正弦定理和余弦定理

1、高三第一轮复习 4.6 正弦定理和余弦定理教学设计本设计在另一班级（基础较弱）讲授同样的内容的基础上，根据学生的实际情况重新整合组织的.之前授课该内容的班级，反馈的主要问题是：1. 学生在合理运用正、余弦定理方面比较机械，基本上停留在套用公式的层面，比如在处理解三角形的问题时，如果出现一边及该边所对的角的条件时，绝大部分同学就选择正弦定理，好像没有意识到也可以用余弦定理来处理，而不能根据实际情况具体问题具体分析，灵活选择公式； 2. 对于“两边及一边的对角”问题，其中关于解的个数问题，存在较大疑惑或者根本没意识到这是个问题，解到什么就是什么，没有意识到是否符合题意要舍掉等问题；3. 在应用正、

2、余弦定理及面积公式解决综合问题时分析问题和解决问题的能力明显不足，计算能力不强，计算技巧经验明显不足等问题.、内容和内容解析考纲对解三角形的要求主要有两个： 1. 掌握正、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；2.能够运用正、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 解三角形是全国卷高考考查的重点和热点，大部分考题属于中低档题 . 重点考查应用正、余弦定理，面积公式，三角形内角和定理来探求三角形中的边与角的值，三角形的形状的判断，以及与面积，周长等相关的最值问题. 本节课是高三第一轮复习课，也是解三角形的第一节复习课，不求面面俱到，力求解决一两个重难点，在综合性与难度

3、方面要适当控制，不宜过深过难过广在内容选择方面，通过知识梳理复习了重要知识，归纳了解三角形的四种类型，并指出了相应定理通常解决的问题，通过的公式的变式引出了“角化边” 、“变化角”的解题思想，并应用它们解释了三角形的射影定理 . 通过一讲一练重点突破“两边及一边的对角问题”和“正、余弦定理与面积公式的综合问题”二、目标和目标分析解三角形重点考查应用正、余弦定理，面积公式解决问题的能力，特别是考查学生对公式的合理运用和化繁为简的运算能力，同时这一部分知识点也是学习向量甚至立体几何相关内容的一个重要工具，在高考命题中占有重要的位置因此，本节课的教学目标如下：一）知识目标：1）能够熟练利用正弦、余弦

4、定理解三角形，进一步运用正、余弦定理与三角形内角和定理及面积公式解三角形。2）学生学会分析问题，合理运用公式、定理解决三角形综合问题。二）能力目标：通过一题多解，培养学生的发散思维能力；通过启发诱导，培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力；通过讲练结合，培养学生在数形结合、方程组的思想指导下处理解三角形问题的综合能力；通过练习训练，培养学生化繁为简的运算能力，特别是整体代换的数学技巧三）情感目标：通过典例和变式跟踪训练，让学体会正、余弦定理，面积公式的工具性作用，通过质疑，激发学生7学习数学的兴趣，并体会数学的理性精神，在教学过程中培养学生的探索精神。三、教学问题诊断分析“两边及一

5、边的对角问题”的解的个数问题.学生感觉困难的原因是没有真正理解“三角形是确定” 的内涵，其主要原因可能在学习三角形全等内容时，只是停留在做题、证明的层面，没有很好理解那些判 定三角形全等的条件，为什么是这些条件？可能没有探索这些条件的过程来，可能是老师强加给学生的 为什么这些条件就够了，那些条件就不够？等等关于合理运用公式方面出现困难 .可能是在学习这部分的新课时，“迷失”在众多的公式当中，无力自 拔，而没有跳出来思索、体会公式的“合理性”处理综合问题出现困难，主要是数形结合的意识不强，方程（组）的思想的指导性体会不深刻，并在 一些处理技巧方面经验不足 .另外，“通性通法”束缚了学生的思维 .

6、我们应该掌握“通性通法”，但不拘泥，我们可以在在掌握好“通性通法”的基于“通性通法”，毕竟具体的内容有其特殊性，对于“通性通法” 础上，“会而不用”.四、教学重难点和教学方法（一）教学重点，难点重点：合理选择正弦、余弦定理及相关解三角形，并且能够有效地结合三角形内角和定理及面积公式 解三角形。难点：“两边及一边的对角”问题中三角形的解的个数问题，合理运用公式和化繁为简的计算技巧的 领会与运用（二）教学方法教法：启发式教学、讲练结合、精讲多练、一题多解学法：练习法教学用具：多媒体五、教学过程（一）.知识梳理1正弦定理sin A=2R.（其中R为也ABC外接圆半径）变式：a =sin A =,si

7、nB =,sinC =a:b:c =2 余弦定理c22a _变式：cos A =cosB =;cosC =3 三角形常用面积公式1 一S= aha（ha表示a边上的高）.21(2) S = _absin C =2设计意图：巩固知识，形成知识网络，归纳题目类型、解题思想（二）.展示本节课的教学目标题型一：利用正、余弦定理解三角形题型二：正、余弦定理及三角形面积公式的综合应用（三）.讲练结合题型一：利用正、余弦定理解三角形例1 P65考点自测第1题(2016.天津)在 ABC中,AB= J13 ,BC=3,C=120 ° ,则 AC=().A.1B.2C.3D.4剖析：本题是2016年天

8、津的高考题，属于解三角形“两边及一边的对角” 的类型的问题.通常出现“一边及一边的对角”的条件，是利用正弦定理来解题，本题按照这种想法来做，并不容易设计意图：教师通过该例题的前两种解法，很好的回顾了正弦定理、余弦定理在解三角形题型中的运用.课前预计学生会采用正弦定理来处理，这样的话，计算量会比较大，比较“曲折”才能解决问题，本意是通过“冲突”，引起同学们对合理运用正余弦定理的重视.通过两种解法的对比，希望同学们处理问题灵活变通，不要一概而论，灵活变通，具体问题具体分析.解法三，是从考试的角度来分析的，一方面,在处理三角形问题时，把握该三角形的形状是很重要的，是锐角三角形，还是直角、钝角三角形？

9、是等腰三角形？等边三角形？直角三角形？等腰直角三角形？还是其它？显然,把握这些能帮助我们画图， 解题;另一方面，对于选择题，代入验证，逐项排除是一种常用的技巧，像2016年高考全国卷新课标I理科数学第12题，该题只能代入选项验证，别无它法，算是为以后解决该题做一些铺垫吧。事实上，本题还有解法四，化其它三角形为直角三角形，作一些辅助线，解直角三角形，也是很快解决的，这是留给学生课外研究的“空间”变式：在 MBC中，角A,B,C所对的边分别为a, b ,c,若A = - ,a=1,b = J3,解这个三角形.6剖析：利用正弦定理求得sin B，再利用三角形的“大边对大角”原则快速求解。2设计意图：

10、对于已知三角形的边角关系利用正、余弦定理解三角形的基本题型，难点是已知三角形的两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角，答案可能是无解，一解或者两解，需要学生准确判断。本题非常意外，虽然我预计会有一部分人只做出一种情况，但真没想到，竟然只有不到5个同学做出两解的正确答案，真让人大跌眼镜！ 一方面，这样的录课的确让同学们很紧张，之前处理这样的问题时，同学们好像都能想得到有两种情况（难道是我代替学生思考太多，作了太多提示和铺垫？）；另一方面，学生对三角形解的个数问题好像关注得不够，没有觉得是个重要的问题，这次课吃点“亏”，以后应该会重视一点吧（由此可以看出，大部分学生还是没有注意“sinT在三角形

11、中，B冷或宁这个易错的地方）！通过例1和变式，我希望大家彻底搞清楚解三角形中“两边及一边的对角” 类型问题，突破本节课的一个难点.关于解三角形中“两边及一边的对角” 类型问题，三角形的解的个数问题，我们可以从三个角度来分析：第一，利用正余弦函数值的有界性，大角对大边，大边对大角，三角形三内角和为兀，三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边综合来判断；学生还是感觉有些“飘飘然”；接着还有第二种方法， 有部分同学很快想到了通过三角形的形状来判断,例1是钝角三角形，当然只有一解,变式的三角形的形状不能确定，有两解也是正常的，但学生应该海没有踏实；第三，利用几何直观，用作图的方法来处理，心

12、才算是踏实下来了题型二：正、余弦定理及三角形面积公式的综合应用例2.(2016.全国 1)17ABC的内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,已知2cosC(acosB +bcosA)=c.（1）求C；若C二机止轨砸枳为弓求囲C的帐剖析：全国卷理科数学高考命题常常命解三角形型的解答题，通常第一问是求角，第二问通常是求与周长、面积、外接圆和面积等有关的问题，或者最值问题（最值问题在选择填空题里考察几率可能更多大一些）.求角问题，通常有两个步骤：1.求该角的某个三角函数值；2.利用角的范围来确定角，绝大部分同学应该是清楚的，前面的复习多次强调过了，但这里还是有一些易错易漏点，比如在等式的两端约去

13、相同的因子时，要先考虑，该公因式是否一定不为0,不是，则要分类讨论，不然就容易漏解了.由于在知识梳理的时候，强调了不少资料称之为三角形的射影定理c = bcosA +acosB，所以学生有人能注意到了,“自然”实现了角化边.对于求周长，既可以考虑将边长都搞清楚，也可以用整体的思想来处理，事实上, 学生已经有一些这样的经验变式练习：在 MBC中，角A, B , C的对边分别为a , b,c,且满足（2b c）cos A acosC =0 .（1）求角A的大小; 若a =J3,S広BC二笑3，试判断也ABC的形状，并说明理由.4并注意答题的规范性和体会怎样表达能更好地设计意图：该题进一步使学生体会

14、解三角形的综合的问题, 进行数学交流（四）课堂小结（一）题型归类考点一：利用正弦、余弦定理解三角形 考点二：正、余弦定理及三角形面积公式的综合应用（二）方法小结（1）（1）解决的问题正弦定理已知两角和任一边，求另一角和其他两条边（只有一解）已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角（难点：该三角形具有不唯一性,通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断）余弦定理已知三边，求各角（只有一解）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角（只有一解）（2）合理运用正、余弦定理总结如下:正弦定理、余弦定理都是反映了三角形的边角关系，这两个定理都可以解决问题;利用正弦定理一般来说，题干信息中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理；若式子中含有角的余弦或边的二次式，则考虑用余弦定理；以上特征都有，或特征不明显时，则考虑两个定理都要（三）方法小结（2）在处理三角形的有关问题时，我们经常用数形结合的思想、方程组的思想、整体的思想来指导我们解题。（五）课后作业课时作业第287288页正弦定理和余弦定理必做题