考研数学（三）第一部分微积分章节练习（上）

1、考研数学（三）第一部分微积分章节练习（上）（江南博哥）第一节 函数、极限、连续第二节 一元函数微分学第三节 一元函数积分学第四节 多元函数微分学第一部分 微积分第一节 函数、极限、连续1单选题A.跳跃B.可去C.无穷D.振荡正确答案：B参考解析：2单选题设函数f(x)在1，2上有二阶导数，f(1)=f(2)=0，F(x)-(x-1)2f(x)，则F''(x)在(1，2)内A.没有零点B.至少有一个零点C.有两个零点D.有且仅有一个零点正确答案：B参考解析：F'(x)=2(x-1)f(x)+(x-1)2f'(x)，由f(1)=f(2)=0知，F(1)=F(2)=0

2、，故存在(1，2)，使F'()=0，于是根据F'(1)=0，F'()=0知在(1,2)内至少存在一点，使得F"()=0，故正确答案为B。3单选题A.极限存在但不连续B.连续但不可导C.可导D.是否可导与a的取值有关正确答案：D参考解析：4单选题A.B.C.D.正确答案：D参考解析：因为5单选题函数f(x)=|xsinx|ecosx，x(-，+)，是()A.单调函数B.周期函数C.偶函数D.有界函数正确答案：C参考解析：对函数f(x)取绝对值得|f(x)|=|x|sinx|ecosx，其中|sinx|不恒等于0，ecosx>0，故根据|x|可断定f(x)不

3、是有界函数，也不是周期函数，再由f(0)=0，f(/2)=/2，f()=0，可知f(x)不是单调函数，对任意x(-，+)，有f(-x)=|(-x)sin(-x)|ecos(-x)=f(x)。故f(x)是偶函数，C正确。6单选题设当x+时，f(x)，g(x)都是无穷大，则当x+时，下列结论正确的是()A.f(x)-g(x)是无穷小B.f(x)+g(x)是无穷大C.D.正确答案：D参考解析：7单选题设当x0时，(x-sinx)tanx是比ln(1+xn)高阶的无穷小，而ln(1+xn)是比x2高阶的无穷小，则n=()A.4B.3C.2D.1正确答案：B参考解析：由已知，4>n且n>2，

4、故，n=38单选题设y=y(x)是方程y+2+y=e3x的解，且满足y(O)=(0)=0，则当x0时，与y(x)为等价无穷小的是()A.sinx2B.sinxC.ln(1+x2)D.正确答案：D参考解析：依题设，有9单选题下列结论中错误的是()A.B.C.D.正确答案：D参考解析：10单选题下列极限存在的是()A.B.C.D.正确答案：D参考解析：对于D：由于故由夹逼准则，可知原极限等于1，D正确11单选题A.数列xn单调增，但是没有极限B.数列xn)单调增，且有极限C.数列xn)单调减，但是没有极限D.数列xn单调减，且有极限正确答案：B参考解析：12单选题“f(x)在x0点连续”是|f(x

5、)|在x0点连续的A.充分条件，但不是必要条件B.必要条件，但不是充分条件C.充分必要条件D.既不是充分，也不是必要条件正确答案：A参考解析：13单选题A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件正确答案：B参考解析：当f(0)=0时，14单选题以下四个命题中，正确的是A.若(x)在(a，b)内连续，则f(x)在(a，b)内有界B.若f(x)在(a，b)内连续，则f(x)在(a，b)内有界C.若(x)在(a，b)内有界，则f(x)在(a，b)内有界D.若f(x)在(a，b)内有界，则(x)在(a，b)内有界正确答案：C参考解析：方法1  举例否定错误的

6、命题15单选题函数y=f(x)在(-，+)内连续，其二阶导函数的图形如图所示，则y=f(x)的拐点的个数是A.1B.2C.3D.4正确答案：C参考解析：16单选题A.单调上升B.单调下降C.为常数D.有两个单调性区间正确答案：C参考解析：归结为求f'(x)17单选题A.B.C.D.正确答案：C参考解析：18单选题下列命题正确的是A.若(x0，y0)为f(x，y)的极值点，则(x0，y0)必为f(x，y)的驻点B.若(x0，y0)为f(x，y)的驻点，则(x0，y0)必为f(x，y)的极值点C.若(x0，y0)为有界闭区域D上连续的函数f(x，y)在D内部唯一的极值点，且f(x，y)在该

7、点取极大值，则f(x，y)在点(x0，y0)取得它在D上的最大值D.若f(x，y)在点(x0，y0)取得极小值，则f(x，y0)在x=x0处取极小值，f(x0，y)在y=y0处取极小值正确答案：D参考解析：由f(x，y)在点(x0，y0)取得极小值及极值的定义可知，f(x，y0)在x=x0取极小值，f(x0，y)在y=y0处取极小值，D正确。19单选题函数f(x，y)=kx2+y3-3y在点(0，1)处A.取极大值B.取极小值C.不取得极值D.是否取得极值与k取值有关正确答案：D参考解析：fx'=2kx，fy'=3y2-3，显然fx'(0，1)=0，fy'(0，

8、1)=0，fxx"(0，1)=2k，fyy"(0，1)=6，fyy"(0，1)=0，AC-B2=12k，则f(x，y)在点(0，1)处是否取得极值与K的取值有关。20单选题函数f(x)=|xsinx|ecosx，-<x<+是（）A.有界函数B.单调函数C.周期函数D.偶函数正确答案：D参考解析：显然函数为偶函数，选(D)81简答题参考解析：【证明】第二节 一元函数微分学1单选题奇函数f(x)在闭区间-1，1上可导，且|f'(x)|M(M为正常数)，则必有A.|f(x)|MB.|f(x)|>MC.|f(x)|MD.|f(x)|<M正确

9、答案：C参考解析：由于f(x)为奇函数，故f(0)=0f(x)在以0，x为端点的区间上用拉格朗日中值定理，有|f(x)|=|f(x)-f(0)|=|f'()|x-0|M·1故对任意x-1,1，|f(x)|M2单选题f(x)=(x2+3x+2)|x3-x|不可导点的个数为()A.1B.2C.3D.4正确答案：B参考解析：f(x)=(x+2)(x+1)|x+1|x|x-1|，3单选题A.0B.1C.2D.3正确答案：C参考解析：由可知有水平渐近线y=1与铅直渐近线x=04单选题设f(x)在(1-，1+)(>0)内存在导数，(x)严格单调减少，且f(1)=(1)=1，则()A

10、.在(1-，1)和(1，1+)内，均有f(x)<xB.在(1-，1)和(1，1+)内，均有f(x)>xC.在(1-，1)内，f(x)<x；在(1，1+)内，f(x)>xD.在(1-，1)内，f(x)>x；在(1，1+)内，f(x)<x正确答案：A参考解析：比较f(x)与x的大小，考虑作差构造新函数，利用单调性求解5单选题设f(x)在x=0的某邻域内有定义，则F(x)=f(x)|sinx|在x=0处可导的充要条件是()A.B.C.f(x)在x=0处可导D.正确答案：D参考解析：故D正确6单选题设f(x)在(-+)内可导，则下列命题正确的是()A.B.C.D.正

11、确答案：D参考解析：涉及f(x)与f'(x)的极限，考虑用拉格朗日中值定理7单选题A.0B.1C.2D.3正确答案：C参考解析：8单选题若f(-x)=-f(x)，且在(0，+)内f'(x)>0，f''(x)>0，则在(-，0)内（）A.f'(x)<0，f”(x)<0 B.f'(x)<0，f”(x)>0C.f'(x)>0，f”(x)<0 D.f'(x)>0，f”(x)>0正确答案：C参考解析：因为f(x)为奇函数，所以f'(x)为偶函数，故在(-

12、，0)内有f'(x)>0，因为f''(x)为奇函数，所以在(-，0)内f''(x)<0，C正确。9单选题设f(x)=x2e-x，则()A.f(x)有一个极大值点，没有极小值点B.f(x)有一个极小值点，没有极大值点C.f(x)有一个极大值点，一个极小值点D.f(x)没有极大值点，也没有极小值点正确答案：C参考解析：令f'(x)=(2x-x2)e-x=0得x=0，x=2，当x<0时，f'(x)<0，当0<x<2时，f'(x)>0，当x>2时，f'(x)<0，则x=0为极小

13、值点，x=2为极大值点，C正确。10单选题设函数f(x)二阶可导，且f'(x)>0，f”(x)>0，y=f(x+x)-f(x)，其中x<0，则()A.y>dy>0B.y<dy<0C.dy>y>0D.dy<y<0正确答案：D参考解析：根据微分中值定理，y=f(x+x)-f(x)=f'()x<0(x+x<<x)，dy=f'(x)x<0，因为f''(x)>0，所以f'(x)单调增加，而<x，所以f'()<f'(x)，于是f'

14、;()x>f'(x)x，即dy<y<0，D正确。11单选题当x0，1时，f''(x)>0，则f'(0)，f'(1)，f(1)-f(0)的大小次序为()A.f'(0)>f(1)-f(0)>f'(1)B.f'(0)<f'(1)<f(1)-f(0)C.f'(0)>f'(1)>f(1)-f(0)D.f'(0)<f(1)-f(0)<f(1)正确答案：D参考解析：由拉格朗日中值定理得f(1)-f(0)=f'(c)(0<c<

15、;1)，因为f''(x)>0，所以f'(x)单调增加，故f'(0)<f'(c)<f'(1)，即f'(0)<f(1)-f(0)<f'(1)，D正确。12单选题设f(x)在x=a处的左、右导数都存在，则f(x)在x=a处()A.一定可导B.一定不可导C.不一定连续D.连续正确答案：D参考解析：因为f(x)在x=a处右可导，所以当x趋向于a+的时候，f(x)-f(a)/x-a存在，于是当x趋向于a+时，f(x)=f(a)，即f(x)在x=a处右连续，同理，由f(x)在x=a处左可导，得f(x)在x=a处左连

16、续，故f(x)在x=a处连续，由于左、右倒数不一定相等。D正确。13单选题设f(x)为二阶可导的奇函数，且x<0时有f''(x)>0，f'(x)<0，则当x>0时有()A.f''(x)<0，f'(x)<0B.f''(x)>0，f'(x)>0C.f''(x)>0，f'(x)<0D.f''(x)<0，f'(x)>0正确答案：A参考解析：因为f(x)为二阶可导的奇函数，所以f(-x)=-f(x)，f'(

17、-x)=f'(x)，f''(-x)=-f''(x)，即f'(x)为偶函数，f(x)为奇函数，故由x<0时有f(x)>0，f'(x)<0，得当x>0时有，f''(x)<0，f'(x)<0，选(A)14单选题设函数f(x)满足关系f''(x)+f'2(x)=x，且f'(0)=0，则()A.f(0)是f(x)的极小值B.f(0)是f(x)的极大值C.(0，f(0)是y=f(x)的拐点D.(0，f(0)不是y=f(x)的拐点正确答案：C参考解析：由f

18、9;(0)=0得f''(0)=0，f'''(0)=0，f'''(x)=1-2f'(x)f''(x)，f'''(0)=1>0，由极限保号性，存在>0，当0<|x|<时，f'''(x)>0，再由f''(0)=0，得f''(x)<0(-<x<0)，f''(x)>0(0<x<)，故(0，f(0)是曲线y=f(x)的拐点，C正确。15填空题参考解析：1【解析

19、】16填空题设函数f(x)在(-+)内连续，(x)的图形如图2-1所示，则曲线y=f(x)的拐点个数为_参考解析：2【解析】由(x)的图形可知，(x1)-(x2)=0，(0)不存在，在x=x1的两侧二阶导数不变号，故不是拐点在x=0，x=x2两侧二阶导数变号，所以y=f(x)有两个拐点17填空题参考解析：y=2x+1【解析】故斜渐近线方程为y=2x+118填空题参考解析：e【解析】19填空题设f(x)=x(2x-1)(3x-2)(100x-99)，则f'(0)=_参考解析：-99!【解析】u(x)=x，v(x)=(2x-1)(3x-2)(100x-99)，则f(x)=u(x)v(x)，

20、又u'(0)=1，u(0)=0，v(0)=-99!，故f(0)=u'(0)v(0)+u(0)v'(0)=-99!20填空题设f(x)在x=x0处可导，且f(x0)0，则参考解析：【解析】极限为1型，利用重要极限结论41简答题参考解析：证()用反证法42简答题参考解析：证43简答题D，如图23所示()记切点的横坐标为a，求切线方程和图形D的面积；()当切点沿曲线趋于无穷远时，该面积的变化趋势如何?参考解析：解()()44简答题已知f(x)可导，证明：曲线y=f(x)(f(x)>0)与曲线y=f(x)sinx在交点处相切参考解析：证只要证明两曲线在交点处导数相等45简

21、答题设f(x)在x0的某邻域内有定义，证明：f(x)在x0处可导的充要条件是存在在x=x0处连续的函数g(x)，使得f(x)-f(x0)=(x-x0)g(x)参考解析：证46简答题参考解析：【解】47简答题参考解析：【解】48简答题设f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0，证明：存在(a，b)，使得f'()-2f()=0参考解析：【证明】令(x)=e-2xf(x)。由f(a)=f(b)=0得(a)=(b)=0，由罗尔定理，存在(a，b)，使得'()=0，而'(x)=e-2xf'(x)-2f(x)且e-2x0，故f'()-2f

22、()=049简答题参考解析：【证明】因为f(x)在a，b上不恒为常数且f(a)=f(b)，所以存在c(a，b)，使得50简答题参考解析：【证明】51简答题参考解析：【证明】52简答题(1)写出f(x)在x=c处带拉格朗日型余项的一阶泰勒公式；(2)参考解析：(1)【解】(2)【证明】分别令x=0，x=1，得53简答题参考解析：【证明】54简答题参考解析：【证明】方法一先作一个函数P(x)=ax3+bx2+cx+d，使得55简答题参考解析：【证明】第三节 一元函数积分学1单选题下列周期函数中其原函数必为周期函数的是A.|sinx|B.cos4x-1C.sin3xD.esinx正确答案：C参考解析

23、：   直接法2单选题下列结论正确的是A.B.C.D.正确答案：B参考解析：故应选(B)3单选题A.B.C.D.正确答案：D参考解析：  因为4单选题A.F(x)为正的常数B.F(x)为负的常数C.F(x)不是常数D.F(x)恒为零正确答案：A参考解析：5单选题设f(x)二阶可导，则下列结论正确的是()A.B.C.D.正确答案：D参考解析：依题意，只需判别被积函数的正、负即可，考虑到sinx在0，与-，0上分别非负和非正，有6单选题A.1B.f(1)C.0D.不存在正确答案：B参考解析：7单选题则当x0时，(x)与(x)是()A.同阶无穷小B.等价无穷小C.高阶无

24、穷小D.低阶无穷小正确答案：A参考解析：8单选题A.在(-1，1)为无界函数B.在(-1，1)为连续有界函数C.在(-1，1)有间断点x=0D.在-1，1不可积正确答案：B参考解析：9单选题下列函数在指定区间上不存在定积分的是A.B.C.D.正确答案：C参考解析：10单选题设f(x)在a，b上连续，则下列结论中正确的个数为A.0B.1C.2D.3正确答案：C参考解析：我们要逐一分析11单选题大小关系是：A.I<J<KB.J<K<IC.K<J<ID.I<K<J正确答案：C参考解析：当1<x2时，12单选题A.为正数B.为负数C.恒为零D.不是

25、常数正确答案：A参考解析：因被积函数是以为周期的函数，它在每个周期上的积分值相等，因此，13单选题A.B.C.D.正确答案：A参考解析：【解】14单选题下列广义积分发散的是()A.B.C.D.正确答案：A参考解析：【解】15填空题已知(ex)=xe-x，且f(1)=0，则f(x)=_参考解析：【解析】16填空题参考解析：【解析】17填空题参考解析：【解析】18填空题参考解析：【解析】19填空题参考解析：a=b=2(e-1)【解析】20填空题参考解析：【解析】41简答题参考解析：【解】由定积分的奇偶性得42简答题参考解析：【解】43简答题参考解析：【解】x=1为被积函数的无穷间断点，则44简答题

26、参考解析：【证明】方法一45简答题(1)(2)参考解析：(1)【解】(2)【证明】第四节 多元函数微分学1单选题A.f(x，y)在点(x0，y0)处连续B.f(x，y)在点(x0，y0)处可微C.D.正确答案：C参考解析：2单选题A.不连续B.连续，但偏导数不存在C.偏导数存在，但不可微D.可微正确答案：C参考解析：3单选题设函数f(x,y)可微，且f(0,0)=0，f(2,1)>3，f'y(x,y)<0，则至少存在一点(x0,y0)，使A.f'x(x0,y0)<1B.f'x(x0,y0)<-3C.f'x(x0,y0)=3/2D.f

27、9;x(x0,y0)>3/2正确答案：D参考解析：f(2,1)=f(2,1)-f(0,0)        =f(2,1)-f(0,1)+f(0,1)-f(0,0)        =2f'x(,1)+f'y(0,)由于f(2,1)>3，f'y(x,y)<0，则f'x(,1)>3/24单选题A.B.C.D.正确答案：B参考解析：不存在，故B正确5单选题设方程xyzlny+exz=1，存在点(0，1，1)的一个邻域，在此邻域内该方程()A.可确定隐函数y=y(x，z

28、)和z=z(x，y)B.可确定隐函数x=x(y，z)和z=z(x，y)C.可确定隐函数x=x(y，z)和y=y(x，z)D.只能确定隐函数z=z(x，y)正确答案：C参考解析：6单选题处()A.连续但不可微B.偏导数存在但不连续C.可微D.连续但偏导数不存在正确答案：C参考解析：7单选题A.不连续B.连续但两个偏导数不存在C.两个偏导数存在但不可微D.可微正确答案：B参考解析：直接法8单选题二元函数z=f(x，y)在点(x0，y0)处连续是函数z=f(x，y)在该点处两个偏A.必要但非充分条件B.充分但非必要条件C.充要条件D.既非充分条件也非必要条件正确答案：D参考解析：由多元函数的连续、偏

29、导数存在和可微之间的关系知，多元函数的连续既非两个偏导数存在的必要条件，也非充分条件9单选题A.2B.1C.0D.-1正确答案：A参考解析：10单选题函数f(x，y)=1+x+y在区域x2-ky21上的最大值与最小值之积为A.-1B.1C.1+D.1-正确答案：A参考解析：11单选题函数f(x，y)=e-xy，在区域D=(x，y)|4x2+y21)上的最大值是A.e2B.eC.D.正确答案：C参考解析：12单选题设f(x，y)=x3-4x2+2xy-y2，区域D=(x，y)|-1x4，-1y1，则下面结论正确的是A.点(0，0)是f(x，y)的极大值点且是f(x，y)在区域D的最大值点B.点(

30、0，0)是f(x，y)的极大值点但不是f(x，y)在区域D的最大值点C.点(0，0)是f(x，y)的极小值点D.点(0，0)是f(x，y)的驻点，但不是极值点正确答案：B参考解析：由于f/x=3x2-8x+2y=0f/y=2x-2y=0的解为(0,0)，(2,2)，只有(0,0)在D内，又因为A=f''xx=6x-8，f''xy=2，f''yy=-2，可得在点(0,0)处A=-8，AC-B2>0，所以(0,0)是极大值点，f(0,0)=0,在D的边界上点(4,1)处，f(4,1)=7>f(0,0)即f(0,0)不是f(x,y)在D上的最大值，B正确13单选题则b