二元一次不等式组与平面区域1_线性规划

1、二二元元一次不等式（组）一次不等式（组）与平面区域与平面区域人教人教A A版必修版必修5 5 3.3.13.3.1学习目标学习目标1.了解二元一次不等式了解二元一次不等式(组组)的几何意义的几何意义2能从实际情景中抽象出二元一次不等式能从实际情景中抽象出二元一次不等式(组组)3会画二元一次不等式会画二元一次不等式(组组)表示的平面区域表示的平面区域1 1、二元一次不等式（组）、二元一次不等式（组）（1 1）含有）含有 未知数，并且未知数的次数是未知数，并且未知数的次数是 的的 不等式称为二元一次不等式。不等式称为二元一次不等式。（2 2）由几个）由几个 组成的不等式组称为二组成的不等式组称为二

2、元一次不等式组。元一次不等式组。二二: :相关概念相关概念2 2、二元一次不等式（组）的解集、二元一次不等式（组）的解集满足二元一次不等式（组）的满足二元一次不等式（组）的x x和和y y的取值构成有序数对的取值构成有序数对 （x , yx , y）, ,所有这样的所有这样的 构成的集合称为二元一次构成的集合称为二元一次不等式（组）的解集不等式（组）的解集。二元一次不等二元一次不等式式两个两个一次一次有序数对有序数对你知道不等式组你知道不等式组3040 xx所表示的解集图形吗？所表示的解集图形吗？x x4 40 0- -3 3思考思考: :一元一次不等式一元一次不等式( (组组) )的解集所表

3、示的图形的解集所表示的图形-数轴上的区间数轴上的区间问题问题在平面直角坐标系中，直线在平面直角坐标系中，直线x+y-1=0 x+y-1=0将平面分成几部分呢？将平面分成几部分呢？不等式不等式x+y-1x+y-10 0对应平面内哪部分的点呢？对应平面内哪部分的点呢？0 xy11x+y-1=0想一想？想一想？右上方点右上方点左下方点左下方点区域内的点区域内的点x+y-1x+y-1值值的正负的正负代入点的坐标代入点的坐标（1,1）（2,0）（0,0）（2,1）（-1,1）（-1,0）（-1,-1）（2,2）直线上的点的坐标满足直线上的点的坐标满足x+y-1=0 x+y-1=0，那么直，那么直线两侧的

4、点的坐标代入线两侧的点的坐标代入x+y-1x+y-1中，也等于中，也等于0 0吗吗? ?先完成下表，再观察有何规律呢？先完成下表，再观察有何规律呢？探索规律探索规律0 xy11x+y-1=0同侧同号，异侧异号同侧同号，异侧异号正正负负1 1、点集、点集(x,y)|x+y-10(x,y)|x+y-10 表示直线表示直线x x + +y y1=01=0 右上方右上方的平面区域；的平面区域；2 2、点集、点集(x,y)|x+y-10(x,y)|x+y-1 0 0表示直线表示直线A Ax x+B+By y+C=0+C=0某一侧某一侧所有点组成的所有点组成的平面区域，我们把直线画成平面区域，我们把直线画

5、成虚线虚线, ,以表示区域以表示区域不包含不包含边界边界; ;不等式不等式 A Ax x+B+By y+C+C0 0表示的平面区域表示的平面区域包括包括边界，边界，把边界画成把边界画成实线。实线。1、由于直线同侧的点的坐标代入由于直线同侧的点的坐标代入Ax+By+CAx+By+C中，所得中，所得实数符号相同，所以只需在直线的某一侧取一个实数符号相同，所以只需在直线的某一侧取一个特殊点代入特殊点代入Ax+By+CAx+By+C中，从所得结果的中，从所得结果的正负正负即可即可判断判断Ax+By+C0Ax+By+C0表示哪一侧的区域。表示哪一侧的区域。2、方法总结：方法总结：画二元一次不等式表示的平

6、面区域的步骤：画二元一次不等式表示的平面区域的步骤：1 1、线定界（注意边界的虚实）、线定界（注意边界的虚实）2 2、点定域（代入特殊点验证）、点定域（代入特殊点验证） 特别地，当特别地，当C0C0时常把原点作为特殊点。时常把原点作为特殊点。 C0时，可取（时，可取（0，1）或（）或（1，0）作为特殊点。）作为特殊点。x+4y4x+4y4x-y-40 x-y-40 x-y-40 x-y-40典例精析典例精析题型一：画二元一次不等式表示的区域题型一：画二元一次不等式表示的区域例例1 1、画出、画出 x+4y4 x+4y4 表示的平面区域表示的平面区域x+4y=4x+4y=4x+4y4x+4y4x

7、 +4y4（2 2）x-y-40 x-y-40 x-y-40o ox xy yx-y-4=0 x-y-4=0例例2 2、画出不等式组表示的平面区域。、画出不等式组表示的平面区域。 题型二：画二元一次不等式组表示的区域题型二：画二元一次不等式组表示的区域由于所求平面区域的点的坐由于所求平面区域的点的坐标需同时满足两个不等式，标需同时满足两个不等式，因此二元一次不等式组表示因此二元一次不等式组表示的区域是各个不等式表示的的区域是各个不等式表示的区域的区域的交集交集，即，即公共部分公共部分。分析分析：画二元一次不等式组表画二元一次不等式组表示的平面区域的步骤：示的平面区域的步骤：2.2.点定域点定域

8、3.3.交定区交定区1.1.线定界线定界x-y+5x-y+50 0 x+yx+y0 0 x x3 3x xo oy y4 4- -5 55 5x-y+5=0 x-y+5=0 x+y=0 x+y=0 x=3 x=3 用用“上方上方”或或“下方下方”填空填空 (1)(1)若若B0,B0, 不等式不等式Ax+By+C0Ax+By+C0表示的区域是直线表示的区域是直线Ax+By+C=0Ax+By+C=0的的 不等式不等式Ax+By+C0Ax+By+C0表示的区域是直线表示的区域是直线Ax+By+C=0Ax+By+C=0的的 (2)(2)若若B0,B0Ax+By+C0表示的区域是直线表示的区域是直线Ax

9、+By+C=0Ax+By+C=0的的 不等式不等式Ax+By+C0Ax+By+C0表示的区域是直线表示的区域是直线Ax+By+C=0Ax+By+C=0的的上方上方下方下方下方下方上方上方跟踪练习跟踪练习如图如图, ,表示满足不等式表示满足不等式(x-y)(x+2y-2)(x-y)(x+2y-2)0 0的点的点(x,y)(x,y)所在区域应为：所在区域应为：( )( )By12O(C)y12O(D)y12O(A)y12O(B)(0,1)(-4,-1)(2,-1)xy题型三：根据平面区域写出二元一次不等式（组）题型三：根据平面区域写出二元一次不等式（组）例例3、写出表示下面区域、写出表示下面区域的

10、二元一次不等式组的二元一次不等式组解析：边界直线方程为解析：边界直线方程为 x+y-1=0 x+y-1=0 代入原点（代入原点（0 0，0)0) 得得0+0-10+0-10 0 即所求不等式为即所求不等式为 x+y-10 x+y-10典例精析典例精析题型三：根据平面区域写出二元一次不等式（组）题型三：根据平面区域写出二元一次不等式（组）例例3 3、写出表示下面区域的二元一次不等式、写出表示下面区域的二元一次不等式x xy y-2-2o o1 11 1-1-1x-2y+2x-2y+20 0y-1y-1绿色区域绿色区域蓝色区域蓝色区域x-2y+2x-2y+20 0y-1y-1x+y-10 x+y-

11、10 x+y-10 x+y-10紫色区域紫色区域黄色区域黄色区域根据平面区域写出二元一次根据平面区域写出二元一次不等式（组）的不等式（组）的步骤：步骤：方法总结方法总结求边界直线的方程求边界直线的方程代入区域内的点定号代入区域内的点定号写出不等式（组）写出不等式（组）题型五：综合应用题型五：综合应用解析：解析： 由于在异侧，则（由于在异侧，则（1 1，2 2）和（）和（1 1，1 1）代入代入3x-y+m 3x-y+m 所得数值所得数值异号异号，则有（则有（3-2+m3-2+m）（）（3-1+m3-1+m） 0 0所以（所以（m+1m+1）(m+2) 0(m+2) 0即：即：-2m-1-2m-

12、1试确定试确定m m的范围，使点（的范围，使点（1 1，2 2）和）和（1 1，1 1）在）在3x-y+m=03x-y+m=0的的异侧异侧。例例4 4、变式变式: :若在若在同侧同侧，m m的范围又是什么呢？的范围又是什么呢？解析解析：由于在同侧，则（由于在同侧，则（1 1，2 2）和（）和（1 1，1 1）代入代入3x-y+m 3x-y+m 所得数值所得数值同号同号，则有（则有（3-2+m3-2+m）（）（3-1+m3-1+m） 0 0所以（所以（m+1m+1）(m+2)(m+2) 0 0即：即：m -2m 0(或或0y01223314455xy03x +y=10 x +4y=11解：解：由

13、题意得可行域如图由题意得可行域如图: 由图知满足约束条件的由图知满足约束条件的可行域中的整点为可行域中的整点为(1,1)、(1,2)、(2,1)、(2,2) 故有四个整点可行解故有四个整点可行解. 例例3：某工厂生产甲、乙两种产品：某工厂生产甲、乙两种产品.已知生产甲种产品已知生产甲种产品1t需消耗需消耗A种矿石种矿石10t、B种矿石种矿石5t、煤、煤4t；生产乙种产；生产乙种产品品1吨需消耗吨需消耗A种矿石种矿石4t、B种矿石种矿石4t、煤、煤9t.每每1t甲种产甲种产品的利润是品的利润是600元元,每每1t乙种产品的利润是乙种产品的利润是1000元元.工厂工厂在生产这两种产品的计划中要求消

14、耗在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过种矿石不超过300t、 消耗消耗B种矿石不超过种矿石不超过200t、消耗煤不超过、消耗煤不超过360t.若你是厂长若你是厂长,你应如何安排甲乙两种产品的产量你应如何安排甲乙两种产品的产量(精确精确到到0.1t),才能使利润总额才能使利润总额达到最大达到最大?某工厂生产甲、乙两种产品某工厂生产甲、乙两种产品.已知生产甲种产品已知生产甲种产品1t需消耗需消耗A种矿石种矿石10t、B种矿石种矿石5t、煤、煤4t；生产乙种产品；生产乙种产品1吨需消耗吨需消耗A种矿石种矿石4t、B种矿石种矿石4t、煤、煤9t.每每1t甲种产品的利润是甲种产品的利润是600

15、元元,每每1t乙种产品的利乙种产品的利润是润是1000元元.工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不种矿石不超过超过300t、 消耗消耗B种矿石不超过种矿石不超过200t、消耗煤不超过、消耗煤不超过360t.若你若你是厂长是厂长,你应如何安排甲乙两种产品的产量你应如何安排甲乙两种产品的产量(精确到精确到0.1t),才能使利才能使利润总额达到最大润总额达到最大?分分析析问问题题:1.本问题给定了哪些原材料本问题给定了哪些原材料(资源资源)?2.该工厂生产哪些产品该工厂生产哪些产品?3.各种产品对原材料各种产品对原材料(资源资源)有怎样的要求有怎样的要求?

16、4.该工厂对原材料该工厂对原材料(资源资源)有何限定条件有何限定条件?5.每种产品的利润是多少每种产品的利润是多少?利润总额如何计算利润总额如何计算? 原原 材材料料每吨产品消耗的原材料每吨产品消耗的原材料A种矿石种矿石B种矿石种矿石煤煤甲产品甲产品(t)乙产品乙产品(t)1054449原原 材料限材料限 额额300200360利利 润润6001000 xtyt把题中限制条件进行转化：把题中限制条件进行转化：约束条件约束条件10 x+4y3005x+4y2004x+9y360 x0y 0z=600 x+1000y. 目标函数目标函数：设生产甲、乙两种产品设生产甲、乙两种产品.分别为分别为x t

17、、yt,利润总额为利润总额为z元元解解:设生产甲、乙两种产品设生产甲、乙两种产品.分别为分别为x t、yt,利润总额为利润总额为z元元,那么那么10 x+4y3005x+4y2004x+9y360 x0y 0z=600 x+1000y.画画出以上不等式组所表示的可行域出以上不等式组所表示的可行域作作出直线出直线L 600 x+1000y=0.解得交点解得交点M的坐标为的坐标为(12.4,34.4)5x+4y=2004x+9y=360由由10 x+4y=3005x+4y=2004x+9y=360600 x+1000y=0M答答:应生产甲产品约应生产甲产品约12.4吨，乙产品吨，乙产品34.4吨，

18、能使利润总额达到最大。吨，能使利润总额达到最大。(12.4,34.4)经过可行域上的点经过可行域上的点M时时,目标函数目标函数在在y轴上截距最大轴上截距最大.9030 0 xy10 201075405040此时此时z=600 x+1000y取得最大值取得最大值.4834291000411229360.y.x把直线把直线L向右上方平向右上方平移移实际问题实际问题线性规划问题线性规划问题寻找约束条件寻找约束条件建立目标函数建立目标函数列表列表设立变量设立变量转化转化1.约束条件要写全约束条件要写全; 3.解题格式要规范解题格式要规范. 2.作图要准确作图要准确,计算也要准确计算也要准确;注意注意:

19、 :结论结论1: 1:例例4.某工厂现有两种大小不同规格的钢板可截成某工厂现有两种大小不同规格的钢板可截成A、B、C三种规三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示 ： 解：解：设需截第一种钢板设需截第一种钢板x张，第二种钢板张，第二种钢板y张，张，钢板钢板总总张数为张数为Z,则则 规格类型规格类型钢板类型钢板类型第一种钢板第一种钢板第二种钢板第二种钢板A规格规格B规格规格C规格规格2121312x+y15,x+2y18,x+3y27,x0y0 某顾客需要某顾客需要A,B,C三种规格的成品分别为三种规格的成品分别为15，1

20、8，27块，块，若你是若你是经理经理,问各截这两种钢板多少张既能满足顾客要求又使所用钢板张问各截这两种钢板多少张既能满足顾客要求又使所用钢板张数最少。数最少。x张张y张张分分析析问问题题: :目标函数目标函数: z=x+y) )N Ny y, ,x x( ( x0y2x+y=15x+3y=27x+2y=18x+y =02x+y15,x+2y18,x+3y27,x0, y0直线直线x+y=12经过的经过的整点是整点是B(3,9)和和C(4,8)，它们是最优解，它们是最优解. 作出直线作出直线L:x+y=0，目标函数目标函数:z= x+yB(3,9)C(4,8)A(3.6,7.8)当直线当直线L经

21、过点经过点A时时z=x+y=11.4,x+y=12解得交点解得交点B,C的坐标的坐标B(3,9)和和C(4,8)2 4 6181282724681015但它不是最优整数解但它不是最优整数解.作直线作直线x+y=12答（略）答（略）约束条件约束条件:画可行域画可行域平移平移L找交点及交点坐标找交点及交点坐标) )N Ny y, ,x x( ( 调整优解法调整优解法1.满足哪些条件的解才是最优解满足哪些条件的解才是最优解?2.目标函数经过目标函数经过A(3.6,7.8)时时Z的值是多少的值是多少?你能否猜测一下你能否猜测一下Z的最小值可能是多少的最小值可能是多少?3.最优解的几何意义是什么最优解的

22、几何意义是什么 (最优解可以转化为什么几何意义最优解可以转化为什么几何意义)?x0y2x+y=15x+3y=27x+2y=18x+y =02x+y15,x+2y18,x+3y27,x0, xN*y0 yN*经过可行域内的整点经过可行域内的整点B(3,9)和和C(4,8)且和原点距离最近的直线是且和原点距离最近的直线是x+y=12，它们是最优解，它们是最优解.作出一组平行直线作出一组平行直线t = x+y，目标函数目标函数t = x+yB(3,9)C(4,8)A(18/5,39/5)打网格线法打网格线法在可行域内打出网格线，在可行域内打出网格线，当直线经过点当直线经过点A时时t=x+y=11.4

23、,但它不是最优整数解，但它不是最优整数解，将直线将直线x+y=11.4继续向上平移，继续向上平移，1212182715978n把实际问题把实际问题转化成转化成线性规划问题即建立数学线性规划问题即建立数学模型的方法。大致可分为以下三个步骤：模型的方法。大致可分为以下三个步骤：n （1）准确建立数学模型，即根据题意找）准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数；出约束条件，确定线性目标函数；n （2）用图解法求得数学模型的解，即画）用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取得出可行域，在可行域内求得使目标函数取得最值的解；最值的解；n （3）根据实际意义将数

24、学模型的解转化）根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得最优为实际问题的解，即结合实际情况求得最优解。解。 即先求非整数条件下的最优解，即先求非整数条件下的最优解，调整调整Z的值使不定方程的值使不定方程Ax+By=Z存在最大（小）存在最大（小）的整点值，最后筛选出整点最优解的整点值，最后筛选出整点最优解 即先打网格，描出可行域内的即先打网格，描出可行域内的整点整点，平移直线，最先经过或最后经过的整点平移直线，最先经过或最后经过的整点坐标即为最优整解坐标即为最优整解线性规划求最优整数解的一般方法线性规划求最优整数解的一般方法:1. 1.平移找解法：平移找解法： 2. 2.

25、调整优解法调整优解法：结论结论2: 2:n 已知：已知：-1a+b1，1a-2b3，求，求a+3b的取值的取值范围。范围。解法1：由待定系数法: 设 a+3b=m(a+b)+n(a-2 b) =(m+n)a+(m-2n)bm+n=1，m-2n=3 m=5/3 ，n=-2/3 a+3b=5/3(a+b)-2/3(a-2 b)-1a+b1，1a-2 b3-11/3a+3 b1解法2：-1a+b1，1a-2 b3 -22a+2 b2， -32 b-a-1 -1/3a5/3 -4/3b0 -13/3a+3 b5/3线性规划的应用线性规划的应用 已知：已知：-1a+b1，1a-2b3，求，求a+3b的的

26、取值范围。取值范围。321211babababa解法3 约束条件为：目标函数为：z=a+3b由图形知：-11/3z1即 -11/3a+3 b1280 xy 4x 3y Moxy246824N28 ,41 6 ,41 2 ,0 ,0 .xyxyxy 在线性约束条件在线性约束条件 下，下，求（求（1 1）目标函数）目标函数 的最大值；的最大值； （2 2）目标函数）目标函数 的最大值和最小值的最大值和最小值. .2zxy zxy 20 xy0 xyAB 求求z=2x-yz=2x-y最大值与最小值最大值与最小值 。设设x,y满足约束条件：满足约束条件：作可行域（如图）因此z在A（2，-1）处取得最大

27、值，即Zmax=22+1=5；在B（-1，-1）处取得最小值，即Zmin=2（-1）-（-1）=-1。由z=2x-y得y=2x-z,因此平行移动直线y=2x，若直线截距-z取得最大值，则z取得最小值；截距-z取得最小值，则z取得最大值.综上,z最大值为5；z最小值为-1.达标达标x-y0 x+y-1 0y -1解：y=-1x-y=0 x+y=1(-1,-1)xy011A AB BC（2，-1）y=2x 求求z=-x-yz=-x-y最大值与最小值最大值与最小值 。设设x,y满足约束条件：满足约束条件：作可行域（如图）因此z在B（-1，-1）处截距-z取得最小值，z取得最大值即Zmax=2；在边界

28、AC处取得截距-z最大值，z取得最小值即Zmin=-2-（-1）=-1。由z=-x-y得y=-x-z,因此平行移动直线y=-x，若直线截距-z取得最大值，则z取得最小值；截距-z取得最小值，则z取得最大值.达标达标x-y0 x+y-1 0y -1解：y=-1x-y=0 x+y=1(-1,-1)xy011A AB BC（2，-1）y=-x咖啡馆配制两种饮料甲种饮料每杯含奶粉咖啡馆配制两种饮料甲种饮料每杯含奶粉9g 、咖啡、咖啡4g、糖、糖3g,乙种饮料每杯含奶粉乙种饮料每杯含奶粉4g 、咖啡、咖啡5g、糖、糖10g已知每天原料已知每天原料的使用限额为奶粉的使用限额为奶粉3600g ，咖啡，咖啡2000g糖糖3000g,如果甲种饮如果甲种饮料每杯能获利料每杯能获利0.7元，乙种饮料每杯能获利元，乙种饮料每杯能获利1.2元，每天在原料元，每天在原料的使用限额内饮料能全部售出，每天应配制两种饮料各多少的使用限额内饮料能