概率论与数理统计考试题及答案

1、、填空题(每小题3分，共30分)1、“事件A, B, C中至少有一个不发生”这事件可以表示2、设 P(A) =0.7, P(aB) = 0.3，则 P(AU B)=3、袋中有6个白球,5个红球，从中任取3个，恰好抽到2个红球的概率4、设随机变量aX 的分布律为 P(X =k) = , (k =1,2,川,8),则 3 =85、设随机变量X在(2,8)内服从均匀分布,则P( -2 <X <4)=6、设随机变量X的分布律为X-2-10Pk1815彳5一5_111 5则丫 =X9、设总体X b(10, p),X1,X2，川，Xn是来自总体X的样本，则参数P的矩估计量 110、设X1,X2

2、,X3是来自总体X的样本，怦=X1 +- X2 +冰3是E(X) =4的无偏 3估计，则、(本题12分)甲乙两家企业生产同一种产品.甲企业生产的60件产品中有12 件是次品，乙企业生产的50件产品中有10件次品.两家企业生产的产品混合 在一起存放，现从中任取1件进行检验.求：(1) 求取出的产品为次品的概率；(2) 若取出的一件产品为次品，问这件产品是乙企业生产的概率.的分布律是7、设随机变量 X服从参数为A的泊松分布,且已知E(X -1)(X-2) =1,则8、设X1,X2，川,X9是来自正态总体N(-2,9)的样本,X是样本均植，则X服从的分布是三、（本题12分）设随机变量X的概率密度为k

3、x,xf(x) =<2-二,I。23兰x<4 确定常数k;求X的分布函数F（x）;其它亠，71(3)求 P 21 <X < 、.L2J四、（本题12 分）设二维随机向量（X,Y）的联合分布律为Y X01210.10.20.12a0.10.2试求：a的值；X与丫的边缘分布律；X与丫是否独立？为什么？五、（本题12分）设随机变量X的概率密度为X, 0 兰 XC1,f (x)i2x,1 <x<2,求 E（X ）,D（X ）.0,其他.六、（本题12分）设离散型随机变量X的分布律为exeP（X=x）=, x=0,1,2，川,0<e <+x!其中9为未知参

4、数，X1,X2，,Xn为一组样本观察值，求0的极大似然估计值.七、（本题10分）某种零件的尺寸方差为CT2 =1.21,对一批这类零件检查6件得尺 寸数据（毫米）：32.56, 29.66, 31.64, 30.00, 21.87, 31.03设零件尺寸服从正态分布，问这批零件的平均尺寸能否认为是32.50毫米0 =0.05）?t0.025 (5 ) = 2-57O6,t0.025 (6 ) = 2.4469讥0.025 (7 ) = 2.3646,心區=1-65,1025=1-96/ 2.45、填空题(每小题3分，共30分)1、ABC 或 AUbUC2、0.6CCt或£或=1-15

5、、1X20144、16、1313Pk5550.36361&9、7、N(2,1)X1010、16二、(本题12分)甲乙两家企业生产同一种产品.甲企业生产的60件产品中有12 件是次品，乙企业生产的50件产品中有10件次品.两家企业生产的产品混合 在一起存放，现从中任取1件进行检验.求：(1) 求取出的产品为次品的概率；(2) 若取出的一件产品为次品，问这件产品是乙企业生产的概率.解 设A1, A2分别表示取出的产品为甲企业和乙企业生产，B表示取出的零件为幣】P (B1|A次品，则由已知有PEL)5P( AXct P(A A1 1 0 1 1(1)由全概率公式得P(B)= P(1A) P(

6、B1 A)B(A) P(B唏)丿厶-彳->1p(A2B)= P(A)P (b')(2)由贝叶斯公式得11 5 _ 5P(B)1 "115(本题12分)设随机变量X的概率密度为I kx, 0 < X V 3i x f(x)=<2，3<x<420, 其它(1)确定常数k;求X的分布函数F(x);求P "ex <=.2j(1)由概率密度的性质知说34 f X )91f f (X)dx = 1 kxdx + I" ! 2 dx = k + - = 1 gp3 I 2 丿 24_16x当 x<0 时，F(x) = JNf(t

7、)dt=0;XX 112当 0Xv3 时，F(x) = f f(t)dt = f tdt = X ;5'0 612X3 1xft、12当 3<xc4时，F(x) = f f(t)dt = f tdt + f I2- Idt =x2 + 2x-3;'远y 6'3 I 2 丿4X3 14ft)当 X > 4 时，F(x)=二 f (t)dt = J0 6 tdt + J3 (2 Jdt = 1;故X的分布函数为91 2 一X 121 2-X2 +2X-341F(x)=<,x< 0,Oc X < 3,3 <x v4,x >4P快牛fH

8、f(1).L2j l2 丿161248四、(本题12分)设二维随机向量(X,Y)的联合分布律为丫 X01210.10.20.12a0.10.2试求：(1) a的值；X和丫的边缘分布律；X与丫是否独立？为什么？ 解(1)由分布律的性质知01+ 0.H20a1 +0. 1 £.4故 a =0.3 (2)(X,Y)分别关于X和丫的边缘分布律为Xp 0. 40. 3 0；'3'丫12P0.40.6(3) 由于 PX =0,丫=1 = 0.1,PX =0P丫 =1 = 0.4X0.4 = 0.16,故 p X = 0, Y= 1 工 P X=0 P 丫1所以X与丫不相互独立五、

9、(本题12分)设随机变量X的概率密度为I X, 0 兰 XC1,f(X )=<2-x,1 <x <2,0,其他.2求 E(X )D(X ).-be1 22("1 3 2x3l解 E( X) = Jxf(x)dx = ( Xdx + tx(2 -x)dx =X+ |x- 一來011_3 L 3221 32 27E(X ) = J X f(x)dx = J X dx + 1 X (2 -x)dx ="" 6 2 2 1D(X) =E(X2)E(X)2 =-6六、(本题12分)设离散型随机变量X的分布律为0X0P(X=x)=,x=0,1,2，川，0 乙

10、十x!na Di n电在叮i 4其中0为未知参数，X1,X2，,Xn为一组样本观察值，求8的极大似然估计值. 解似然函数1Xi!n代£L(日产n =ei 1 X !对数似然函数In L (9 )= -n9 +ln 9n送Xii生+ lnn 4 y Xi!n送xidInL , i i=-n + dOe解似然方程=0得#=!£ Xi =Xd9n y所以9的极大似然估计值为 # = X七、(本题10分)某种零件的尺寸方差为b2=1.21,对一批这类零件检查6件得尺寸数据(毫米)：32.56, 29.66, 31.64, 30.00, 21.87, 31.03设零件尺寸服从正态分布

11、，问这批零件的平均尺寸能否认为是32.50毫米= 1.65,Z0.025 = 1.96),总体方差已知，检验总体期望值卩是否等于32.50. H0 :卩=卩0 =32.50;已：卩 H % =32.50X P ，在H0成立的条件下Z N(0,1)b/V n0 =0.05)?(附：t0.025 (5 ) = 2.5706花025 (6 ) = 2.4469応025 (7 ) = 2.36460.05提出待检假设解总体XN(4,b2选取统计量Z(1)对于给定的检验水平o =0.05査表确定临界值Z(X2 =Z0.025 =1.96于是拒绝域为 W =(Y,1.96)U(1.96,p).(4) 根据样本观