭闭区区域域 所所得得的的平平面面闭闭区区域域， （二坐标轴投影法（二坐标轴投影法 (截面法截面法)., , 21ccz得到投影区间得到投影区间轴投影轴投影向向将空间区域将空间区域 , )( , 21作二重积分作二重积分上上在截面区域在截面区域固定固定zDccz xyz1c2c )(zDoz,),()()( zDdxdyzyxfz（先二后一法（先二后一法) .),(),()(21 zDccd

7、xdyzyxfdzdvzyxf上上作作定定积积分分在在再再将将, )( 21ccz ,),()(2121)( cczDccdzdxdyzyxfdzz则则得得上上连连续续时时在在当当函函数数 ,),( zyxfxyz1c2c )(zDoz例例 1把把三三重重积积分分 dxdydzzyxfI),(化化为为各各种种次次序序 的的三三次次积积分分，其其中中是是由由平平面面1 z 及及锥锥面面22yxz 所所围围成成的的立立体体。 xyD：122 yx。 111112222),(xxyxdzzyxfdydxI， 或或 111112222),(yyyxdzzyxfdxdyI； 解解：先先对对积积分分 z

8、xyzo111 z22yxz xyo1 121 xy 21 xy xyDyzo1 z22yxz xyzo1zy zy yzD由由22yxz 解解得得22yzx ， 先先对对积积分分 x yzD：10 z，zyz 。 102222),(zzyzyzdxzyxfdydzI， 0112222),(yyzyzdxzyxfdzdyI或或 1012222),(yyzyzdxzyxfdzdy 102222),(zzxzxzdyzyxfdxdzI， 由由22yxz 解解得得22xzy ， 先先对对积积分分 y xzD：10 z，zxz 。 0112222),(xxzxzdyzyxfdzdxI或或 101222

9、2),(xxzxzdyzyxfdzdxxyzo1 z22yxz xzo1zx zx yzD 例例 2计计算算三三重重积积分分 xdxdydz，其其中中为为 三三个个坐坐标标 平平面面及及平平面面12 zyx所所围围成成的的闭闭区区域域。 解解： 在在xoy面面上上的的投投影影区区域域为为 xyD：.210 , 10 xyx yxxxdzdydxxdxdydz21211000 481)2(41)21(103221100 dxxxxdyyxxdxx。 xyzo1211例例 3计计算算三三重重积积分分 dxdydzz2， 其其中中是是由由椭椭球球面面1222222 czbyax 所所围围成成的的空空

10、间间闭闭区区域域。 xyzozD分分析析：被被积积函函数数中中缺缺变变量量yx 和和，用用平平行行于于xoy平平面面 去去截截，其其截截面面是是椭椭圆圆。故故用用“先先二二后后一一法法” 。 解解： ,1),(222222czcczbyaxzyx ， ,)(22 zDccdxdydzzdxdydzz)1(1 1 222222)(czabczbczadxdyzD 其其中中 D(z)为为平平面面上上的的zz 椭椭圆圆盘盘：2222221czbyax ， 故故32222154)1(abcdzczzabdxdydzzcc 。 椭圆的长半轴椭圆的长半轴椭圆的短半轴椭圆的短半轴课堂练习题：课堂练习题：（1

11、 1）求求 yzdxdydz，由由222yxRz ， Ryyx 22及及0 z所所围围成成。 xyzoRR解：解：在在xoy面上的投影区域为面上的投影区域为xyD：Ryyx 22， xyDyxRzdzydxdyyzdxdydz2220 xyDdxdyyxRy)(21222 sin02220sin)(2RdRd dRRsin)sin5sin3(550352.32)2214365512214331(55RR 解解：两两曲曲面面的的交交线线为为 azayxyxazazyx22222222， （2）为为由由曲曲面面azyx 22与与)0(222 ayxaz 所所围围成成的的封封闭闭区区域域，求求的的体

12、体积积 V。 )(2)(021zDaazDadxdydzdxdydzdxdydzV， xyzoa2a)(2zD)(1zD当当az 0，区区域域)(1zD为为azyx 22， 面面积积为为az ； 当当aza2 ，区区域域)(2zD为为222)2(zayx ， 面面积积为为2)2(za ， 故故322065)2(adzzaazdzVaaa 。 三三、利利用用对对称称性性简简化化三三重重积积分分的的计计算算 1 1设设上连续上连续在有界闭区域在有界闭区域 ),(zyxf。若若面面关于关于yoz ),(面面或或面面或或xozxoy对对称称，被被积积函函数数),(zyxf关关于于变变量量 x（或或 z

13、，或或 y）是是奇奇函函数数，则则0 ),( dxdydzzyxf； 若若),(zyxf关关于于变变量量 x（或或 z，或或 y）是是偶偶函函数数，则则 三三重重积积分分等等于于其其一一半半对对称称区区域域上上重重积积分分的的两两倍倍。 2 2设设上上连连续续在在有有界界闭闭区区域域 ),(zyxf，且，且关关于于原原点点 对称。对称。若若),(zyxf关于变量关于变量 x，y，z 为奇函数，即为奇函数，即 ),(),(zyxfzyxf ，则，则0 ),( dxdydzzyxf； 若若),(zyxf关于变量关于变量 x，y，z 为偶函数，即为偶函数，即 ),(),(zyxfzyxf ，则三重积

14、分等于其一半对称，则三重积分等于其一半对称 区域上重积分的两倍。区域上重积分的两倍。 3 3若若将将 x 换换为为 y，y 换换为为 z，z 换换为为 x，积积分分区区域域不不变变， 则则将将被被积积函函数数中中的的变变量量作作同同样样变变换换后后所所获获得得的的积积分分 的的值值，与与原原积积分分的的值值相相同同。 (轮换对称性轮换对称性)C解解：积积分分区区域域关关于于原原点点 对对称称， 且且被被积积函函数数关关于于变变量量 x，y，z 为为奇奇函函数数， 01)1ln( 222222 dvzyxzyxz。 解：解：dxdydzzdxdydzxI22 ， 由由轮轮换换对对称称性性知知：

15、dxdydzzdxdydzydxdydzx222 ， 2221112222 zyxdxdydzzdxdydzzI.158)(4)1(210421122 dzzzdzzz设设),(zyxM为空间内一点，为空间内一点，面面在在点点 xoyM上的投影上的投影 P 的极坐标为的极坐标为 ,，则称三元有序数组，则称三元有序数组) , ,(z 是点是点 M 的柱面坐标，规定的柱面坐标，规定z , , 的取值范围为：的取值范围为： 0， 20， z。 9 93 32 2 柱面坐标系下三重积分的计算柱面坐标系下三重积分的计算xyzo),(zyxM),( P 显显然然： sincoszzyx。 三组坐标面为：三

16、组坐标面为： 常常数数 ，即以，即以 z 轴轴为轴的圆柱面；为轴的圆柱面； 常常数数 ，即过，即过 z 轴轴的半平面；的半平面； 常数常数 z，即与，即与xoy面平行的平面。面平行的平面。 xyzO体积元素体积元素 d xyzodz d d如图，柱面坐标系如图，柱面坐标系中的体积元素为中的体积元素为,dzdddv dzddzfdxdydzzyxf ) ,sin,cos(),(. 与与zyx322 所所围围成成的的区区域域。 解解：两两曲曲面面的的交交线线为为 3z42222yxyxz 1322zyx， 224yxz zxyozyx322 1332 在在xoy平平面面上上的的投投影影区区域域为为

17、3,(22 yxyxDxy， 在在柱柱面面坐坐标标下下43 ,30 ,20),(22 zz. . 积积分分区区域域关关于于xoz平平面面、yoz平平面面对对称称，而而被被 积积函函数数yx, 分分别别关关于于, x变变量量变变量量为为 y奇奇函函数数， 0 ydvxdv。 zdvydvxdvdvzyx )(.413 22433020 zdzddzdv在在xoy平平面面上上的的投投影影区区域域为为 16),(22 yxyxDxy， 例例 8 8一一形形体体0 , 4 zzy是是由由平平面面和和圆圆柱柱面面 1622 yx所所围围成成，已已知知其其上上任任一一点点的的密密度度与与该该 点点到到轴轴

18、的的距距离离 z成成正正比比，求求其其 m质质量量。 dxdydzyxkm 22 。 xyzo1622 yx4 zy44解：密度函数解：密度函数)0(),(22 kyxkzyx dxdydzyxkm 22 sin404020dzddk 403220)sin4(ddk.3512)sin643256(20 kdk 在在柱柱面面坐坐标标下下 sin40 , 40 ,20),( zz， . :轴正向的夹角轴正向的夹角与与 xOP 9 93 33 3 球面坐标系下三重积分的计算球面坐标系下三重积分的计算令令垂垂足足为为平平面面引引垂垂线线向向从从点点为为空空间间内内一一点点设设 ., ,),( Pxoy

19、MzyxM,:间间的的距距离离与与点点原原点点MOr, :轴正向所夹的角轴正向所夹的角与与zOM 则则称称三三元元有有序序数数组组) , ,( r是是点点M的的球球面面坐坐标标. . xyzO )0 ,(yxP r),(zyxM.20 ,0,0 r规定规定三组坐标面为三组坐标面为.,.,.,半平面半平面常数常数圆锥面圆锥面常数常数球面球面常数常数 r cos sinsinsin cossincosrzrOPyrOPxxyzO )0 ,(yxP r),(zyxM ddrdrrrrfsin)cos,sinsin,cossin(2 dxdydzzyxf),( 体积元素体积元素例例 9 9把把直直角角

20、坐坐标标系系下下的的三三重重积积分分 dxdydzzyxfI),( 化化为为球球面面坐坐标标系系下下的的三三重重积积分分，是是其其中中 ： （1 1）2222Rzyx ； （2 2）2222Rzyx ，0 , 0 , 0 zyx； （3 3）41222 zyx； （4 4）4222 zyx，22yxz ； （5 5）)0(3222 zzyx与与2 z所围的区域；所围的区域； （6 6）zzyx2222 。 例例 1 10 0计计算算三三重重积积分分 dxdydzzyx)( 222，是其中 由由圆圆锥锥面面222zyx 与与上上半半球球面面222yxRz 所所围围 成成的的区区域域。 222yxRz zxyo222yxz dxdydzzyx)(222 404200sinRdrrdd 4022200sinRdrrrdd.5225)221(25