概率论与数理统计1-6独立性

1、概率论概率论 第六节第六节 独立性独立性两个事件的独立性两个事件的独立性多个事件的独立性多个事件的独立性独立性的概念在计算概率中的应用独立性的概念在计算概率中的应用小结小结 布置作业布置作业概率论概率论 显然显然 P(A|B)=P(A)这就是说这就是说,已知事件已知事件B发生发生,并不影响事件并不影响事件A发生的概发生的概率率,这时称事件这时称事件A、B独立独立.一、两事件的独立性一、两事件的独立性A=第二次掷出第二次掷出6点点， B=第一次掷出第一次掷出6点点，先看一个例子：先看一个例子：将一颗均匀骰子连掷两次，将一颗均匀骰子连掷两次，设设 概率论概率论 由乘法公式知，由乘法公式知，当事件当

2、事件A、B独立时，有独立时，有 P(AB)=P(A) P(B) 用用P(AB)=P(A) P(B)刻划独立性刻划独立性,比用比用 P(A|B) = P(A) 或或 P(B|A) = P(B) 更好更好,它不受它不受 P(B)0 或或 P(A)0 的制约的制约. P ABP A B P B 概率论概率论 若两事件若两事件A、B满足满足 P(AB)= P(A) P(B) (1)则称则称A、B相互独立相互独立，简称，简称A、B独立独立.两事件独立的定义两事件独立的定义 1 定理定理 独立的充要条件为独立的充要条件为、事件事件BA 0,|0, | APBPABPBPAPBAP 或或概率论概率论 例例

3、从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，记记 A=抽到抽到K, B=抽到的牌是黑色的抽到的牌是黑色的可见可见, P(AB)=P(A)P(B) 由于由于 P(A)=4/52=1/13, 故故 事件事件A、B独立独立.问事件问事件A、B是否独立？是否独立？解解P(AB)=2/52=1/26.P(B)=26/52=1/2,概率论概率论 前面我们是根据两事件独立的定义作出结论前面我们是根据两事件独立的定义作出结论的，也可以通过计算条件概率去做的，也可以通过计算条件概率去做: 从一副不含大小王的扑克牌中任取一张从一副不含大小王的扑克牌中任取一张,记记 A=抽到抽到K, B

4、=抽到的牌是黑色的抽到的牌是黑色的, 在实际应用中在实际应用中, 往往往往根据问题的实际意义去根据问题的实际意义去判断两事件是否独立判断两事件是否独立. 可见可见 P(A)= P(A|B), 即事件即事件A、B独立独立.则则P(A)=1/13, P(A|B)=2/26=1/13概率论概率论 在实际应用中在实际应用中,往往根据问题的实际意义去判往往根据问题的实际意义去判断两事件是否独立断两事件是否独立. 由于由于“甲命中甲命中”并不影响并不影响“乙命中乙命中”的概率，的概率，故认为故认为A、B独立独立 .甲、乙两人向同一目标射击甲、乙两人向同一目标射击,记记 A=甲命中甲命中, B=乙命中乙命中

5、，A与与B是否独立？是否独立？例如例如（即一事件发生与否并不影响另一事件发生的概率）（即一事件发生与否并不影响另一事件发生的概率） 概率论概率论 一批产品共一批产品共n件，从中抽取件，从中抽取2件，设件，设 Ai=第第i件是合格品件是合格品 i=1,2若抽取是有放回的若抽取是有放回的, 则则A1与与A2独立独立.因为第二次抽取的结果受到第一次因为第二次抽取的结果受到第一次 抽取的影响抽取的影响.又如：又如：因为第二次抽取的结果因为第二次抽取的结果不受第一次抽取的影响不受第一次抽取的影响.若抽取是无放回的，则若抽取是无放回的，则A1与与A2不独立不独立.概率论概率论 请问：如图的两个事件是独立的

6、吗？请问：如图的两个事件是独立的吗？ AB即即 若若A、B互斥，且互斥，且P(A)0, P(B)0,则则A与与B不独立不独立.反之，若反之，若A与与B独立，且独立，且P(A)0,P(B)0,则则A 、B不互不互斥斥.而而P(A) 0, P(B) 0故故 A、B不独立不独立我们来计算：我们来计算：P(AB)=0P(AB) P(A)P(B)即即概率论概率论 设设A、B为互斥事件，且为互斥事件，且P(A)0,P(B)0,下面四下面四个结论中，正确的是：个结论中，正确的是： 前面我们看到独立与互斥的区别和联系，前面我们看到独立与互斥的区别和联系，1. P(B|A)0 2. P(A|B)=P(A)3.

7、P(A|B)=0 4. P(AB)=P(A)P(B)设设A、B为独立事件，且为独立事件，且P(A)0,P(B)0,下面四下面四个结论中，正确的是：个结论中，正确的是：1. P(B|A)0 2. P(A|B)=P(A)3. P(A|B)=0 4. P(AB)=P(A)P(B)再请你做个小练习再请你做个小练习.概率论概率论 =P(A)1- P(B)= P(A)- P(AB)BP(A )= P(A - A B)A、B独立独立概率的性质概率的性质= P(A)- P(A) P(B)仅证仅证A与与 独立独立B定理定理 2 若两事件若两事件A、B独立独立, 则则 BABABA与与与,也相互独立也相互独立.证

8、明证明B= P(A) P( )故故 A与与 独立独立B概率论概率论 定义定义 , 如果满足等式如果满足等式为三事件为三事件、设设CBA CPBPBCPCPAPACPBPAPABP . 为两两独立的事件为两两独立的事件、则称三事件则称三事件CBA , 等式等式两两独立时两两独立时、当事件当事件CBA CPBPAPABCP . 不一定成立不一定成立二、多个事件的独立性二、多个事件的独立性概率论概率论 例如例如 , ,4321 S , ,3121 BA , ,41则则 C , 21 CPBPAP , BPAP 41 ACP , 并且并且 41 ABP ,P A P C 41 BCP . CPBP .

9、 两两独立两两独立、即事件即事件CBA但是但是 41 ABCP . CPBPAP 概率论概率论 对于三个事件对于三个事件A、B、C，若，若 P(AB)= P(A)P(B) P(AC)= P(A)P(C) P(BC)= P(B)P(C) P(ABC)= P(A)P(B)P(C) 四个等式同时成立四个等式同时成立,则称则称事件事件A、B、C相互独立相互独立. : 有限多个事件的情形有限多个事件的情形此定义可以推广到任意此定义可以推广到任意概率论概率论 定义定义 , , , 21如果对于任意如果对于任意个事件个事件为为设设nAAAn 1 , 1 21有等式有等式和任意的和任意的的的niiinkkk

10、kkiiiiiiAPAPAPAAAP 2121 . , , 21为相互独立的事件为相互独立的事件则称则称nAAA请注意请注意多个事件两两独立与相互独立的区别与联系多个事件两两独立与相互独立的区别与联系两两独立两两独立相互独立相互独立对对 n (n 2)个事件个事件?概率论概率论 对独立事件，许多概率计算可得到简化对独立事件，许多概率计算可得到简化三、独立性的概念在计算概率中的应用三、独立性的概念在计算概率中的应用 , 0.9 0.8 1和和苗率分别为苗率分别为有甲、乙两批种子，出有甲、乙两批种子，出例例 , 求求取一粒取一粒现从这两批种子中各任现从这两批种子中各任 ; 1 两粒种子都出苗的概率

11、两粒种子都出苗的概率 ; 2出苗的概率出苗的概率恰好有一粒种子恰好有一粒种子 . 3概率概率至少有一粒种子出苗的至少有一粒种子出苗的 解解 子出苗子出苗由甲批中取出的一粒种由甲批中取出的一粒种设设 A 子出苗子出苗由乙批中取出的一粒种由乙批中取出的一粒种 B概率论概率论 , 两粒种子都出苗两粒种子都出苗且事件且事件相互独立相互独立、则事件则事件BA : 表示为表示为 , AB : 表示为表示为恰好有一粒出苗恰好有一粒出苗 , BABA : 表示为表示为至少有一粒种子出苗至少有一粒种子出苗 . BA ABP 1 BPAP ; 0.720.90.8 BABAP 2 BAPBAP BPAPBPAP

12、. 0.260.10.80.90.2 BAP 3 ABPBPAP BPAPBPAP 0.90.80.90.8 . 0.98 BAP 或者或者 BAP 1 BAP 1 BPAP 1 . 0.98 概率论概率论 BAP 或者或者 BABAABP BABAPABP . 0.980.260.72 , 2都都每一门击中飞机的概率每一门击中飞机的概率设有两门高射炮设有两门高射炮例例 : , 0.6 求下列事件的概率求下列事件的概率是是 ? 1中飞机的概率是多少中飞机的概率是多少同时发射一发炮弹而击同时发射一发炮弹而击 99% , 2以上的概率以上的概率欲以欲以若有一架敌机入侵领空若有一架敌机入侵领空 ?

13、, 炮炮问至少需要多少门高射问至少需要多少门高射击中它击中它 解解 , 而击中飞机而击中飞机门高射炮发射一发炮弹门高射炮发射一发炮弹第第设设kAk , 6 . 0 , , 2 , 1 于是于是且且之间相互独立之间相互独立则则 kkAPAk 21 1AAP 211AAP 211AAP 概率论概率论 211APAP 24 . 01 . 0.84 , 2由题知由题知门高射炮门高射炮设至少需要设至少需要 n 21nAAAP 121nAAAP 121nAAAP nAPAPAP 211n4 . 01 0.99 , 01. 00.4 n , 解之得解之得 . 026. 54 . 0ln01. 0ln n即即

14、概率论概率论 ?. 4 100 . 0.01 ; 0.95 . , 3 , ) 3 ( 3 : . 100 3 概率是多少概率是多少试问这批乐器被接收的试问这批乐器被接收的音色不纯的音色不纯的件是件是件乐器中恰有件乐器中恰有如果已知这如果已知这的概率为的概率为测试被误认为不纯测试被误认为不纯而一件音色纯的乐器经而一件音色纯的乐器经为为出其为音色不纯的概率出其为音色不纯的概率试查试查件音色不纯的乐器经测件音色不纯的乐器经测设一设一收收则这批乐器就被拒绝接则这批乐器就被拒绝接被认为音色不纯被认为音色不纯中中件中至少有一件在测试件中至少有一件在测试如果如果是相互独立的是相互独立的件乐器的测试件乐器的

15、测试设设件测试件测试该批乐器中随机地取该批乐器中随机地取自自验收方案如下验收方案如下乐器乐器件件要验收一批要验收一批例例概率论概率论 解解 , , 3 件音色不纯件音色不纯恰有恰有件件随机地取出随机地取出设设iHi . 3210,i . 这批乐器被接收这批乐器被接收 A 则则 AP 11HPH|APHPH|AP 00 3322HPH|APHPH|AP 其中其中 0HP , 3100396CC 1HP , 142310096CCC 2HP , 241310096CCC 3HP , 343100CC 概率论概率论 0H|AP , 0.993 1H|AP , 0.050.992 2H|AP , 0.

16、050.992 3H|AP . 0.053 : 概率为概率为所以这批乐器被接收的所以这批乐器被接收的 AP 11HPH|APHPH|AP 00 3322HPH|APHPH|AP 30.99 3100396CC 0.050.992142 310096CCC 22410.050.99 310096CCC 0.053343100CC . 0.8629 概率论概率论 例例4 三人独立地去破译一份密码，已知各人能译三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为出的概率分别为1/5，1/3，1/4，问三人中至少有一人，问三人中至少有一人能将密码译出的概率是多少？能将密码译出的概率是多少？ 解解 将三

17、人编号为将三人编号为1，2，3，所求为所求为 记记 Ai=第第i个人破译出密码个人破译出密码 i=1 , 2 , 3 123P AAA已知已知, P(A1)=1/5 , P(A2)=1/3 , P(A3)=1/4 1231231P AAAP AAA概率论概率论 12)(1321AAAP)()()(1321APAPAP =1-1-P(A1)1-P(A2)1-P(A3) 6 . 05343325413 1231231P AAAP AAA概率论概率论 例例5 下面是一个串并联电路示意图下面是一个串并联电路示意图. A、B、C、D、E、F、G、H 都是电路中的元件都是电路中的元件. 它们下它们下方的数

18、是它们各自正常工作的概率方的数是它们各自正常工作的概率. 求电路正常工求电路正常工作的概率作的概率.ABCEDFGH95. 095. 095. 070. 070. 070. 075. 075. 0概率论概率论 解解 将电路正常工作记为将电路正常工作记为W，由于各元件独立工，由于各元件独立工作，有作，有其中其中P(W) 0.782代入得代入得ABCEDFGH95. 095. 095. 070. 070. 070. 075. 075. 0 P WP A P B P CDE P FG P H 1P CDEP C P D P E0.973 1P FGP F P G0.9735 概率论概率论 例例12 12 在可靠性理论上的应用在可靠性理论上的应用如图，如图，1 1、2 2、3 3、4 4、5 5表示继电器触点表示继电器触点, ,假设每个触假设每个触点闭合的概率为点闭合的概率为 p , ,且各继电器接点闭合与否相互且各继电器接点闭合与否相互独立，求独立，求 L 至至 R 是通路的概率。是通路的概率。概率论概率论 )()|(52413AAAAPAAP422pp 设设 A 表示表示“L 至至 R 为通路为通路”, , Ai 表示表示“第第 i 个继电器通个继电器通”, , i =1,2,5.=1,2,5.概率论概率论 )()|(54