有理系数多项式

1、§ 9有理系数多项式.引入1)在复数域上只有一次多项式才是不可约的。2)在实数域上不可约多项式只有一次的和某些二次的。对于有理数域1) 每个次数1的有理系数多项式都能唯一地分解成不可约的 有理系数多项式的乘积2) 要具体地作出它的分解式是一个很复杂的问题,3) 要判别一个有理系数多项式是否可约也不是一个容易解决的 问题。4) 可以归结为整(数)系数多项式的因式分解问题，并进而解决求 有理系数多项式的有理根的问题。5) 在有理系数多项式环中有任意次数的不可约多项式。问题：如何判断Q上多项式的不可约性呢？有理系数多项式可归结为整系数多项式的问题.设 f（X）=anXn +an4x2+川

2、+a0 ,则i)可选取适当整数C,使cf(x)为整系数多项式.li)若cf (x)的各项系数有公因子，提出来，得cf(x)=dg(x),即f(x) =dg(x),其中g(x)是整系数多项式，且各项系数没有异于±1的C公因子.222女口f(X)= x4 -2x2 -x = _(5x4 _ 15x2 _3x)3515二.本原多项式1 .定义：设g(x)=bnXn +bn 丄 xn+川+bx + b 萨 ObiZ, i =0,1,2 川 n.若bn,bnj|(bl,b0没有异于±1的公因子，即bn,bnj|(bi,b0是互素的，则 称g(x)为本原多项式.2 .有关性质1) Vf

3、(xQx, Wr 亡 Q，使f(X)=rg(x),其中g(x)为本原多项式(除了相差一个正负号外，这种表示法是唯一 的).2)定理10 (Gauss引理)两个本原多项式的积仍是本原多项式.证：设 f(X)=anXn +anjLx2 +川十a。, g(x) =bmXm+川 +bo是两个本原多项式.而h(x) = f (x)g(x) =dn知+dn4m4xW +川 +do ,反证法，若h(x)不是本原的，则存在素数P , P |dr, r = 0,1，川 n + m.又f (x)是本原多项式，所以P不能整除f(x)的每一个系数，令ai为 ao,ai川an中第一个不能被p整除的数，即p|ai,川pl

4、apg.同理，g(x)本原，令bj为bJllbm中第一个不能被P整除的数，即P |bo, P |bi| p | bj _L, ptbj.又dip =aibj +4冉4+川，这里P |di卅ptaibj,卩向卅6|，矛盾.二.整系数多项式的因式分解定理11若一非零的整系数多项式可分解成两个次数较低的有理系数多项式，则它一定可分解成两个次数较低的整系数多项式的乘 积.证：设整系数多项式f(x)有分解式f(x) =g(x)h(x)，其中 g(x), h(x)亡 Qx，且 c(g(x) ),£(h(x) )<£( f(X).令 f(x)=afi(x) , g(x)=rgi(x

5、), h(x) =sh(x)这里，fi(x),gi(x),hi(x)皆为本原多项式，a- Z,r,s-Q ,于是afi(x) =rsgi(x)hi(x)=由定理10,gi(x)hi(x)本原，从而有rs = ±a 即 rs Z , /f(X)=(rsgi(x) )hi(x) 得证.推论：1)f(x), g(x)是整系数多项式,2)g(x)是本原的，3)f(x) =g(x)h(x), h(x)-Qx,则h(x)必为整系数多项式.证：令 f(x)=afi(x), h(x)=chi(x), aZ,c 忘 Q,fi(x), hi(x)本原= afi(x) =g(x)chi(x) =cg(x)

6、hi(x) = c = ±a= c亡 Z,二 h(x) =chi(x)为整系数.定理12设f(x)=anXn+a2XnrH| + aix+a0是一个整系数多项式，而-是它的一个有理根，其中r,s是互素的，则必有s|an,r|ao.s证：T -是f(x)的有理根，在有理数域上，sr(X-)|f(x)s从而(sx-r)| f(X),又r,s互素，二SX r本原.由上推论，有f(x) =(sx-r)(bn_1Xn+ 川+b1x+b0), bi-Z, i =0,1，川，n1.比较两端系数，得asbijL， a 萨rb .所以，s| an, r | ao(注意：定理12是判断整系数多项式有理根

7、的一个必要条件,而非充分条件.)例1 求方程2x" -X3 +2x-3 = 0的有理根，解：可能有理根为±1,岀,±1,±|，用综合除法可知，只有1为根.例2 证明f(x)=x3-5x+1在Q上不可约.证：若f(x)可约，它至少有一个一次因子，也即有一个有理根, 但f(x)的有理根只可能是±1，而f(1)= Y, f(1)=5，所以f(x)不可约.定理13艾森斯坦因Eisenstein判别法设 f(X)=anXn+anx2ri| + a1x+a0, a Z, i=0,1,|)|,n , 若有一个素数P ,使得1) Plan2) p |an4,a

8、n/,川，a。23) p |ao.则f (x)在有理数域上是不可约的.证：若f(x)在Q上可约，由定理11.f(x)可分解为两个次数较低的整系数多项式的积f(x) (bx1 +b4X|4 + |i+bo)(CmXm +Cm斗Xmr| + Co), bg 亡 Z, l,m<n, I + m = nan nbiCm,a b0c0.Pla。,Pibo或 p|C0 ,又P2|ao , /. P不能同时整除bo,Co .不妨设p|bo但P-lCo.另一方面，P "n-Pi bl, pfCm.k假设bo,bi|(b中第一个不能被P整除的数为bk，比较两端x的系数，得 abkC0 + bkj

9、c, +川 + boCk式中 ak,bk J|(bo 皆能被 P 整除，二 PibkCo , = P|bk 或 p|Co.矛盾.(注意：Eisenstein判别法是判断不可约的充分条件非必要条件，所以有些多项式需作线性变换.)例3 证明：xn+2在Q上不可约.证：(令P =2即可).(可见存在任意次数的不可约有理系数多项式)证明：f(X)=x2 +1在Q上不可约.证:判别法知作变换 x = y+i，贝J f(x)= y2+2y + 2，取 p=2,由 Eisensteiny2+2y+2在Q上不可约，所以f(x)在Q上不可约.23P判断f(xT+x+佥+訥咔在Q上是否可约.P!P!解:令g(x) = P!f(x)=p!+p!x+irxF+RxfP则g(x)为整系数多项式.:pz pl右,為宀p!,但p2w,g(x)在Q上不可约，从而f (x)在Q上不可约.说明：许多Q上的不可约多项式都可经过适当线性代换或化整系 数多项式后用等森斯坦因判别法判定它是否不可约， 但是，也存在Q#上不可约多项式f(x),无论作怎样的代换X =ay+b,(a,b Q,aHO)都不能使f(ay+b)=g(y)满足爱森斯坦因判别法的条件，即找不到相应的素数女口， f（X）= X3 +x +1 .但可用反证法：若f(x)可约，则必有一次因式，从而f(x)有有理 根，但f(x)的有理根只能是