确定带电粒子在磁场中运动轨迹圆心的方法

1、寻找确定轨迹圆心的方法天门市教育科学研究院李军平(431700)带电粒子垂直进入匀强磁场后，在洛仑兹力的作用下，做匀速圆周运动，这类问题综合性较强， 是高中物理的一个难点，也是高考重点关注的对象。解这类问题既要用到物理中的洛仑兹力、圆周 运动的规律，又要用到数学中的平面几何知识。找圆心、画轨迹、定半径是解这类问题的三大要素， 其中关键是确定圆运动的圆心，只有找到圆心的位置，才能正确运用物理规律和数学知识解题。下面通过几个实例寻找确定圆心的方法.虽然不能穷举而万法归一，但力求通过这几类方法降 低试题的难度。一、利用两个速度的垂线确定圆心原理由于线速度方向与向心力的方向互相垂直，洛仑兹力(向心力)

2、沿半径指向圆心，知道两个速度的方向，画出粒子轨迹上两个对应的洛仑兹力，其延长线的交点即为圆心。例1如图所示，一个质量为 m、电荷量为q的带电粒子从 与x正方向成60°的方向射入第一象限内的匀强磁场中，并恰好垂直于 匀强磁场的磁感应强度 B和射出点的坐标？粒子在磁场中运动的时间？x轴上的P(a, 0)点以速度U，沿 y轴射出第一象限.求：OxO'即为粒子做圆运动的圆心。Pa 2a解析：分别由射入、射出点作两条与速度垂直的线段，其交点由图可以看出，轨道半径为：r =- LCOS30® V3粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛仑兹力提供向心力:Bqu =m解得：B =如2aq由

3、几何关系可知：OO' = ata n30° = -aJ3+O O 丄 73a出射点到O的距离为：y=r出射点的坐标为(0,3a)粒子在磁场中运动的周期为粒子在磁场中运动的时间为T =qB120%=-T360°u29U二、利用两条弦的垂直平分线确定圆心原理运用垂径定理的推论：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧。所以， 两条弦的垂直平分线的交点即是圆心。例2如图所示，有垂直坐标平面的范围足够大的匀强磁场，磁感应强度为B,方向垂直纸面向里.一带正电荷量为 q的粒子，质量为 m,从O点以某一初速度垂直射入磁场，其轨迹与 轴的交点A、C到O点的距离分别为a、b试求

4、：初速度方向与 x轴夹角；初速度的大小.0A、0C是圆周上的001为半径画圆.解析：粒子垂直射入磁场，在xOy平面内做匀速圆周运动，如图所示，两条弦.作两条弦的垂直平分线，交点01即为圆轨迹的圆心，以01为圆心、设初速度方向与 x轴的夹角为0,由几何关系可知：tan =ail=ab/l b 0 =arcta nab由图中几何关系可知粒子的轨道半径为：R=J（|）2 +（2）2t)2粒子在磁场中运动有:qtB =m R2m三、利用两洛仑兹力的延长线确定圆心原理洛仑兹力作为向心力，是一定指向圆心的，两力延长线的交点即为圆心。这本来是一 个最基本的方法，但同学们却忘记了。例3如图所示，在平行于纸面的

5、平面内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B.在匀强磁场中做匀速圆周运动的一个电子，动量为P,电量为e,在A、C点，所受洛仑兹力的方向如图示，已知AC=d .求电子从A到C时发生的偏转角.f * ： ： ： WVC*解析：如图所示，A、C为圆周上的两点，沿洛仑兹力的方向作延长线，交点 圆心.以0为圆心作电子从 A到C的运动轨迹.过A、C画出速度的方向 洛仑兹力的方向垂直），则图中的9角为偏转角.O为圆周轨迹的设粒子的质量为 m,速度为V；）,则轨迹半径:R =凹eB_P"eB由几何关系有：sin § = d /22 R解得：0 =2 arcsin deB2P四、利用速度的

6、垂线与弦的中垂线的交点确定圆心原理带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时，（与如果已知轨迹上的两点的位置和其中一点的速度方向，可用联结这两点的弦的中垂线与一条半径的交点确定圆心的位置.例4电子自静止开始经 M、N板间（两板间的电压为 U）的电场加速后从 A点垂直于磁场边 界射入宽度为d的匀强磁场中，电子离开磁场时的位置P偏离入射方向的距离为 L,如图所示.求:正确画出电子由静止开始直至离开匀强磁场时的轨迹图；（用尺和圆规规范作图）匀强磁场的磁感应强度.（已知电子的质量为 m,电荷量为e）:XA；XXXXXXXX!X Q1lxiXXXX ； IXXXXX； 1仪1XXX纶1B*XXX ； P1!

7、X1XXXX；lxXXX1X 1dN解析：连结 AP, AP是电子圆运动轨迹上的一条弦，作弦AP的中垂线，由于电子通过 A点时的速度方向与磁场左边界垂直，因此过A点的半径与磁场的左边界重合.AP弦的中垂线 OC与磁场左边界的交点 O即是电子圆运动的圆心，以 O为圆心、以.,OA为半径画圆弧，如图所示.设电子在 M、 N两板间经电场加速后获得的速度为 由动能定理得：eU Jmu22电子进入磁场后做匀速圆周运动，设其半径为柑2 euB =m r由几何关系得：r,则:NIk X X X x!IIA；X K X X xjQj X X X、! X玄X 皆乂 i PIJ干IX； |lr2 =（r 一L）2

8、 +d22L2mU （L2+d2）Y e五、利用速度的垂线与角的平分线的交点确定圆心原理当带电粒子通过圆形磁场区后又通过无场区，如果只知道射入和射出时的速度的方向 和射入时的位置，而不知道射出点的位置，应当利用角的平分线和半径的交点确定圆心.例5如图所示，一质量为 m、带电量为+ q的粒子以速度t）0从0点沿y轴正方向射入磁感 b处穿过x联立求解得:应强度为B的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外，粒子飞出磁场区域后，从点 轴，速度方向与x轴正方向的夹角为 匀强电场中，并通过了 b点正下方的b点与0点的距离；圆形匀强磁场区域的最小半径；30°同时进入场强为 E、方向与x轴负方向成60°角斜向下的 c点，粒子重力不计.试求：所以，0b的距离：x0b=3R=亟Bq为直径的圆，如图r,则：设 be间距离为S,则有:解析：作出b点速度方向的反向延长线，交y轴于02点；再作/ b020的角平分线，交x轴于0i点，0i即为圆运动轨道的圆心，00i即为圆运动轨道的半径.画出圆运动的轨迹如图红线所示，交b0 2于a点，设轨道半径为 R,根据牛顿第二定律有：2Bquo