含有耦合电感的电路

1、第5章含有耦合电感的电路内容提要15本章主要介绍耦合电感的基本概念和基本特性,同时介绍同名端的概念及使用方法，重最后介绍空心变压器及理想变压点介绍采用消耦法求解含有耦合电感电路的分析计算方法, 器的工作原理，特性方法式及其分析计算方法。§ 5.1互感当一个线圈通过电流时， 在线圈的周围建立磁场， 如果这个线圈邻近还有其它线圈，则载流线圈产生的磁通不仅和自身交链，而且也和位于它附近的线圈交链，则称这两线圈之间具有磁的耦合或说存在互感。载流线圈的磁通与自身线圈交链的部分称为自感磁通,与其它线圈交链的部分称为互感磁通。5.1.1互感及互感电压如图5-1所示，两组相邻线圈分别为线圈I和线圈n

2、,线圈I的匝数为N1，线圈n的匝数为N2。设电流h自线圈I的“ 1”端流入，按右手螺旋定律确定磁通正方向如图 所示，由h产生磁通申11全部交链线圈I的N1匝线圈，而其中一部分21，不仅交链线圈I而且交链线圈n的 N2匝线圈，我们定义11是线圈I的自感磁通，21是线圈I对线圈n的5-1互感磁通。这里的线圈I通过电流i1产生了磁通，我们将这种通有电流的线圈称为载流线圈 或施感线圈，流经线圈的电流称为施感电流。同理如果在线圈n中通入电流 i2 ,由电流i2也会产生线圈n的自感磁通 22和线圈n对线圈I的互感磁通仁。说明：磁通(链)下标的第一个数字表示该磁通链所在线圈的编号,第二个数字表示产生该磁通(

3、链)的施感电流的编号， 接下来研究的使用双下标符号的物理量，其双下标的含义均同上。当载流线圈中的施感电流随着时间变化时，其产生的磁通链也随之变化。根据法拉第电磁感应定律，这种时变磁通在载流线圈内将会产生感应电压。设通过线圈I的总磁通为，则有一申 +半(5 1)1 一 11 丁 12(5-1)其中自感磁通 巴1与N1匝线圈交链，对于线性电感则有自感磁通链屮11为屮 11 ="冷1 =*(5-2)式(5-2)中，L1称为线圈I的自感系数，简称自感，单位为亨利简称亨(H ）。图5-1互感和互感电压当感应电压与施感电流取关联参考方向时，-dtU11自感电压与施感电流的关系式为dS , di1

4、=L1 dt dt(5-3)设由i2产生的磁通中部分磁通巴2与线圈I的Ni匝交链，则有互感磁通链(5-4)式（5-4）中，M12称为线圈n对线圈I的互感系数，简称互感，单位为亨利简称亨（H ）。当载流线圈的施感电流随着时间变化时，其产生的互感磁通链也随之变化。根据法拉第 电磁感应定律，这种时变磁通在与其具有磁耦合的线圈内产生感应电压，称为互感电压。当互感电压的参考方向与互感磁通满足右手螺旋关系时，则有(5-5)d 屮 12dM12i2_ di252 = M 12 dt dtdt把具有磁耦合的一对线圈理想化，即忽略线圈的电阻和匝间电容，称为耦合电感。r 2(a)22(b)图5-2耦合电感同理，设

5、电流i2自线圈n的 通为爲，有2”端流入，如图5-2（a）所示,设通过线圈n的总磁其中自感磁通申22与N2交链,则有自感磁通链(5-6)式中L2为线圈n的自感系数，单位H（亨利）。设h所产生的磁通中有部分%1与线圈n的N2匝线圈交链，则互感磁通链(5-7)屮 21 = 2% = M 21：1式(5-7)中M 21为线圈I对线圈n的互感系数，可以证明 M 21 =M 12 =M 。在图5-2 (a)中自感磁通与互感磁通具有相同的方向，因此每个线圈的总的磁通链分别为自感磁链与互感磁链之和屮 1 =屮11 +屮 12 =N1(41 +帕)=L1i1+Mi2(5-8)屮2 =屮22 中屮21 = N2

6、(屯2 +如1)= L2i2 + Mh(5-9)当施感电流与该线圈的端口电压取关联参考方向时有d屮1. dh丄"di2丄比=L-1 + M = U11 + U12dt 1 dt dt 1112(5-10)d屮2U2 =dtdi2di1=L2 + M =U22 + U21 dtdt(5-11)其中Uii、U 22表示自感电压，Ui2、U 21表示互感电压，可见端口1-1处的电压比和端口 2-2'处的电压u2是自感电压与互感电压之和，在不改变绕线方向的前提下，将电流i2自线圈n的“ 2”端流入，如图5-2 (b)所示。因此每个线圈的总的磁通链根据右手螺旋定则可以判定自感磁通与互感

7、磁通方向相反, 分别为自感磁链与互感磁链之差:屮1 =屮11 屮 12 =N1g -幅)=L1i1-Mi2屮2 =屮22 屮21 = N 2 (直一幅1) = Mi 1当施感电流与该线圈的端口电压取关联参考方向时有：U1 dt=L1 鱼-Mffdt dt(5-12)d屮2U2 =dt丄业-M 型二 U22-U21dt dt(5-13)其中U11、U 22表示自感电压，U12、U 21表示互感电压，可见端口1-1处的电压比和端口 2 -2处的电压u2是自感电压与互感电压之差，通过上述分析可知，在磁耦合中互感的作用有两种，一种是互感磁通链与自感磁通链方向一致，同极性迭加使磁场得到了加强,称为同向耦

8、合。一种是互感磁通链总是与自感磁通链方向相反，使得反极性迭加磁场削弱,此时称为反向耦合。 互感磁通与自感磁通的方向相同还是相反，不仅与线圈的绕行方向有关,而且与施感电流的方向有关。5.1.2同名端当施感线圈中的电流参考方向与自感电压取关联参考方向时，自感电压前的符号为正,即Ldt前取正，当施感线圈中的电流参考方向与自感电压取非关联参考方向时，自感电压 dtH :前的符号取负，互感电压 M 前的符号也可为正或为负，而互感电压前的正负符号是要由 dt两线圈的绕向以及施感电流的参考方向和受感线圈电压的参考方向来决定。工程实际中，一般线圈都是要包上绝缘层密封起来的，因此绕组的实际绕向是不易看出的，并且

9、在电路图中画出线圈的绕向是很不方便的。为了在电路中分析避免显示线圈的绕向，习惯上通过标记同名端来判断互感电压前的正负号。所谓同名端就是在两个线圈上事先标上记号”，标有的两个端钮称为同名端,不标“”的两个端钮也是同名端，如图5-3所示,电流ii和i2分别从同名端的端子流入时,则两个线圈中的自感磁通与互感磁通是增强的,互感电压前的符号为“ +”，当电流i 1和i2分别自异名端流入时，则两个线圈中的自感磁通与互感磁通是削弱的，互感电压前的符号为+U1L1一1 hi2Y .r-2 +"5 i2+ 1?厂U1U2(b)(a)图5-3耦合电感的符号和同名端在施感电流与自感电压取关联参考方向下，有

10、d屮 1, di1 丄一 di2比=L1 ± M 1 dt 1 dt dt _押2di2 “ di1dtdt dt(5-14)式(5-14 )即为耦合电感的伏安特性。在图5-3 (a)电路中M取“ +”号，在图(b)中M取“-”号。在工程上，有时耦合线圈被封闭，同名端不确定，可以用以下试验测定同名端，如图5-4所示。当k闭合时，电压表正向偏转时，表明“1 ”与“ 2”为同名端，这是因为当电流ii自线圈I的“ 1”流入时，电压表正向偏转说明在线圈n感应的互感电压的高电位端在“ 2”端。上述实验同时也表明， 电流自一个线圈的同名端流入，则在另一个线圈感应的互感电压的“+”极在同名端(即互

11、感电压的高电位在同名端)。例5-1电路如图5-5所示，试分析当开关 k打开瞬间，端钮2、2的极性。图5-5例5-1图分析：取端口 2-2处电压U与电流i2为关联参考方向，因此有开关打开瞬间有 一0,所以UCO，得到正极实际在2端。 dt例5-2耦合电感如图5-6所示，试列写端口电压表达式。对于(a)图有:对于(b)图有:说明:(1)ii+ O>Ui>->A 、1VsU2Ui0 + a1(a)iii 22U2图5-6 例题5-2图di2dii-U2 -L2+ Mdtdt,di2diiU2 L2-Mdtdt(b)diddi2Ui =Li +M , dtdt,dii R” di2-

12、Ut = L1 M dt dt第一项为自感电压，在电压和电流取关联参考方向时，为正，反之为负。第二项为由一个线圈的电流在另一个线圈中感应的互感电压，当电流从同名端流入时取”，即自感电压与互感电压的极性相同，电流从异名端流入时取“-”即自感电压与互感电压的极性相反。工程上为了定量描述两个耦合线圈的耦合紧疏程度,把两线圈的互感磁通链与自感磁通的比值的几何平均值定义为耦合系数，用小写字母k表示:(5-15)其中，屮 11 =耳1，屮 12 =Mi2，屮21 =Mi1，屮22 =L2i2，代入式（5-14 ）则:(5-16)根据自感和互感的定义可知k的取值范围为0 <k <1，当k = 1

13、时，M max = JLT；，这种情况称为全耦合，是一种理想状态，当k接近于1时，称为紧耦合；k远小于1时，称为疏耦合；k=0时，说明两个线圈不存在磁的耦合。耦合的紧疏程度可以通过改变位置实现,从而改变k值，如图5-7所示。为了使得k值尽可能接近于1，可以采用双线绕制如图（a）,还可以在两组线圈内部加入铁磁性材料制成的心子,若使k值尽可能小，一般采用屏蔽手段,大大减小互感的作用，还可将两线圈的轴线相互垂直布置如图（b）所示。紧耦合(a)(b)疏耦合图5-7耦合的两种状态§ 5.2含有耦合电感电路的计算正弦激励作用的含有耦合电感电路的计算与前面介绍的正弦稳态电路的分析不同之处在于耦合电

14、感的端口电压不仅与自身线圈内的电流有关，还和与其具有耦合关系的线圈内的电流有关，若能把这种具有磁耦合关系的电感进行等效变换解除耦合关系即完成去耦,就可以将含有耦合电感电路的计算问题运用正弦稳态电路的分析方法进行处理,因此解决含有耦合电感电路的计算问题其关键在于解耦。F面讨论几种常用的解耦方法。5.2.1.等效参数法等效参数法是耦合电感分别为串联和并联连接方式下，求取其等效电感参数，则耦合电感在电路中的电磁作用可以用求取的等效电感代替从而实现解耦。一、耦合电感的串联首先，我们来分析耦合电感的串联， 如图5-8所示，这样将四端元件耦合电感变为二端元件。图5-8(a)接法称为顺接，其电流从同名端流入

15、，图5-8(b)接法称为反接，其电流从异名端流入。L2I_o_o b+ Ui -+ U2 -i _(a)顺接(b)反接a 0S二_4 二_A b + Ui -+ U2 -Uabj(L1 +L2 ±2M)|I =Zeq图5-8耦合电感的串联在图 5-8(a)中Ui=L1 生， U2=L2'd + m2dt dtdt dtdi diUab =U1+U2=(L1+L2+2M)临将L = J +L2 +2M，称为顺接串联耦合电感的等效电感。在图 5-8(b)中Ui=Li8M?，u2=L2W-M0dt dtdt dtdi diUab =Ul+U2=(Ll+L22MG=Ldf将L =Li

16、 +L2 -2M，称为反接时串联耦合电感的等效电感。当 k =i 时，Mmax mJLLT，因此 L =Li +L2 2Mmax =Li + L2 27 =(松jU)2 A 0 ,因此有等效电感L >0。L =Li +L2±2M 等效代可见，串联耦合电感在电路中所起的作用可以用一个电感元件 替，其±的选取由顺、反接决定。在正弦电流的情况下，由相量法则有jwLjl ± j©Mli = jXL1|l ± jXM |1U>2j0SL2ll± j®M|l = jXL2|I ± jX M 1其中© Li

17、和© L2称为自感抗用X L1和X L2表示，© M称为互感抗用X M表示，乙q =j©(L,+L2 ±2M)称为等效复阻抗。二、耦合电感的并联耦合电感的并联同样也有两种接法，如图5-8所示。图5-8( a)电路，线圈的同名端在5-8( b)所示称为异侧并联。同一侧，称为同侧并联，当异名端连接在同一结点上时，如图_s i?JLi0' fi+ai2同侧并联情况异侧并联情况:(a)同侧并联(b)异侧并联5-8耦合电感的并联U = Li+ Mdtdtdi2diiu = L2 + Mdtdti i +i2u =Li 岂-Mdtdi2dtU丄些-Mdt d

18、ti =ii +i2在正弦电流的情况下、按照图5-8中所示的参考方向和极性可得下列方程d jLiIi ±jMll2d = jgL ±j©MihI=ll+I2±的选取由同侧并联和异侧并联决定, 可得同侧并联取+,异侧并联取-。L2 ±Md11 2ja(LiL2 M )Li±M 2d j©(LiL2 M )又因 |1 =i1 +il2经整理得2L1L2 M式中L = 卄 为等效电感，同侧连接取负号、异侧连接取正号。Li +1_2 ±2M522互感消去法3上，另一端分别与如图5-8所示的电路，有磁耦合的两线圈只有一端相连

19、接在节点节点1、2相连。可以把这种电路化为如图5-9所示的无耦合等效电路，这种方法称为互感消去法。其中图5-8(a)为某电路的一部分，两个互感支路的同名端连接在一起，并与图5-9(a)对应，图5-8(b)为两个互感支路的异名端连接在一起，则与无互感的耦合等效电路为图5-9(b)相对应。用上述的等效方法求含有互感耦合电路的等值阻抗特别方便。 I L1 -M kLV *丄2L1(IE L2Q扣2 ML, +M、'i1-rc-x*MLM-M(a)同侧(b)异侧(a)同侧(b)异侧对于图5-8图5-8(a)所示电路有两耦合线圈一端相连图5-9去耦等效电路Ui3 = L1 +j©Mll

20、2U23=j©L2ll2 +j©M|1由于|1 =|li +1I2，那么电压Ul3和U23可写为Uli3 = joLi + j«M (I 1I1) = j«(Li M )lli + j©Mi(5-17)U2jG)L2|i<Hj©M (|1 iL) = j©(L2 M ”2 + jMlI(5-18)根据式(5-17 )和式(5-18 )建立的去耦等效电路如图5-9( a)所示,该等效电路中的电感元件之间已经不存在磁耦合，成为电感系数确定的独立线性电感元件,对于这样结构和参数确定的电路进行分析， 其响应与参考方向的选取无关

21、，因此，尽管去耦等效电路是在指定的电压和电流参考方向后推导得到的，但等效电路中的元件参数仅取决于耦合电感的连接方式，而与电压、电流的参考方向无关。 同理，对于图5-8( b)所示电路有ul13 =j©L1l1 -j©MI(2U23 = j©L2i2-jBMll1由于|l=|li+|l2,那么电压相量Ui3和U23可写为U(1 j0L1IjO5M (ll1I)二同山 +M)I)1 j 时 Mil(5-19)U23 =j讥2II2 +j«M (|l "2) = jB(L2 +M 02 QM|I(5-20)根据式(5-19 )和式(5-20 )建立的

22、去耦等效电路如图5-9( b)所示。由此可得出结论，当有耦合的两线圈有一端相连于同一节点时，可通过连接于此节点的第三条支路消去耦合。前面所述的两磁耦合线圈的并联属于这种情况的特例,所以可以用这种方法消去磁耦合，读者可以自行验证，应当注意的是采用互感消去法所需满足的电路结构条件是必须有三条支路汇于一点，且其中两条支路上有磁耦合的线圈，这是因为在上述推导 过程中使用了 I =ll1 +1I2的约束条件，因此电路结构必须满足此约束条件。当电路中不满足上述互感耦合支路的连接结构条件时，不能采用此法解耦， 可考虑采用其他方法解耦，如采 用等效受控源法。5.2.3等效受控源法引入电流控制电压源等效受控源法

23、是从耦合电感的端口电压与电流的相量表达式出发,实现耦合电感的解耦的方法，其适用于一切耦合电感电路，是处理含耦合电感电路的有效方 法。如图5-10所示的耦合电感，其端口电压、电流关系相量形式为:也=j©L2ll2 ±j©Mll1其中同向耦合取+,反向耦合取-。根据上述表达式，引入受控电压源，如图5-10(b)( c)所示的等效电路。(a)(c)2+ LU1+ 4>- 妙皿讥0 j©MliUi - 丫- U'2-tf0+丄同向耦合的耦合电感(b)-廿2I2同向耦合等效电路LiU1叱I+-J7 t UKU22P+1 U2-反向耦合的耦合电感(b)

24、jOOMQ 陶mI U14*+L1 /D1<e反向耦合等效电路L2图5-10等效受控源法综上所述,处理含有耦合电感电路的方法有三种，一种是等效参数法，处理耦合电感的直接并联或串联。第二种是消耦法，处理有一个公共支路的耦合电感。第三种是等效受控源法，适用于任何情况。§ 5.3含有耦合电感电路的计算耦合电感在工程中有着广泛的应用,是现行电路中一个重要的多端元件。分析含有耦合电感元件的电路问题， 重点是把握这类多端元件的特征。耦合电感的电压不仅与本电感的电流有关，还与其他耦合电感的电流有关，这种情况类似于含有电流控制电压源的电路。分析含耦合电感的电路一般常用的方法有列方程分析和等效电

25、路分析两类。考虑到耦合电感的特性，在分析中要注意以下特殊性:(1)耦合电感上的电压与电流关系(VCR式的形式与同名端位置有关,与其上电压和电流参考方向有关，这是正确列写方程及正确进行解耦等效的关键。(2)由于耦合电感上的电压是自感电压和互感电压之和，因此列方程分析这类电路时,如不做解耦等效，则多采用支路电流法，不可直接应用节点电压法。(3)采用受控源模型解耦不受电路结构条件限制，是一种普遍适用的解耦方法，且对解耦后的无耦电路，可采用等效变换法，支路法，回路法,节点法等各种分析方法求解电路响应。(4)采用等效参数法或互感消去法解耦时，需要满足特定的电路结构条件。(5)应用戴维宁定理(或诺顿定理)

26、分析时，等效内阻抗应按含受控源电路的内阻抗求解法，但负载与有源二端网络内部有耦合电感存在时,戴维宁定理(或诺顿定理)不便使用。例5-3电路如图5-11( a)所示，若电源频率及元件参数均已知,试列写求取支路电流Ic2的方程。R1 厂M、C2RiLd C1 L2町卩2II汁2c2c2(b)(a)图 5-11 例 5-3解：(1)应用等效受控源法，等效解耦电路如图(b)所示，有(R + j 讥1)ll1 -了讥肌=U jMlI?(j«L1 +jO；)L2 +-)1(2 妙気冏|_21(3 = je)M|l2 妙皿山j«C2+QL2)|Il3 j讥2Il2 FMlkUi =6V，

27、求端口的戴维宁等效电路及最大传输功率。Ui+)c a +Uab(b)图 5-12(c)例5-4图R1L1-ML2 M Ir 一I d wa +解：(1)采用受控源等效法，将电路等效为图5-12 (b),设 5 =6NOOVU16N000 =0.38Z 39.80AR+R2+ 冋 12 + j1015.6N39.8ulOc =I(R, +jK)Mlli =(6+5j)x0.38Z-39.8° =7.8239.8° X 0.3d-39.8° =2.96V(2)采用互感消去法，将电路等效为图5-12(c),直接应用阻抗串并联求等效阻抗。Zeq =(尺 +jBL1-j(a

28、M )| R + 血M + jLpM=(6 +j10-j5)|(6 + j5) + j10-j5=(3 + j7.5)0最大功率传输：当 Zl = Zeq = (3-7.5j)0P上 max d 4Req詈 0.73W例5-5求如图5-13(a)所示电路中的网孔电流。j8Q100Z0 4)图 5-13 例 5-5 图(a)解：方法一 分别对两个网孔列写回路电压方程5017在网孔1内，取自感抗为j6的线圈的自感电压相量与电流 I：为关联参考方向，支路电流t iL从“.”端流入该线圈，电流I *j8l1+(5 +j18)|2可见，利用互感消去法可以使分析变得简便。例5-6电路如图5-14 (a)所

29、示,已知R =£5， 咖=60, U =50V，试求开关K打开及闭合时电流从异名端流入自感为j8的线圈，根据KVL ,_100 + (4 -j3) *+ j6(l*-*) -j2* =2整理，得(4 +j3)*-j8* =100在网孔2内，取自感抗为j8的线圈的自感电压相量与电流*2为关联参考方向，电流*2和图5-15例5-7图23支路电流h -II2分别从异名端流入线圈，根据KVL，有(5 +j8)|2 + j6(l 2_|1) +j2|2 + j2(|2-|：) =0整理，得* *-j8|1 +(5 + j18)|2 =0联立求解得1： =20立3.5 A* =8.69319 A

30、方法二 互感消去法，画出等效电路如图5-13(b)所示，其中一对耦合电感是异侧相连。40-j30 -j迪j1°0j-nJ_I+1000 vC)j8Q50图 5-13 例 5-5 图(b)列网孔方程为(4 - j5) l： + j8(l：-I：) =100* * *j8(|2 11) +(5 +j10)|2 =0R2 =血，蛍 Li =7.曲， L2 =12/，整理，得+ “7jOOL2I + a-(a)(b)Ra(c):Lt+MU 1L2 +M'.J"1-MR2T1I2图5-14 例5-6图解：(1)当开关K打开时，耦合电感为顺接串联，设U50U =50R。50=

31、1.5M -75.96 All =R+R2 +j©(L<hL<h2M)8 + j(12.5+7.5+6)8 + j26(2)当开关K闭合时，如图5-14 (b)所示。(R + 他 Li)I + jMlh =UjMlI +(R2 +L2)I0代入数据联立得到l68l2.2158.20l1A-6j6N -90°解得：ih =3.52150.55 AI =7.8851.25：'A代入(3 +7.5j) +)6 =50同样可以采用互感消去法，等效电路5-14图(c)所示。ljc(Li +M) +R1 + ll1j©(L2 +M) + R2 =Jl1j&

32、#169;(L<M ) + Rd =-创1)2I1 +I2 =I可见当lI H0,则I0若原电路中L1与L2间不存在互感耦合，则 K闭合后h必为0,而这里其值不为零说明有电磁能从耦合电感L1 一边传输到L2 一边。根据图5-14所示参考方向，电路方程为瞬时吸收的功率为其中iM也diM + R? h + L2 dtRd2 +. + iMdt0dtdiidi1i1M 虫+ R2i12 +2二=0dtdt和i1M分别是线圈1中和线圈2中的一对通过互感电压耦合的功率（吸dt dt收）。通过它们实现耦合电感线圈间电磁能的转换和传输。现讨论正弦稳态下的电能通过互感转换和传输状态。开关闭合时两个线圈所

33、在支路的复功率分别为§1和§2，计算如下S =U(il* =ul =(R +j(sL1)l( + joMlIj* =(尺 +j©L1)|2 +j(sMl1(*§2 =2|1* =jO5Mll +(R2 + j©L2)ll1i； =jO5MlH 1* +(R2 +血 L2)l12 =0其中互感电压耦合的复功率jcMl1 l*和jMII；虚部同号，实部异号，这说明耦合复功率中的有功功率是大小相等且相互异号的，即有功功率从一个端口进入必须从另一个端口输出，是互感非耗能特性的体现；虚部同号说明耦合复功率中的无功功率是相同的,也就是说互感电压在两个线圈中

34、产生的无功功率对自感电压在两线圈中产生的无功功率的影响、质是相同的，这是耦合电感本身的电磁特性确定的。需要特别指出的是互感在储能特性上不仅可能呈现电感效应也有可能呈现电容效应,当同向耦合时呈现电感效应,反向耦合时呈现电容效应，与自感储存的磁能进行互补。例5-7电路如图5-15所示，已知电压源 5刃2其有效值为50V,Ri=3fJ，R2 =50，讥1 =7.52 ©L2 =12.50, ©M，分别计算线圈所在支路的复功率。I1+U1R1R2+O U2解：根据图5-15所示电压与电流关系方程为Ui = j©Lil 1 + j©Ml2 + RiliU = jc

35、L2l joMI + R212已知Ui =U 2联立方程可得到l1jL2 +R2 jcM )U 1(仙 +&)(同2 +只2)+ feM)2I2(j©Li +Ri j©M )U2= 2(j©L1 +R1)(j©L2 +R2)+(©M)2设6 =U 2 =5ONO0V ,代入数据得到I1250 + j325 -42.75 + j75 2(j(aLR1)(j©LR2pHM )2=410乂52.434.7N _67.26° A86.3血119.690150 + j75(joL1 +尺)(阴2 +R2)+(M)2 -42.7

36、5 + j75(jcL1 +R -j©M)U2=咐花26.57。93.120 a86.3d119.690线圈1和线圈2所在支路吸收的复功率分别为二山* njaj +RJI； +j©MI)2ll； =(3+j7.5)X4.72 +6jX1.94Z93.12oX4.7N67.260= (66.27 +j165.68) +(23.86 +j49.23)V ”AS2=U2ll2 =(jcL2 +R2)I； + jojMilJ； =(5 +j12.5)x1.942 +6j X4.7N -67.261.993.12°= (18.82+j47.05) +(23.86 + j49

37、.23)V A可以看出耦合互感复功率吸收的无功功率使得两个线圈自感吸收的无功增加了相同的值，这是互感M同向耦合作用的结果，耦合互感M从线圈1所在支路吸收了 23.86W有功功率传输给线圈2,被R2消耗了 18.82W后仍有5.04W剩余，返回给电压源 U2，这种对有功功率过量吸收的现象称为 “过冲”。清晰可见有功功率从左边电源 U1发出，供给了 R1和R2消耗仍有剩余传输给了右边电源 U 2吸收。耦合电感在这个过程中起到了能量的转换和传递作用。变压器正是基于耦合电感传递能量的电磁特性研制并广泛应用的。§ 5.4变压器的基本原理变压器就是一种基于电磁互感应原理，借助耦合电感由一个电路向

38、另一个电路传输能量,+u；DCOR1j«Li* j«LU22RljXL或信号，同时变换电压， 电流和阻抗的器件， 是耦合电感应用于工程实际的典型实例。在电 器设备和无线电路中，变压器常用作升降电压、匹配阻抗和安全隔离等，这将在其他专业课 程中专门阐述，这里仅对电路原理进行简要的介绍。本章研究的变压器是由两个耦合线圈围绕在一个公共的芯子上制成的。其中，一个线圈;另一个线圈做为做为输入端口，接入电源后形成回路，称为一次回路（原边或初级回路） 输出端口，接入负载后形成回路称为二次回路（副边或次级回路）5.4.1空心变压器不含铁心（或磁芯）的变压器称为空心变压器，是线性电感电路，耦

39、合系数较小，多用在无线电技术和某些测量设备中，可以用一般含有互感电路的分析方法来计算，其电路模型 如图5-16所示。l112 12Z； =M）2Y22为副边对251j讷图5-16空心变压器电路模型在正弦稳态条件下，有(尺 + j 叫)h +j©Ml2 =5(5-21)路阻抗，Zm = jeoMl1U1U1=u"乙 1 -ZMY22 "乙1 +gM)2Y22 " Zi(5-23)I2_ -ZmY11U1>22 -ZMY11_-j讪Y11U1"乙2 +&m)2Y11(5-24)(5-22)(R2 +21_2 +Rl + jXL)l2

40、+ jtMh =0令Z11 =R1 + j©L1，称为一次回路阻抗，Z22 =R2 + j©L2 +Rl + jXL，称为二次回称为互阻抗，由上面方程（5-21）和（5-22）可求得式中乙=Z11 +（CM）2Y22，称为一次等效回路输入阻抗，令原边的引入阻抗（反映阻抗），是二次回路由于互感作用对一次回路产生的影响用一个等效 参数来表示，即反映阻抗可简化计算，表现了一次回路与二次回路之间由于互感作用实现复 功率传递的平衡关系。令 Z2 =（M ）2Y,1为原边对副边的反映阻抗，是一次回路由于互感作用对二次回路产生的影响，性质与Z22相反,根据式(5-23)可以得到一次回路等

41、效电路图即感性(容性)变为容性(感性)。,如图5-17( a)；同理，根据式(5-24)可以得到二次回路等效电路图，如图5-17 (b)。(a)一次侧等效电路(b)二次侧等效电路图5-17空心变压器的解耦等效电路31令l2 = 0,此含源端口在2-2的开路电压Uoc = jtMY 11U1，戴维宁等效阻抗ZeR2+joLM)2Yli。例 5-8 电路如图 5-17 所示，已知 R =只2 = 0, L1=5H , L2 = 3.2H, M =4H ,U1 =100cos(10t)V , Zl =Rl +jXL =100。试求变压器的耦合因数k和一次侧、二次侧电流i1和i2。解：变压器的耦合因数

42、 k为二次侧的等效电路U22，=Uoc = jMY11U1 =0.8U1，Zeq =®M)2Y11 + jL2 =0则二次侧的电流为12一次侧的电流为11乙1U12 = (0.064-0.02)6 = 0.067U 上-17.35+ (咖)2丫22 时域形式表示为i2 = 8cos(10t)A5.4.2理想变压器理想变压器是根据铁心变压器的电气特性抽象出来的磁耦合元件，它的图形符号如图5-18所示。1_ _n： 1图5-18理想变压器电路它的两个互感线圈也称作绕组，与电源相接的线圈称为原边（初级）或原绕组，与负载相连的线圈称为副线圈、副绕组或副边。原副绕组在共同的铁心上彼此绝缘，故负

43、载与电源 无电的连接，铁心变压器的性能在电机拖动课程中将详细分析，这里使之理想化成为理 想变压器，所得结果与实际情况相接近。、理想变压器的伏安特性根据理想变压器的模型图5-18中所示参考方向和同名端有:(5-25)ui (t) = nu2(t)(5-26)其中，N1为理想变压器初级绕组的匝数，N2为次级绕组的匝数，n =旦 称为匝数比,N2即理想变压器的变比。若u1， u2参考方向的"十”极性端都与同名端相连，则u1 = nu2，若"十”极性端分别与异名端相连，则Ui = -nu2。对电流而言，若ii，i2参考方向分别从同名端同时流入（或1同时流出）时，贝y i1i2。若i

44、1，i2的参考方向分别从异名端同时流人（或同时流出）时,n1则 h = i2。n式（5-25）和式（5-26 ）表明，电压与电流经过理想变压器只是在数值上按比例地进行变化而不会出现时间上的超前滞后；理想变压器的特性只通过一个参数 n来表征，也就是通过 n表征原边与副边之间的电压和电流的变化关系，以及后面将讲到的阻抗的变化关系。在如图5-18所示电路中，在任何瞬间，理想变压器吸收的功率为P =P1 +p2 =U1（t）i1（t）+u2（t）i2（t）二口建川+円钝）=0（5-27）n式（5-27 ）表明，理想变压器任意时刻吸收的总功率为零，因此，理想变压器是一个即不耗能，也不贮能的无源元件， 它

45、把原边输入的功率全部传递到副边的负载。在传输的过程 中仅仅将电压、电流按变比作数值变换。在正弦稳态交流电路中，理想变压器伏安关系的相量形式为(5-28)- i -(5-29)Ii = 一一 I2n例5-9理想变压器的电流方向和同名端如图5-i9所示，试分别写出电压与电流关系式。Ui 2iiUii2U2iiUiU2理想变压器只有满足上述三个理想化条件才能使得式（5-25 ）和式（5-26 ）成立。n : i01C4n : in : i(a)(b)(c)图5-i9例5-9图解：对图5-i9(a)Ui = nu2i .i.ii = 一( 一i2)=i2nn对图5-i9 (b)5 = -nu2i .i.ii =-(-i2)=i2nn对图5-i9 (c)Ui = -nu2i .ii =一12n二、理想变压器的实现理想变压器应满足以下三个理想化条件:（1）变压器本身不能消耗能量，即导线的电阻为零，及无铁芯损耗（铁芯无涡流损耗及磁滞损耗）。（2）耦合系数k