全等三角形.第4讲.全等三角形与旋转问答.学生版

1、【例1】【例2】如图，同学们曾玩过万花筒,它是由三块等宽等长的玻璃片围成的，其中菱形AEFG可以看成是把如图，有四个图案，它们绕中心旋转一定的角度后，都能和原来的图案相互重合，其中有一个图案与其余三个图案旋转的角度不同，它是（）.菱形ABCD以A为中心（【例3】A.顺时针旋转C 逆时针旋转如图,C是线段60。得到60。得到BD上一点,B .顺时针旋转120。得到D 逆时针旋转120 °得到分别以 BC、CD为边在BD同侧作等边BC 和等边 ZCDE,AD 交 CE于F,【例4】已知：如图，点 C为线段AB上一点,ACM、CBN是等边三角形.求证:ANBM .BE交AC于G,则图中可通

2、过旋转而相互得到的三角形对数有【例5】如图，B , C , E三点共线，且 ABC与 DCE是等边三角形，连结BD , AE分别交AC , DC于M ,N点.求证：CM CN .【补充】已知：如图，点 C为线段AB上一点，ACM、ECBN是等边三角形.求证：CF平分 AFB .ACM、CBN是等边三角形.【补充】如图，点 C为线段AB上一点,请你证明： AN BM ； DE II AB ;CF平分 AFB .【例6】(2008年怀化市初中毕业学业考试试卷证：AE CG .)如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG .求【例7】如图，点C为线段 AB上一点， ACMCBN是等边三

3、角形， D是AN中点,E是BM中点，求【补充】证：CDE是等边三角形.)如下图，在线段 AE同侧作两个等边三角形(2008年全国初中数学竞赛海南区初赛CDE( ACE 120°，点P与点M分别是线段BE和AD的中点，则ABC和DA .钝角三角形B .直角三角形C .等边三角形D .非等腰三角形【例8】如图,等边三角形ABC与等边 DEC共顶点于C点.求证： AE BD .E【例9】如图,D是等边ABC内的一点，且 BD AD，BP AB， DBP DBC，问 BPD的度数是否定,若一定，求它的度数；若不一定，说明理由.【例10】（2005年四川省中考题）如图，等腰直角三角形ABC中，

4、/ B 90 , AB a , 0为AC中点,EO OF .求证：BE BF为定值.【补充】如图，正方形 OGHK绕正方形ABCD中点0旋转，其交点为 E、F ,求证:AE CF AB.C【例11】（2004 河北）如图，已知点 E是正方形 ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且EA AF .求证：DE BF .EC【补充】如图所示，在四边形 ABCD中， ADCABC 90，AD CD，DP AB于P，若四边形ABCD的面积是16，求DP的长.【例12】E、F分别是正方形 ABCD的边BC、CD上的点，且/ EAF 45,AH EF , H为垂足，求证:AH AB.F【例13】

5、（1997年安徽省初中数学竞赛题）在等腰Rt ABC的斜边AB上取两点M、N，使 MCN 45，记AM m, MN x , BN n，则以x、m、n为边长的三角形的形状是 （）.A .锐角三角形B .直角三角形D .随x、m、n的变化而变化C .钝角三角形【巩固】如图，正方形 ABCD的边长为1，点F在线段CD上运动，AE平分 BAF交BC边于点求证：AF DF BE .x的值及设DF x（ 0 < x< 1）, ADF与 ABE的面积和S是否存在最大值？若存在，求出此时S .若不存在，请说明理由.【例14】（通州区2009 模第25题）请阅读下列材料：BC上两动点，若已知：如图

6、1在Rt ABC中， BAC 90，AB AC，点D、E分别为线段 DAE 45 .探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系.小明的思路是：把 AEC绕点A顺时针旋转90，得到 ABE，连结ED ,使问题得到解决请你参考小明的思路探究并解决下列问题： 猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明； 当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图 2，其它条件不变，中探究 的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明.图1C【例15】（北京市数学竞赛试题，天津市数学竞赛试题）如图所示，ABC是边长为1的正三角形，BDC是顶角为120的等腰三角形，以D为

7、顶点作一个60的 MDN，点M、N分别在AB、AC上，求AMN 的周长.C【例16】在等边 ABC的两边AB, AC所在直线上分别有两点 M , N , D为ABC外一点，且 MDN 60 ,BDC 120 , BD CD，探究：当点 M , N分别爱直线 AB, 间的数量关系及 AMN的周长与等边 ABC的周长AC上移动时，BM , NC, MN之L的关系.ta®之间的数量关系式如图，当点M ,N在边AB,AC上，且DM=DN此时Q=L如图，当点 M , N在边AB, AC上，且DM 你的猜想并加以证明；如图，当点 M , N分别在边AB, CA的延长线上时，若 AN=x，则Q =

8、DN时，猜想（1）问的两个结论还成立吗？写出（用X，L表示）1【补充】 如图，在四边形 ABCD 中, AB = AD , /B=/D = 90 , E、F分别是边BC、CD上的点，且/EAF=-2/BAD .求证：EF= BE FD;DBC、CD上的点，且/(2)如图，在四边形 ABCD中，AB = AD , /B+ /D= 180 , E、F分别是边1EAF=丄/BAD ,(1)中的结论是否仍然成立？不用证明.2DEF与CD平分.【例17】平面上三个正三角形 ACF , ABD , BCE两两共只有一个顶点，求证:B【例18】已知：如图，也是等边三角形.ABC、 CDE、EHK都是等边三角

9、形，且A、D、K共线，AD DK .求证：HBDKG【例19】（1997年安徽省竞赛题）如图，在 ABC外面作正方形 ABEF与ACGH , AD为ABC的高，其 反向延长线交FH于M，求证：（1）BH【补充】以ABC的两边AB、AC为边向外作正方形 ABDE、ACFG，求证：CE=BG，且CE丄BG.【例20】（北京市初二数学竞赛试题）如图所示，AB CD AE BC DE 1，求此五边形的面积.【例21】（希望杯全国数学邀请赛初二第二试试题）在五边形ABC AED 180'，连接 AD .求证：AD平分F在五边形ABCDEABCDE中，已知 ABCDE .E 90 ,AE , BC

10、 DE CD ,E二/、家庭作业J【习题1】如图，已知 ABC和 ADE都是等边三角形,B、C、D在一条直线上，试说明 CE与AC CD相等的理由.【习题2】（湖北省黄冈市2008年初中毕业生升学考试点，过点D作DF DE交BC的延长线于点）已知：如图，点 E是正方形 ABCD的边AB上任意一F .求证：DE DF .C【习题3】（2008山东）在梯形 ABCD中，AB II CD ,A 90 , AB 2, BC 3 , CD 1 , E 是 AD 中点,试判断EC与EB的位置关系，并写出推理过程.【习题4】已知：如图，点C为线段AB上一点,ACM、CBN是等边三角形.CG、MCB的高.求证：CGCH .BCH分别是 ACN、Tte叨月测备选ACB 90 , AC B