半角的正弦,余弦,正切

1、两角和与差的三角函数，解斜三角形半角的正弦、余弦、正切教学目标1.使学生掌握半角的正弦、余弦和正切的公式内容及推导方法.2 .初步掌握公式的应用，能用联系的观点理解各公式，培养学生分析问题、解决问题的能力.3 .提高学生思维的严谨性.教学重点与难点 教学重点是半角公式的推导过程.教学难点是对公式的分析和理解.教学过程设计、新课引入 师：这节课我们研究一组新的三角变换的工具一一半角公式.什么是半角公式呢7它是研究如何把y角的三駆教用a角的三駆教耒表示.（尽快揭示课题，弓I导学生的思维尽快进入问题情境.板书：半角的正弦、余弦和正切 二、学习新课1.公式的推导.师=詈角的正弦_口角的三角國数怎么表示

2、?生=利用SI 1:12 a = 2aaCl * cos(1 =4sin * cos * coeO.师：表示式中除有a角三角函数外，还有其它角的三角函数，能否只用a角的三角函数来表示?”&Q0?牛; 由and = 2siii * cos =£1±- sin'从中解出迢Q!但太麻烦了.师：以上两位同学的推导，虽然未能完成，但在思路上有一定的价值，它们都利用了方程思想，將中角的正弦与G角三角S数用一个等式联系起来-只不过这个寻式不便于解岀sin-.能否用更简洁的式子 来表示sa 口壬与a角的三角画数的关系呢？生 可以別用-鮎Jet将公式中Cl换成扌，即可得到（对

3、倍角公式的换元处理，体现了对“倍”的相对性的认识）师：好.这一点很重要，这个等式正是我们所需要的，能否继续完成这种推导?盐i 因为= 1-ati° # , 所以2an° =即sif # =】 ：购,4 ”0；丄 /1-cosa师：解释一下这里“±”号的含义，是正与负两个都要吗?生 不是两个都而是根据彳角所在的范围中正弦的符号来选取 师举个例子，若暑是第二象限角，则应选”号-这就是半角的正弦公式，我们把它记下来.丄 1- 4 ”、GJ1 - COSG板书CO沉= 土 一厂师=下面我们继续研究詈角的余弦如何用a角的三角國数表示. 生=2cOS-l 把 ggy 解出即可

4、.师；这个等式可以把它看成是加巧为未知"2为己知的方程.请试将8冷解出耒.虫 因为tc-sd = 2c<isy-1,所以亡y = 1 + ；°'僅_因此住丄 fl +COSQ!3二V师：这里又出现了“±”号，请举例说明这里“±”号的含义.J 号也要选取，若暑角是第三象限角，余弦为负贝I应选负号.师：也就是说这里“±”号选取方法与前面公式选取方法是相同的，这就是半角的余弦公式.板书 遇y= ±由学生叙述，老师板书.师：半角的正切公式该怎样来推导呢?- CdSGtan =L20 fl + CQSO：sm acos 2(1 -

5、 COSOf=±4¥ 1 + coEce师=里的师：怎么理解结果中的“±”号呢?生：应是分子，分母的“±”号搭配的结果.具体地说，共有四种情况：当分子，分母取同号时，结果为正；当分子，分母取异号时，结果为负.借助刚推岀前两个公式得到曲号的公式是役有问题的，但这“±”号需稍加解释，由于分子、分母都是“±”号，能否把“±”号约掉?生：不能.师：也就是说这里的“±”号由分子，分母符号的选取共同决定的,实际上也就是根据暑角所在範围中正切的符号来选取-这就是半角的正切公式.板书（R 壮 贋竺L,学生叙述，老师板书. 2 Vl

6、 + mo!师：公式（3 ）从形式上似乎还有化简的余地，可以使它变得更简单，更便于使用.找一个同学试对公式（3）进行化简.生：分子、分母同时乘以 1+C0S a,即2 Vl十 cosa (1 + cos1 + cosat师：能乘1+C0S a吗?生：可以.因为在公式（3 ）中1+C0S a在分母位置上，可以保证其不为零.师：1+C0S a开出根号，能保证它一定为正吗?生：由-1 WCOS a<1及1+C0S a老 可以保证1+C0S a定为正.师：从形式上看化简结果并不理想，如果没有“±”号和绝对值就好了，这样做行吗?（对这个问题的解决，有一定难度，可以让学生讨论，研究一下，最

7、终由老师加以解释.师；将绝对值与“土号同时去掉即得而这与±罟吐1+ COSG1 +COSft是等价的.简单分析如下，|sin a去掉绝对值需看sin a的符号，“±”号的选取是看tan牛的正负J当时，分子为san a Fsind ,此£fV0时a可能为第一象限亀 则一为第一或笫三录限角，此时tan-均为正.即在分"号中选取 J J故化简结果为占二，当smCLCO时分1+ C0£«子I网化简为-血J 可能为第三議限，而*则为第二或第四掠限角，仙斗均为员，J "号选取中应选貝号，故化简结果为-严兰21+cosA其它情況也有同样结

8、晶因此最终化简十冷 并把它当作半角正切的第二个公式.z.r-LH Fa an or(板书十=右花师：对于公式（3）化简的方法应当是不唯一的，能否有其它的化简方法呢?,.a f 1 - ccsa 1(1 - CCS a)1 -生：tan = + J = + J- = 土21 + coso! V sin a|sin <y.师：这个化简过程与刚才的很类似，而且“±”号和绝对值的处理也与0）的处理相同.即最终的化简结果为匸叱，把它作为半角S1I1G!的正切公式的第三种形式记录下来.Txr*Of l-COSOC VC板书tan =）2 sino（对于曲詈的推导方法有很多，在课塗上应根据学

9、生实际情況选取相应的推导方法.）师：到此完成了半角公式的全部推导过程.回顾公式的推导，发现半角的正余弦公式推导是借助了倍角公 式来完成的，说明倍角与半角公式是密切联系的，我们正是利用这种关系，应用方程思想得到了半角公式.（给短暂的停顿，让学生从整体上记忆这组公式.）师：下面对这组公式作初步理解与记忆.1 )、(2)2 .公式的初步理解与记忆.师：先明确何时能用这些公式，即公式成立的条件是什么呢？先看公式（板书（1）公式成立的条件）生：公式（1 ）、（ 2）成立的条件是a R.（把条件同时板书在各公式的后面.）师：再看公式（3）和（4 ）生对公式和，需满足左、右式有豈义、即t吨存在，且分母不为黑

10、 被开方式非负可以省，即厂21 + cos &工 0今心 C2k + o , k z.师：再看看公式（5 ）的条件.生=tally存在旦1 - cosCL 7 0,即辛工£ + 兀，旦口工氷兀"k Z,即 aMk n(k Z).师：公式（4 ）和公式（5 ）都是由（3 ）推出的，为什么成立的条件不同呢?2k生：因为同乘1-C0S a时不能保证它一定不为零，为保证变形的等价性，需添加上这个条件，即要求aMn, k Z,故增加了公式的使用条件，这与（4）有所不同.师：了解它们成立的条件，在使用时请稍加注意.（板书（2）公式的恒等性）师：这五个公式均为三角恒等式.恒等的含

11、义具体指什么?生：公式中的a角可以取任意角.师：准确地说，应当是在公式成立范围内的任意角均使公式成立，即公式具备恒等性.正因为a是任意的，故公式中角可以有多种表示方法，如果用换兀思想去认识公式中的角，左式中角可以 用a,那么右式中角则应换为生：（共答）2 a.师,若左式中用才，则右式中角应为（共答）¥师=如果想求SIH善的值，只需借助谁的值即可求出呢?Ocog,的值.42倍，这就师；概括起耒讲，这里的'£半"不是专指P它是相对的-它是指左式中的角是右式中角的一半.自然，这种相对性还可以理解为右式中的角又是左式中角的是倍的相对性.从这个角度上又一次揭示了倍与

12、半之间的密切联系，它们的实质是相同的，只是研究的角度不同罢了.（板书（3） “半”的相对性）F面我们简单谈一下公式的记忆.（公式的记忆固然需要在理解的基础上去记忆，但有时一些技巧对公式记忆也很有帮助.师：公式（4 ）和（5）虽然形式简单，但很容易相互混淆.但仔细观察能发现（3),(4 ), ( 5 )三个公式a若出现则一定在分中出现了三个因式1+C0S a, 1-COS a和Sin a,而1+COS a若出现一定会在分母上，1-C0Ssin a.子上，（4）和（5）两个公式，一旦分子或分母确定了，另一个位置上一定是通过这种方法，从公式中的联系出发，找到了记忆的方法，但是最好的记忆方法还是在公式

13、使用时去熟练 记忆.（板书）3 .公式的应用.先一起看一组小题.（板书）例1己知C0g= 一彳，根据下列条件求sidy,亡。碍，rally的值:CO 址夢）-师：打算用什么公式来求值?生：用半角公式.师：为什么用半角公式?生=己知匚4 求詈角的三角S数值是典型的半角公式正用,计算最方便.（有些学生想利用倍角公式来求值，此时应提醒学生这样做没有错，只不过又推了一次半角公式，而不是直接用公式，所以要注意倍、半公式的选择.）师：用半角公式，仅有 COS a值够不够?生不執述需知号角的范围.师：现在这两个条件都具备，找个同学具体计算一下.生板书解因为ae （叽 m ,所以号亡仕 手，故.ce (1 -

14、 co see2/5 O厂a11 + CO'S，Of5 V5。佃3=1 2I*.ceOf血2tan = 2.23COE 2师=计算是正横的，且在表述上值得肯定的是对导角的範围一定更明确扌旨出.因为公式中有J ”号的选择，而符号选择要看y角的范围，为了找到y角的范围又需先明确6角的範围.（板书）卡皿宀匸（3 ）%是第三象限角.师：对（2）和（3）只要求指出各值的符号即可.生=因为斗TT<a< 于兀，所以打<!丈弓兀，因此 血一为负，cos Si负，tan反为ZE.生 因为a为第三象限角，斯以导为第二或第四象限角-因此，当y为第二象限角时，罚丐为正"有为员，为负

15、：当y 为第四象限味 吨为员，遇y为正，t咗桢.师：对于这组题的计算还有什么问题吗?生=C1）中g ¥）是第三象限角.G）中a也是第三象限角，为什么（1）只有一组解，而（3）却有两组解呢?师：问题提得好.有哪位同学能帮忙解决吗?生：（1 ）中角是区间角，是第三象限角中很小的一部分,訥只有一种可能，而0）中0是象限角，詈角有两种可能.师：好.区间角和象限角是不同的两个概念，在解题时注意加以区分.师：这节课主要对半角公式进行了推导，并做了初步的理解与应用.在整个过程中有几点启示，需引起我 们注意:（1 ）在公式推导中发现，倍角和半角是紧密相联的，它们是同一种关系的不同表现形式.（2 ）具

16、体推导时，就是利用方程的思想和联系的观点得到半角的五个公式，同时我们也应能利用联系的 观点把握其余各组公式间的联系.（3 ）在正确记忆公式的同时，应注意公式在表达形式上存在着正负号的选择问题.至于对公式进一步的综合应用将在下节课继续研究.作业：课本P224第1 , 2 , 3题.课堂教学设计说明1.这节课是一节典型的公式课，传统的教学方法往往是以最快速度给出公式，然后展开大规模的练习,这样教学的结果会让学生只会死套公式，而不能灵活运用公式并合理选择公式.因此本节课采用启发式教学, 让学生对公式的内容、推导进行独立思考、探索，使学生充分吸取公式推导中的营养成分.2 .对于半角第一个公式的推导是整

17、套公式推导的起点，为充分引导学生思考，拓展思路，我事先做了多 种方案的准备，其中有这样一条思路，从Sitia =2eII1詈* COEy出发推导SLQ ,这科想法经常被人们忽略或被轻易否定了.其实这条路也是很有价值的一种推导思路，下面简解如下：因为sinCl =2sin詈* cosy ,所以£存 0. .= 4siii * co3 = 4sin (1 - sin?) 22八 2即 4sin* -43111 y H- sin G =0 因此.0 a l±|cosce|sin =.COS aO 时，|COS a|=COS a,此时a在第2 2在这里又出现了“±”号和绝对值并存的现象，需进一步化简，当I或第W象限或y轴上，则尹如图啲阴影部分，此吋0心11齐¥或-¥礼诗0故因此衽S "号选择中