概率论与数理统计公式集合

1、概率论与数理统计必考知识点一、随机事件和概率1、随机事件及其概率运算律名称表达式交换律A+ B=B +AAB=BA结合律(A+B) +C =A+(B +C) =A + B+C(AB)C = A(BC) = ABC分配律A(B±C) =AB±ACA+(BC) =(A + B)(A+C)德摩根律A+B=ABAB=A+B2、概率的定义及其计算公式名称公式表达式求逆公式P( A) =1 - P(A)加法公式P (A+B) =P(A) +P (B)-P (AB)条件概率公式P(B|A) = P(AB) 'P(A)乘法公式P(AB) = P(A)P(B A)P(AB) = P(

2、B)P(A B)全概率公式nP(B)=Z； P(Ai) P(B|Ai)y贝叶斯公式（逆概率公式）P(Aj) P(B|Aj) P(Aj|B)-述S P(Aj)P(BAi)i =1伯努利概型公式Pn(k) =4 pk(1 p)z,k=o,1,n两件事件相互独立相应公式P(AB) =P(A)P(B) ；P(b|a) =P(B) ； P(b|a)=P(Ba)；P(BA)+P(Ba) =1 ；P(b|a)+ P(B A) =1二、随机变量及其分布1、分布函数性质P(X <b) =F(b)P(a <X <b) = F(b) -F(a)2、离散型随机变量分布名称分布律0 - 1 分布 B(

3、1, p)P (X =k) = p k(1 -p 严，k =0,1二项分布B(n,p)P(X=k)=Ck pk(1-p)n，k=0,1，n泊松分布P-kP(X =k) =e-2, k =0,1,2, k!几何分布G(p)P(X=k)=(1 - p)kp, k =0,1,2,超几何分布H(N,M, n)C k CkP(X _k) _ M N，k _|,丨+1：. ,min(n,M) cN3、连续型随机变量分布名称密度函数分布函数均匀分布U (a, b)指数分布E仏)正态分布N (巴b2)I1, a c X < b f(X) = b -a0, 其他聞X, x>0 f(x)詔i 0,其他

4、(x_ 內212Lf(x)=eu七边V2兀c0, xcaI xaF(x) =<,a<xcbI ba 1,x>bF(x)=l Ojx X：011 -e , X > 0(t_內21 x 2F(X)= f edtV2g 二标准正态分布N(0,1)x21 . e 2处 <x < -HeJ2兀(t-W三、多维随机变量及其分布1、离散型二维随机变量边缘分布Pi ” = P(X =Xi) =2 P(X =Xi ,Y =yj) =2 PijjjPj=P(Y=yj)=W P(X =Xi,Y=yj)=W Pijii2、离散型二维随机变量条件分布Pi卩,P(X =Xi,Y =yj

5、)Pij=P (X=XiY=yj)= P(Y=yj)厂可日2 Pj卩=P(Y =yj|X =Xi)=P(X =Xi,Y=yj)=巴,j=1,2jlP (X=Xi)Pi”3、连续型二维随机变量(X ,Y )的联合分布函数F(x,y) = J；J；f(u,v)dvdu4、连续型二维随机变量边缘分布函数与边缘密度函数fX(X)= f f (x,v)dv-befY (y) = f (u, y)du边缘分布函数：Fx(X)= r rf(u,v)dvdu边缘密度函数:'二-rey -beFy (y) = f f f(u,v)dudv5、二维随机变量的条件分布fYx(y|x)(x，y)fX(x)ry

6、efx|Y(Xy)=(耳y)严 <x<fY(y)四、随机变量的数字特征1、数学期望离散型随机变量:E(X)=送 XkPkk连续型随机变量:E(X) = f xf (x)dx2、数学期望的性质(1) E(C) =C,C 为常数EE(X) =E(X)E(CX) =CE(X)(2) E(X ±Y) =E(X)±E(Y)E(aX±b) =aE(X)±bE(GXi 屮CnXj-CiEai)屮"CnEan)若XY相互独立则：E(XY) =E(X)E(Y)E(XY)2 <E2(X)E2(Y)3、方差： D(X) =E(X2) -E2(X)4

7、、方差的性质(1)D(C) =0DD(X)=0 D(aX ±b) =a2D(X)D(X) <E(X -C)25、6、7、协方差和相关系数的性质D(X ±Y) =D(X) +D(Y) ±2Cov(X,Y) 若 XY相互独立贝J：D(X ±Y) = D(X) +D(Y)协方差：Cov(X,Y) =E(X,Y)-E(X)E(Y)若 XY相互独立则：Cov(X,Y)=0相关系数：Pxy=Hx，Y)=舄X盎若XY相互独立则：即XY不相关(1)Cov(X,X) =D(X) Cov(X,Y) =Cov(Y,X)Cov(Xi +X2，Y) =Cov(Xi，Y) +

8、Cov(X2，Y)Cov(aX +c,bY +d) =abCov(X,Y)&常见数学分布的期望和方差分布数学期望方差0-1 分布 B(1, p)Pp (1- p)二行分布B(n,p)npnp(1-p)泊松分布PA扎几何分布G(p)1P1 P2 P超几何分布H(N,M,n)M n NMM N -mn (1 )NN N 1均匀分布U(a,b)a +b2(b a)212正态分布N(Hcr2)k2CJ指数分布E1丄_ 2z/u五、大数定律和中心极限定理1、切比雪夫不等式若 E(X) -PDX) R2,对于任意 E >0 有 P|X E(X)| £ 兰罟 或 P|xE(X) &l

9、t; 31-D孚/ n. n2、大数定律：若Xr'Xn相互独立且nT比时，丄送Xi丄2 E(Xi) n yn y、1 n1 n(1)若'X1 Xn 木目互独立，E(Xi) =Ai,D(Xi) =CJi 且 Gj < M 贝 y：送 X i* 送 E (X i ), (n T 处)n yn y1 n若X1Xn相互独立同分布，且E(Xi)=B则当nT处时：-送XiPT卩n 73、中心极限定理(1)独立同分布的中心极限定理：均值为 卩，方差为/ >0的独立同分布时，当n充分大时有:nZ Xk -nAYn J N(0,1)Jnb 拉普拉斯定理：随机变量( n=1,2)B(

10、n, p)则对任意X 有:t2Z <xlim P rXT 收i Jnp (1 p)x 1 _=-j=e2dtq(x).二2兀nn送 Xk -n4近似计算：pg匹Xk 9) = P(肆 < <罕些g(料)q(肆)krnJnbJnbJnbVnbvnc六、数理统计1、总体和样本 总体X的分布函数F(x)样本(Xi，X2Xn)的联合分布为F(Xi,X2Xn) =F(Xk)2统计量(1)样本平均值:1 nX诗Xi样本方差：s2F三(Xi2 1 2 2-X) nX)(3)样本标准差:ns诟丁52样本k阶原点距:Ak =丄送 Xik,k=1,2 n y(5)样本k阶中心距：Bk =Mk二艺

11、(Xi JX)k,k =2,3n i 4(6)次序统计量：设样本(X1,X2Xn)的观察值(X1,X2Xn)，将为,X2Xn按照由小到大的次序重新排列，得到X(1)兰X(2)兰兰X(n),记取值为X(i)的样本分量为X(i),则称X(1)<X(2)<X(n)为样本(X1,X2Xn)的次序统计量。X(1)=m i rX(,X2Xn)为最小次序统计量；X(n) =m aXq,X2Xn)为最大次序统计量。3、三大抽样分布(1)里分布：设随机变量Xi,X2Xn相互独立，且都服从标准正态分布N(0,1)，则随机变量7X1x2-x2所服从的分布称为自由度为n的护分布，记为/22(n)性质： E

12、72( n)= n,D72( n) =2n 设 X 72(m),Y72( n)且相互独立，则 X+Y72(m+ n)t分布：设随机变量X N(0,1),Y /2( n)，且X与Y独立，则随机变量：T=-所服从(x-M)2的分布称为自由度的n的t分布，记为Tt( n)性质： Et(n)=0,Dt(n)=丄,(n2) limt(n) = N(0,1)=-e n _272兀F分布：设随机变量U/2(ni),VZ2(n2)，且U与V独立，则随机变量Fg,n?)所V门2服从的分布称为自由度(ni,n2)的F分布，记为FF(n,门2)性质：设 X F(m, n)，贝J F (n,m) X1、参数估计七、参数估计(1)定义：用兪Xi，X2，Xn )估计总体参数0，称$(Xi,X2,Xn)为日的估计量，相应的&Xi,X2，Xn)为总体0的估计值。(2)当总体是正态分布时，未知参数的矩估计值二未知参数的最大似然估计值2、点估计中的矩估计法：(总体矩二样本矩)n亠离散型样本均值：灭*=打连续型样本均值：乂占xw®彳n离散型参数：E(X2)二送Xi2n i£3、点估计中的最大似然估计 最大似然估计法：Xi,X2"-Xn取自X的样本，设X f(x,日)或P (X=Xi)= P但)则可