1.8_函数的连续性ppt课件

1、机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第八节第八节 函数的连续性函数的连续性一、函数的连续性一、函数的连续性二、函数的间断点二、函数的间断点机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 前面我们已经讨论了函数的单调性、前面我们已经讨论了函数的单调性、有界性、奇偶性、周期性等。在实际问有界性、奇偶性、周期性等。在实际问题中，我们遇到的函数常常具有另一种题中，我们遇到的函数常常具有另一种重要特征。如运动着的质点，其位移重要特征。如运动着的质点，其位移S是是时间时间t的函数。当时间产生一微小的改变的函数。当时间产生一微小的改变时，质点也将移动微小的距离从其运时，质

2、点也将移动微小的距离从其运动轨迹来看是一条连绵不断的曲线），动轨迹来看是一条连绵不断的曲线），函数的这种特征我们称之为函数的连续函数的这种特征我们称之为函数的连续性。与之相对立的一个概念，我们称之性。与之相对立的一个概念，我们称之为间断。为间断。机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 【定义【定义1】;)(0的的某某邻邻域域内内有有定定义义在在xxf【注】【注】f (x)f (x)在在x0 x0处连续的三个条件三条缺一不处连续的三个条件三条缺一不可）可）; )(lim0 xfxx).()(lim00 xfxfxx , ),( )( 0如如果果内内有有定定义义在在设设函函数数

3、 xUxfy )()(lim00 xfxfxx 则称函数则称函数 y = f (x) 在点在点x0处连续处连续.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 【例】【例】 0, 0, 0, 0,1sin)(处连续处连续在在试证函数试证函数 xxxxxxf【证】【证】, 01sinlim0 xxx, 0)0( f又又由定义由定义1 1知知 0)(处连续处连续在在函数函数 xxf),0()(lim0fxfx f (x) 在在x0的邻域内显然有定义的邻域内显然有定义 教材例教材例1、2讲解讲解机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 【单侧连续】【单侧连续】 )()(

4、00处既左连续又右连续处既左连续又右连续在在处连续处连续在在xxfxxf【左连续】【左连续】.)(),()(),()()(lim000000左左连连续续在在点点则则称称即即存存在在且且等等于于若若xxfxfxfxfxfxfxx 【右连续】【右连续】.)(),()(),()()(lim000000右右连连续续在在点点则则称称即即存存在在且且等等于于若若xxfxfxfxfxfxfxx 【定理【定理1】机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 【例】【例】连连续续性性处处的的在在讨讨论论函函数数0, 0, 2, 0, 2)( xxxxxxf【解】【解】)2(lim)(lim00 x

5、xfxx2 ),0(f )2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f 右连续但不左连续，右连续但不左连续，. 0)(处处不不连连续续在在点点故故函函数数 xxf 教材例教材例3、4讲解讲解机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 4.【连续函数与连续区间】【连续函数与连续区间】在区间上每一点都连续的函数在区间上每一点都连续的函数, ,叫做在该区间上叫做在该区间上的连续函数的连续函数, ,或者说函数在该区间上连续或者说函数在该区间上连续. . .,)(,),(上上连连续续在在闭闭区区间间函函数数则则称称处处左左连连续续在在右右端端点点处处右右连连续续并并且且在在左左端端

6、点点内内连连续续如如果果函函数数在在开开区区间间baxfbxaxba 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线. .【几何表现】【几何表现】.,)( baCxf 记记闭区间闭区间a,b上的连上的连续函数的集合续函数的集合机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 .,),(,),()(00000增增量量的的为为自自变变量量在在点点称称时时终终值值变变到到初初值值从从当当自自变变量量内内有有定定义义在在设设函函数数xxxxxxxUxxUxf 函数的连续性函数的连续性1.【增量】【增量】.)(),()(00的的增增量量相相应应于于称称为为函函数数

7、xxfxfxxfy xy0 xy00 xxx 0)(xfy x xx 00 xx y y )(xfy 【增量的几何解释】【增量的几何解释】机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 【连续的定义】【连续的定义】.)(, 0)()(lim 0lim, 0,000000处处连连续续在在点点则则称称或或即即时时若若当当xxfyxfxxfyyxxx 【概念描述】【概念描述】.)(,0)()(limlim,),()(0000000称称为为连连续续点点处处连连续续在在点点则则称称如如果果内内有有定定义义在在设设函函数数xxxfyxfxxfyxUxfyxx 【定义【定义3】,0 xxx 设设

8、),()(0 xfxfy ,00 xxx 就就是是).()(00 xfxfy 就就是是:故故定定义义又又可可叙叙述述为为机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 函数的间断点函数的间断点;)(0的的某某邻邻域域内内有有定定义义在在xxf; )(lim0 xfxx).()(lim00 xfxfxx 【描画】【描画】如果上述三个条件中只要有一个不满足，则如果上述三个条件中只要有一个不满足，则称函数称函数 f (x) 在点在点 x0 处不连续或间断），处不连续或间断），并称点并称点 x0 为为 f (x) 的不连续点或间断点）的不连续点或间断点）.函数函数 f (x) 在点在点x0

9、处连续必须满足的三个条件处连续必须满足的三个条件机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 1. 【间断点定义】【间断点定义】设函数设函数 f (x) 在点在点x0的某去心邻域内有定义。如果的某去心邻域内有定义。如果函数函数 f (x) 有下列三种情形之一：有下列三种情形之一：在在 x=x0 没有定义；没有定义；虽在虽在 x=x0 有定义，但有定义，但 不存在；不存在；)(lim0 xfxx虽在虽在 x=x0 有定义，且有定义，且 存在，存在，但但)(lim0 xfxx )()(lim00 xfxfxx 则函数则函数 f (x) 在点在点 x0 处不连续或间断），并称处不连续或

10、间断），并称点点 x0 为为 f (x) 的不连续点或间断点）的不连续点或间断点）.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 跳跃间断点跳跃间断点.)(),()( ,)(0000的的跳跳跃跃间间断断点点为为函函数数则则称称点点但但存存在在右右极极限限都都处处左左在在点点如如果果xfxxfxfxxf 【补例【补例4 4】 0, 0,1, 0,)(处的连续性处的连续性在在讨论讨论 xxxxxxf【解】【解】, 0)00( f, 1)00( f),00()00( ff . 0为为函函数数的的跳跳跃跃间间断断点点 x2.【函数间断点的几种常见类型】【函数间断点的几种常见类型】(1).

11、【第一类间断点】【第一类间断点】(左右极限都存在的点左右极限都存在的点).oxy1机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 可去间断点可去间断点.)()(),()(lim,)(00000的可去间断点的可去间断点为函数为函数义则称点义则称点处无定处无定在点在点或或但但处的极限存在处的极限存在在点在点如果如果xfxxxfxfxfxxfxx 【补例【补例5 5】.1, 1,11, 10, 1,2)(处处的的连连续续性性在在讨讨论论函函数数 xxxxxxxfoxy112xy 1xy2 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 【解】【解】, 1)1( f, 2)01

12、( f, 2)01( f2)(lim1 xfx),1(f 【阐明】【阐明】 可去间断点只要改变原来有定义时或可去间断点只要改变原来有定义时或者补充原来无定义时间断点处函数的定义者补充原来无定义时间断点处函数的定义, , 则则可使其变为连续点，故称其为可去间断点可使其变为连续点，故称其为可去间断点. . . 0 为为函函数数的的可可去去间间断断点点 xoxy112机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 如例如例5 5中中, , 2)1( f令令. 1, 1,1, 10,2)(处处连连续续在在则则 xxxxxxf跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点跳跃间断点与可去间断点统称

13、为第一类间断点. .【特点】【特点】.0处的左、右极限都存在处的左、右极限都存在函数在间断点函数在间断点 xoxy112可去型可去型 ： 左右极限存在且相等左右极限存在且相等. .跳跃型：跳跃型： 左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等. .机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 (2)【第二类间断点】【第二类间断点】的的第第二二类类间间断断点点为为函函数数则则称称点点在在右右极极限限至至少少有有一一个个不不存存处处的的左左、在在点点如如果果)(,)(00 xfxxxf【补例【补例6 6】.0, 0, 0,1)(处处的的连连续续性性在在讨讨论论函函数数 xxxxxxf【解

14、】【解】oxy, 0)00( f,)00( f为为函函数数的的第第二二类类间间断断点点1 x【特点】【特点】 . )( )(00称之称之，中至少有一个是中至少有一个是与与 xfxf这种情况称为无穷间断点这种情况称为无穷间断点机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 【例【例7 7】.01sin)(处处的的连连续续性性在在讨讨论论函函数数 xxxf【解】【解】xy1sin ,0处没有定义处没有定义在在 x.1sinlim0不存在不存在且且xx.0为第二类间断点为第二类间断点 x这种情况称为振荡间断点这种情况称为振荡间断点. .【特点】【特点】 )( )(00中至少有一个因函数中

15、至少有一个因函数与与 xfxf振荡而不存在，但均不为振荡而不存在，但均不为，称之，称之. .机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 , 0, 1)(是无理数时是无理数时当当是有理数时是有理数时当当xxxDy狄利克雷函数狄利克雷函数在定义域在定义域R R内每一点处都间断内每一点处都间断, ,且都是第二类间且都是第二类间断点断点. . ,)(是无理数时是无理数时当当是有理数时是有理数时当当xxxxxf仅在仅在x = 0 x = 0 处连续处连续, , 其余各点处处间断其余各点处处间断. .特别特别地地【留意】【留意】 不要以为函数的间断点只是个别的几个点不要以为函数的间断点只是

16、个别的几个点. .机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 o1x2x3xyx xfy , 1, 1)(是是无无理理数数时时当当是是有有理理数数时时当当xxxf在定义域在定义域R R内每一点处都间断内每一点处都间断, , 但其绝对值处但其绝对值处处连续处连续. .【观察练习】立即说出下列间断点类型【观察练习】立即说出下列间断点类型: :机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 又如又如:xytan) 1 (2x0 xxy1sin) 2(1x11)3(2xxyxoy1xytan2xyoxyxy1sin0无穷间断点无穷间断点振荡间断点振荡间断点可去间断点可去间断

17、点机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 .)( , 0)(000的的零零点点称称为为函函数数则则使使如如果果xfxxfx 零点定理与介值定理零点定理与介值定理0)()( , )( bfafbaxf上上连连续续，且且在在若若，使得，使得则至少存在一点则至少存在一点),(ba 【定义】【定义】【定理【定理6】(零点定理零点定理):1.零点定理零点定理0)( f即方程即方程 f (x)= 0 在在 (a,b) 内至少存在一个实根内至少存在一个实根.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 【补例【补例8 8】.0, 0, 0,cos)(,处连续处连续在在函数函

18、数取何值时取何值时当当 xxxaxxxfa【解】【解】xxfxxcoslim)(lim00 , 1 )(lim)(lim00 xaxfxx ,a ,)0(af ),0()00()00(fff 要要使使,1 时时故故当当且且仅仅当当 a.0)(处处连连续续在在函函数数 xxf, 1 a机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 .)( ),( ),( , ,)()(,)(CfbabaCBABbfAafbaCxf 使使至至少少存存在在一一点点内内在在开开区区间间之之间间的的任任意意一一个个数数与与那那么么对对于于不不相相等等与与且且端端点点值值设设ab3 2 1 【几何解释】【几何

19、解释】. , )(轴至少有一个交点轴至少有一个交点线弧与线弧与则曲则曲轴的不同侧轴的不同侧端点位于端点位于的两个的两个连续曲线弧连续曲线弧xxxfy xyo)(xfy 2、介值定理、介值定理定理定理7(7(介值定理介值定理):):机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 最大值和最小值定理最大值和最小值定理【定义【定义5 5】.)()()()()()()(,),( 0000值值小小上上的的最最大大在在区区间间是是函函数数则则称称都都有有使使得得对对于于任任一一如如果果有有上上有有定定义义的的函函数数对对于于在在区区间间IxfxfxfxfxfxfIxIxxfI 例如例如,sgn xy ,),(上上在在, 2max y; 1min y,), 0(上上在在 . 1minmax yy,sin1xy ,2 , 0上上在在 ; 0min y, 1max y【留意】【