数理统计的基本概念

1、第6章 数理统计的基本概念976.1内容框图6.2基本要求(1)(2)(3)(4)6.3内容概要1）总体与样本在数理统计中，我们把作为统计研究对象的随机变量称为总体，记为©,",。对总体进行 n 次试验后所得到的结果，称为样本，记为(X1,X2，,Xn)，（丫1,丫2,，Yn）,，其中，试验次数n称为样本容量。样本（X1,X2，Xn）中的每一个 Xi都是随机变量。样本所取的一组具体的数值，称为样本观测值，记为理解总体、样本及统计量的概念，并熟练掌握常用统计量的公式 掌握矩法估计和极大似然估计的求法，以及估计无偏性、有效性的判断 掌握三大抽样分布定义，并记住其概率密度的形状.

2、6.46.9 及定理 6.11.理解并掌握有关正态总体统计量分布的几个结论，如定理（Xi,X2，Xn）。具有性质:（1）独立性，即Xi,X2，Xn相互独立。（2）同分布性，即每一个 Xi都与总体服从相同的分布。称为简单随机样本。如果总体匕是离散型随机变量，概率分布为Pr =k，那么样本（Xi,X2，,Xn）的联合概率分布为P X 1 = Xi, X 2 = X2，,X nnn=Xn =n px i = Xi =n PE = Xi o是连续型随机变量，概率密度为护（X），那么样本（Xi,X2，,Xn ）的联合概率密度为护 * （X1,X2，Xn） =n ®Xi（Xi）=n ®

3、（Xi）。如果总体匕的分布函数为F（x），那么样本（Xi,X2，Xn）的联合分布函数为F*（Xi,X2，Xn） =n Fxi（Xi） =n F（Xi）。ii2）用样本估计总体的分布数理统计的一个主要任务，就是要用样本估计总体的分布。参数估计又可以分为两种，一种是点估计，另一种是区间估计。3）矩法估计求矩法估计的步骤为:（1）计算总体分布的矩E（©k） = fk佝月2，），k=12，m，计算到m阶矩为止（m是总体分布中未知参数的个数）。（2）列方程f1&,兔,俘m）= eE =XA f2（肾監gm） =EC2）=X2A -fm6&,號）=E（织）=Xm从方程中解出曾,，

4、它们就是未知参数日1,&2，&m的矩法估计。4) 极大似然估计求极大似然估计的步骤为:(1)写出似然函数L的表达式。如果总体©是离散型随机变量，概率分布为nPE = k，那么 L = P© = Xi；i 4如果总体©是连续型随机变量，概率密度为n叫X)，那么L =n(Xi)。7(2)在6,82,Pm的取值范围©内，求出使得似然函数L达到最大的参数估计值氏闵，鼠，它们就是未知参数的极大似然估计。通常的做法是，先取对数In L (因为当In L达到最大时,L也达到最大)。然后令InL关于01,02，月m的偏导数等于0,得到方程组=0c01由此

5、可见，如果上面这个方程组在0内有唯一解 曾，霍，臥，所以，按照极大似然估计的定义，闵，闵，號 就是未知参数 日1,日2,Qm的极大似然估计。5)衡量点估计好坏的标准定理设总体©的数学期望 E©和方差 D匕都存在，(X1,X2,.,Xn)是©的样本，X是样本均值，S2是样本方差，则有. DEX =Ee ；( 2)DX =nE(S2)dE。n衡量点估计的好坏标准:(1) 无偏性定义6.1 设是参数日的估计，如果有E®=8，则称W是日的无偏估计。(2)有效性D(昭 De?)，则称硏比定义6.2设?，乡都是参数日的无偏估计，如果有(3)相合性(一致性)定义6.3

6、 设令是参数0的估计,n是样本容量，如果任何S > 0，都有lim Pn_jpc则称§是0的相合估计(一致估计)。可以证明，矩法估计都是相合估计。除了极个别的例外，极大似然估计也都是相合估计。6)数理统计中几个常用的分布n定义6.4 若有Xi,X2，Xn相互独立，XiN(0,1) ,i=1,2"，n，则称S X：y所服从的分布为 自由度是 n的Z2分布，记为/2(n)。n_iX2X e2/2分布的概率密度为1n“，nx<0-2上分布的图象见图6-2 。定理如果有匕工2(m), n/ 2( n)，相互独立，则©工2(m+ n)。即工2分布具有可加性。t分

7、布定义若有匕N（0,1）, nZ 2（n）,相互独立，则称所服从的分布为 自由度是n的t分布，记为t（n）。分布的概率密度为半（X）=2一r©）(16-3F分布定义 若有 S 2(m), n/ 2(n),相互独立，则称邯所服从的分布为自n/n由度是（m, n）的F分布，记为 F （m, n）。F分布的概率密度为X2m4n(mx + n) 2x<06-4 。F分布概率密度的图象见图定理 如果FF（m,n），则必有丄F（n,m）。F三大抽样分布N(0,1+三大抽样分布的严格定义见定义6.4, 6.5, 6.6,构造性定义可简示如下:+ N （0,1 I - 乂2（n ） F (m,

8、 n )99其中F代表分布F对应的随机变量.7)正态总体统计量的分布定理设（Xi,X2，Xn）是总体匕N（巴CT2）的样本,X是样本均值，则有2Q-N(巴一)n，即有口需N（0,1）。c定理设（X1,X2，Xn ）是总体 匕N（巴CT2）的样本，X是样本均值,S2是样本方差，则有（1） X与S2相互独立；nS2(2) W心n-1）。定理设（Xi,X2，Xn）是总体 匕N（巴b2）的样本，X是样本均值,S*是修正样本标准差,X _ (1则有 Jnt(n 1)。S*定理设（Xi,X2，Xm）是总体匕N（已，时）的样本，（丫1,丫2,，Yn ）是总体nN （打，环）的样本，两个样本相互独立，X ,

9、Y是 J n的样本均值，则有（X -丫）岸1 罷）一 N（0,1）。定理 设（Xi,X2,，Xm ）是总体 匕N（Ai，Cr 一）的样本，（丫1,丫2,，Yn ）是总体nN （卩2, b；）的样本,其中 6=6，两个样本相互独立，X，Y 是匕，的样本均值，sX2, sy是 J n的样本方差，则有（又一Y）糾-込）I2一J mSx + nSvt(m + n2)，其中，Sw=J。W m+n-2总体 1 为正态分布，（Xi,.,Xm ）与（Y,Yn ）分别为其样本时，几个重要结论及关系:25#1.无论总体©服从什么分布,都近似服从正态分布.（）2. 参数日的矩法估计一定是3. 从一批零件中

10、有放回地取6.4自测题六判断题（正确用“ + ”错误用“-”）只要总体的期望和方差存在，当样本容量很大时，样本均值X 日的无偏估计.（）5个，结果发现前2个是次品，后3个为正品，则这批零件的 次品率P的矩法估计值为 一.（）4.设总体匕服从参数为A普阿松分布，（Xi,X2,.,Xn ）为取自总体的样本，则参数 A的极大似然估计是无偏的.（）25.设匕 N （4,cr2 ），则二服从 72 分布.（）I b丿6.设总体E N （巴b2'（XjX?）为取自总体的样本，则Xi F(1,1).()1X2-卩|*'7.设（X1,X2,.,Xn ）为取自总体匕 N （巴C72 ）的样本,X

11、为样本均值，S*为样本修正标准差，则nX - A )丨 F (1,n )() IS) j8.设总体E N （巴CT2 ）, X和S*2分别为其样本的均值与修正方差，则对任意常数*2a , ® = aX +（1 -a ）S 都是卩的无偏估计.（）9.设总体E N（0,1）,X为样本（Xi,X2,.,Xn ）的均值，则-7=XF(1,n.()(xjni)10.设总体©服从参数为A的指数分布，X为样本均值，则A的矩法估计和极大似然估计选择题1.设（X1,X2,.,Xn ）是总体匕的样本，E N （巴CT2 ），其中2巴b均未知，下列表达式中只有（）是统计量.(B)-ZXi(C)

12、4 Xi2n ii(D) Az(Xi-叮n y1011 n(A)1S Xi2n i:1 n(C) 2 Xi2.设（X1,X2,.,Xn堤取自总体EN（0,b2）的样本，可以作为CT2的无偏估计的统计量(B)丄£ Xi2n 1 i #(D)丄Z Xi n -1 i #3.设总体匕 N(A,CT2 ),(X1,X2 )是其样本，下列4个卩的无偏估计中，最有效的是().(A) ? =0.2X1 +0.8X2(B) I?2=0.4Xi +0.6X2(C) % =0.7X4 +0.3X2(D) l?4 =0.9X1 +0.1X21074.设随机变量X1和X2都服从标准正态分布，则().(A)

13、Xf+X；服从严分布(B) X： -X；服从/ 2分布(C) X12/x2服从F分布2 2 2(D) Xi和X2都服从/分布5.设总体匕 N(o,cr2 ),(X1,X2,X3,X4 )为©的样本，则下式中服从t(2)分布的统计量是(C) r +X2J2(X32 +X42 )(B)L2JX32 +X42(D) 密X1 + X2) JX32 +X426.设随机变量巴 N(叫，W2 )严 N (卩2,无2 ),且匕与相互独立,2,而(Xi,X2,.,Xm ),(Y,%,Yn )分别为匕和n的样本，则有(A) X -Y N(气 +巴,W2 +时)(B)X -Y N/卩一卩1 2 ,k(C)

14、X -Y N/严1广2 ,V.2 2 £1_玉m n(d)x_ynlH 丿7.设(X1,X2,X3,X4,X5)为取自正态总体N(0,4 )的样本，则服从 F(2,3 )分布的统计量是(A)2(X12+X22 )3(X32 +X42 +X52 )2 2 22(X1 +X2 +X3 ) (B)3(X42 +X52 )(C)3(X12+X22)2(Xj+X22 +X32 )3(X12+X22)"D)2(X32 + X42 + X52 )8.设(Xi，X2，.,Xm )，(Y,，Y2,YJ为分别取自相互独立的正态总体匕山气,耳2)：屮41严22)的样本，X'SXLs；和Y

15、,s2,s；2分别为总体J n的样本均值，样本方差和修正样本方差，则下列四个选项中不正确的是(A)X,Y,s2，sy相互独立X _ U(B)7mt(m-1)Sx(C) SXF(1,n-1)Sy 2(D) "ASm+n一2 )其中 Sf9.设(X )为标准正态分布的分布函数,0V PV 1.下述关于临界值的四个选项，正确的是(A ) Up +Ui_p i(B)(uP)= P(C) 7(n )= -Zp (n )(D)1F5m，心話10.设(X1,X2，.,X16 )为取自正态总体匕 N (4, b2)的样本，X为样本均值，若有16 2P送(Xi -X )li吕>acr2 >

16、 = 0.95,则 a 等于().(A) /0295(16)(B) 0.95 (15)(C) 0.05 (15)(D)盂.05(16)填空题1. 设总体匕服从参数为兀的普阿松分布，把对总体进行的n次观测结果记为(Xi,X2,.,Xn ),(Xi,X2,.,Xn )可以称为样本必须满足的两个条件是此时 (XXz/.-./Xn)的联合概率分布为2. 设(X1,X2,.,X9 )为取自均匀分布 U (2, 4)的样本，X为样本均值，S2为样本方差,则 max (X1,X2,.,X9 )的分布函数为EX;ES2 =3. 设总体匕概率密度为X 31®(x)= *X <1其中，£

17、 >1为未知参数，(X1,X2，.,Xn )是匕的样本，这时0的矩法估计为;e的极大似然估计为4.设总体E服从对数正态分布，概率密度为(In x-卩厂X0x<0其中，巴CT > 0是未知参数,(X1,X2,.,Xn )是匕的样本，这时卩的极大似然估计为;b的极大似然估计为；当CT =1时，4的矩法估计为5.已知总体©的概率密度为2严)x>0其中，e是未知参数,X cO(X1,X2,.,Xn )是匕的样本，这时9的矩法估计为日的极大似然估计为一 1 n6.设(X1,X2,.,Xn )是总体匕的样本，©N (巴4 )，样本均值X =-£ Xi

18、.当 n i¥nA时，才能使E|X -叮兰0.17.设总体匕 M12 ), n N(42,b22 ), (X1，X2，.,Xm)是 ©的样本，(二,冷.丸)是n的样本，两组样本相互独立，X =-£ Xj'Y =丄£ Yj ,则myn uD (X -Y 尸.8.设(X1,X2,.,X6 )是来自总体匕的样本，匕N (0, 1),随机变量222Xi丫 =(X1 +X2+X3 ) +(X4+X5 +X6 )，当常数c=时，CY服从/ 2分布，其自由度9.已知总体匕N(0,w2 ), (X1,X2,X3 )为匕的样本，则丨 X2 - X3 IX 2 +

19、X 210.设总体巴服从正态分布(0'4)，X1X2.,)为©的样本，则丫二启卞服从分布，其自由度是6.5自测题六答案1. +;2. -;3. +;4. +;5. +;6. -;7. -;8. -;9. -;10. +1. C;2. A;3. B;4. D;5. A;6. B;7. D;8. D;9. B;10. C1. XinP(A )( i=1,2，,n) , X1,X2,.,Xn 相互独立 nT x !-xde'“,1 -(1 + nA)e几;2.x<2Fmax ( X )2 <x c4.1 83, 一 , 一2727x>4X3.=X +1n1

20、寸;4. -无Z lnXin yiziinxr口,V n ylnX；2minXi(1<i <n )； 6. 40;7.m¥ 8.n13,2;9. t(1);10. F,(1O,5)6.6典型例题1设总体匕NWw2），巴b：>0是未知参数，（X1,X2,，Xn）是©的样本，求比b的矩法估计。先求总体分布的矩，得到E© = P ， E（匕2） = Dt+ （Er）2 =cr2+卩2。再列方程i 总=XA 02 + |?2 =E(©2) = X2(1)从(1)得莎=X，代入(2)可得衣2 =x2 - (X)2 = S Xj2 - X2n y=

21、s2开方后得<? = ±Js2 = ±S，由于b >0 ，舍去不符合题意的负根， 最后得到的矩法估计？ = X-。在推导中，我们顺便也求得了2 = sa2的矩法估计改2=s2。例2设总体©服从0,0上的均匀分布，概率密度为®(x)£0 其xr的矩法估计。先求总体分布的矩0 >0是未知参数，（Xi,X2,，Xn）是的样本，求E e = f X ®(x) dx = f x/£ dx再列方程。解此方程，得到 日的矩法估计W = 2X。3设总体匕服从0-1分布，概率分布为P© = k = pk(1 - p

22、k=0,1 ,是未知参数，（Xi,X2,Xn）是巴的样本,求P的极大似然估计。先求似然函数L =n PE=Xi=n pxi(1- p)7 =nExp- (1-p)再取对数In Lxi In p + (n 送 xi) ln (1 p)i #i =±求导，列方程dlnXiP 7dp丄(n-z Xi)=0。1 P y从方程中可解得，它使In L达到最大，所以 P的极大似然估计为例4设总体匕N（kCT >0是未知参数。（Xi,X2，,Xn）是©的样本。求卩，CT的极大似然估计。解先求似然函数n=n w(xi)=ri i 1i二寸2兀b1 n(2®n 2crn e再取

23、对数(Xi-門22 y求导，列方程gin Li刖I <gln L CC1n21 (A i)- (送 Xi - n#) = 0 2cryCTy(xi)2 =0CT CT y-2 n(1)xi，代入（2）可解得CT2 =-送（Xin y-X)2 =s2开方后得 b = ±Js2 = ±s,由于>0，舍去不符合题意的负根，得到 CT =s。它们使In L达到最大，所以,CT的极大似然估计为b = s使L达到最大，也就是2=s使L达到最大，所以，顺便还可以推导出b2的极大似然估计为c32 =S2。例5设总体E服从0,9上的均匀分布,概率密度为0<x< 日其他日>0是未知参数，（Xi,X2，Xn）是©的样本，求 日的极大似然估计。3111先求似然函数:0 < 为 <0 (i =1,2,n)其他en0 < min Xi < maxxi <0ii其他L H0时,取对数,1