圆的解题套路(word修订版)

1、套门派姓名丫啊丫泮模型一：伴随型相似（听说它比较容易？）识别模型：AB为圆0直径，AC为/ BAD角 平分线。CD丄AD。则可以证 ADC与ACB 相似。AD AC CDAC AB CBC为BE的中点，过点C作直线CD丄AE第一天例题1:如图，AB为O O的直径，点E在O O上,于D，连接AC、BC (1 )试判断直线CD与O O的位置关系，并说明理由;，求AB的长.变式1:如图，在 ABC中，/C=90。，点E在AB上，以AE为直径的O O切BC于点D , 连接AD (1 )求证：AD平分/BAC ;(2 )若0 O的半径为5, sin /DAC=匹，求BD的长.5第二天例题2 :如图，已知

2、O O是ABC的外接圆，AD是O O的直径，且BD=BC ,延长AD到E, 且有 /EBD= /CAB (1 )求证：BE是O O的切线;(2 )若BC5, AC=5，求圆的直径 AD及切线BE的长.变式1 :如图1 , AB为半圆的直径,0为圆心，C为圆弧上一点，AD垂直于过C点的切线，垂足为D , AB的延长线交直线CD于点E.(1 )求证：AC平分/ DAB ;(2)如图2，连接0D交AC于点若G,第三天变式2 : AB为O O的直径，C为O O上一点，AD与过C点的切线垂直，垂足为D ,连AC .(1 )求证：AC平分/ DAB ;，求 tan ZE.变式3 :如图所示， ABC内接于

3、O 0, AB是O O的直径，点 D在O O上，过点C的切线交AD的延长线于点 E且AE丄CE，连接CD .(1 )求证：DC=BC ;求tan /DCE的值.第四天变式4 :如图，已知以 RtKBC的斜边AB为直径作 ABC的外接圆O O，/ABC的平分线BE交AC于D，交O O于E,过E作EF/AC交BA的延长线于 F.(1 )求证：EF是O O切线;模型二：子母型and切割线（这是一个很深的坑）O求CB的值。模型识别：如左图：PR为圆0切线，PA为圆0割线。可证： PCRsA PRA。 从而：PBCA （这个比例式经常将CA进行转化。）第四天（先让我们来体会一个几何的连锁反应）如图：AB

4、为圆0的直径，过点 D的切线交AB的HR 1延长线于点 C,DH丄AR于H。若AR=10 , -,DH 2分析：这里有射影定理模型和切割线模型（能找到吗？），两个模型的线段之比可以不断转HB DH BD化：可以证明 DHB s/ahD, HDCB CDCD CAhbBDW 5,-(这里就有一个连锁反应：DH12BDDA解答:如图，D为O O上一点，点(1 )求证：CD是O O的切线;过点B作O O的切线交CDAHAD即:HB BD 1HD AD 2CBCDCDCA将射影定理和切割线结合到了一起！）第五天C在直径BA的延长线上，且/ CDA= /CBD .的延长线于点E, BC=6，器諾BD 3

5、.求BE的长.变式1 :如图，在O O中，AB为直径，0C丄AB，弦CD与OB交于点F,在AB的延长线上有点E,且EF=ED .(1 )求证：DE是O 0的切线;(2 )若0F : 0B=1 : 3 , O 0的半径R=3，求匹 的值.ADE变式2 :如图，AB为O 0直径，C是O 0上一点，CO丄AB于点0,弦CD与AB交于点F,过点D作/CDE，使/CDE= /DFE,交AB的延长线于点 E.过点A作O 0的切线交ED的延长线于点G.(1 )求证：GE是O 0的切线;(2 )若 0F: 0B=1 : 3，求 AG 的长.第八大例题2 :如图，在AABC中，AB=AC .以AC为直径的O O

6、交AB于点D ,交BC于点E.过E点作O O的切线，交AB于点F .(1 )求证：EF丄AB ;(2 )若 BD=2 , BE=3，求 AC 的长.变式1 :如图，以 AB为直径的O O交ABC的边AC于D、BC于E,过D作O O的切线交BC于F，交BA延长线于 G,且DF丄BC .(1 )求证：BA=BC ;(2 )若 AG=2，cosB=5，求DE的长.第七天变式：如图，在 ABC 中,CA=CB，以BC为直径的圆O O交AC于点G,交AB于点D ,过点D作O O的切线，交CB的延长线于点 E，交AC于点F.(1 )求证：DF丄AC .(2 )如果O O的半径为5，AB=12，求cos /

7、E.第八天(真正的子母型)例题4 :已知：在 RtKBD中，/ ABD=90。，以直角边AB为直径作圆 0交AD于C,取线段BD的中点E,连接CE交AB的延长线于P.(1 )求证：CP是O O的切线;(2 )点M是弧AR的中点，CM交AB于点N，若AB=4，求MN ?MC的值.fl变式：如图,已知 ABC，以AC为直径的O O交AB于点D，点E为AD的中点，连结 CE交AB于点F,且 BF=BC .(1 )判断直线BC与O O的位置关系，并说明理由;42, sinB=，求 CE 的长.5第九天变式：如图，D为O O上一点，点 C在直径BA的延长线上，且/ CDA= /CBD .(1 )求证：C

8、D是O O的切线;(2 )若 BC=6 , tan /CDA=寺，求 CD 的长.变式：如图，AB为O O的直径，CO丄AB于0 , D在O O上，连接 BD , CD，延长 CD与AB的延长线交于 E, F在BE上，且FD=FE .(1 )求证：FD是O 0的切线;(2 )若 AF=8 , tan /BDF=丄，求 EF 的长.4CA.A F类型三：等腰三角形与圆的交点(key-poi nt)如左图： ABC为等腰三角形，AB为圆0 的直径，贝U BC与圆0的交点D为BC的中 点。第十天例题1 :如图，在 ABC中，AB=AC，以AB为直径作O O ,交BC边于边D，交AC边于点G，过D作O

9、 O的切线EF，交AB的延长线于点 F，交AC于点E.(1 )求证：BD=CD ;(2 )若 AE=6，BF=4，求O O 的半径.c变式:点E,，求CF的长.在 ABC中，/ACB=90 ° ,D是AB边上一点，以 BD为直径的O O与边AC有公共连结DE并延长，与BC的延长线交于点 F, BD=BF .求证：AC是O O的切线;变式：如图，以 ABC的边AB为直径的O O与边BC交于点D，过点D作DE丄AC,垂足为E,延长AB、ED交于点F, AD平分/ BAC .(1 )求证：EF是O O的切线;（2 ）若 CE=1 , sinF= I，求O O的半径.第十一天例题2:如图，已

10、知等腰三角形 ABC的底角为30 °以BC为直径的O O与底边AB交于点D ,过D作DE丄AC，垂足为E.(1 )证明：DE为O O的切线;(2 )若BC=4，求AD的长.变式:已知如图， AB是O O的直径，O O过BC的中点 D，且DE丄AC于点E.求证：DE是O O的切线;，求O O的直径.变式：如图，在 ABC中，以AB为直径的O O交AC于点D，过点D作DE丄BC于点E,且/BDE= /A.(1 )判断DE与O O的位置关系并说明理由;3(2 )若 AC=16 , tanA=，求O O 的半径.第十二天例题3:如图，在 ABC中，AB=AC，以AB为直径的O O分别交AC,

11、 BC于点D , E,过点B作O O的切线，交AC的延长线于点F.(1 )求证：/ CBF=1 /CAB ;(2 )连接BD , AE交于点H，若AB=5 , tan /CBF詰，求BH的值.A变式:如图，以 ABC的边BC为直径的O O交AC于点D，过点D作O O的切线交 AB于点E.如图1，若/ ABC=90，求证：0E II AC;如图2，已知 AB=AC，若sin /ade4，求tanA 的值.类型四：射影定理（唐教授（长沙中考命题人）的最爱）第十三天例题1 :如图，以ABC的一边AB为直径作O 0,0 0与BC边的交点恰好为 BC的中点D ,过点D作O 0的切线交AC于点E.求证：D

12、E丄AC ;若 AB=3DE，求 tan ZACB 的值.变式:若FDO如图，AB是O O的直径，AC是O O的切线，BC交O O于点E,连接AE .D为AC的中点，连接DE,证明：DE是O O的切线;BE=3EC，求 tan /ABC .第十四天例题2 :如图，已知 CD是ABC中AB边上的高，以 CD为直径的O O分别交CA、CB于点E、9F,点 G 是 AD 的中点.GE=BD=2 , EC .5(1 )求证：GE是O O的切线.(2)求sin /DCB的值.变式：如图，四边形 ABCD内接于O 0,对角线AC为O O的直径，过点 C作AC的垂线交AD的延长线于点 E,点F为CE的中点，

13、连接 DB , DC , DF .(1 )求证：DF是O O的切线;(2)若AC=2血DE，求tan /ABD 的值.Co£变式:如图， ABC内接于O O , AC为O O的直径，PB是O O的切线，B为切点，OP丄BC,垂足为E,交O O于D，连接BD .(1 )求证：BD平分/PBC;SCA(2 )若O O的半径为1 , PD=3DE，求OE及AB的长.杂题(方法或辅助线稍特殊的题)第十五天1:如图，AB是O O的直径，AC、BC是O O的弦，AD /BC，且/DCA= /B，连接 0D .(1 )求证：DC与O 0相切;第十六天1 :如图，点 0在ABC的边AB上，O O过点B且分别与边 AB、BC相交于点 D、E, EF丄AC于F,直线EF是O 0的切线.(1 )求证： ABC为等腰三角形;(2)若BD=2DA, cosB4，CF=2，求线段AF的长.第十七天1 :在 RtKBC 中，/ACB=90,0在AB上，O经过点 A，与CB切于D，分别交AB、AC 于 E、F.(1 )求证:Sin吨(2 )连 CE，AD 相交于 P，SinBW，求