北师大八年级上勾股定理题型总结

1、勾股定理典型例题分析、知识要点:1 勾股定理勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。也就是说：如果直角三角形的两直角边为 a、b,斜边为 c，那么 a2+ b2= c2。公式的变形：a2= c2- b2， b2= c2-a2。2、 勾股定理的逆定理如果三角形 ABC 的三边长分别是 a，b，c,且满足 a2+ b2= c2,那么三角形 ABC 是直 角三角形。这个定理叫做勾股定理的逆定理.该定理在应用时，同学们要注意处理好如下几个要点：1已知的条件：某三角形的三条边的长度.2满足的条件：最大边的平方=最小边的平方+中间边的平方.3得到的结论：这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角

2、是直角4如果不满足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。3、 勾股数满足 a2+ b2= c2的三个正整数，称为勾股数。注意：勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。常见勾股数有：（3，4，5?）（5, 12，13?） （?6，8，10?）?（?7, 24，25?）?（?8，15，17?）（9，12，15?）?4、 最短距离问题：主要运用的依据是 两点之间线段最短。二、考点剖析考点一：利用勾股定理求面积1、求阴影部分面积：（1）阴影部分是正方形；（2）阴影部分是长方形；（3）阴影部 分是半圆.2、如图，以 Rt ABC 的三边为直径分别向外作三个半圆，

3、试探索三个半圆的面积之间的 关系.3、 如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S、S、S,则它们之间的关系是（）A. Si- S2= S3B Si+ S2= S3C. S2+S31），那么它的斜边长是（）A 、2nB、n+1CC n2 1D n217、在 Rt ABC 中, a,b,c 为三边长，则下列关系中正确的是（）A.a2bc2B.a2c2二b2C.c2 b2二a2D. 以上都有可能8、 已知 Rt ABC 中, Z C=90 ,若a+b=14cm C=10cm则 Rt ABC 的面积是（）A、24cm2B、36cm2C、48cm2D 60cm22 2 29、已

4、知 x、y 为正数，且Ix -4I+（y -3）=0,如果以 x、y 的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（）A、5B 25C、7D 15考点三：应用勾股定理在等腰三角形中求底边上的高例、如图 1 所示,等腰一丄中，丄是底边上的高，若二-二.J二+【 求 AD 的长；厶 ABC 勺面积.考点四：勾股数的应用、利用勾股定理逆定理判断三角形的形状、最大、F列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（A. 1 个 B . 2 个 C . 3 个4、若三角形的三边之比为 -?：1:1，则这个三角形一定是（2 V2&将直角三角形的三条边长同时扩

5、大同一倍数，得到的三角形是（）A.钝角三角形 B. 锐角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形 7、若厶 ABC 的三边长 a,b,c满足a2b2c2200 =12a 16b 20c,试判断 ABC 的形状。8 ABC 的两边分别为 5,12，另一边为奇数，且a+b+c是 3 的倍数，则 c 应为_此三角形为 _。例 3:求1、2、A. 4 , 5, 6 B. 2, 3, 4C. 11, 12, 13D. 8,15, 17若线段 a, b, c 组成直角三角形,则它们的比为（B、3 : 4 : 6、 5 ：12 ：133、F面的三角形中:1厶 ABC 中， / C=ZA-ZB;2厶 ABC 中

6、,ZA:ZB:ZC=1: 2:3；3厶 ABC 中, a: b: c=3: 4: 5;厶 ABC 中，三边长分别为 8, 15, 17.其中是直角三角形的个数有（).A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.不等边三角形5、已知 a, b, cABC 三边,2 2 2 2 2且满足(a b)(a +b -c) = 0,则它的形状为()A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形最小角的问题（1）若三角形三条边的长分别是 7,24,25，则这个三角形的最大内角是 度。（2）已知三角形三边的比为 1：.3: 2,则其最小角某楼梯的侧面视图如图 3 所示，其中 A

7、B=5,BC=3 米， 因某种活动要求铺设红色地毯，则在 AB 段楼梯所铺地毯的长度应为?.考点六、利用列方程求线段的长（方程思想）1、小强想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接 触地面，你能帮他算出来吗？2、一架长 2.5m的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底 0.7m（如图），如果梯子的顶端沿墙下滑 0.4m,那么 梯子底端将向左滑动_米3、 如图，一个长为 10 米的梯子，斜靠在墙面上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8 米,如果梯子的顶端下滑 2 米，那么，梯子底端的滑动距离 _ 米.4、 在一棵树 10 m 高的 B

8、处，有两只猴子，一只爬下树走到离树 20m 处的池塘 A 处；另外一只爬到树顶 D 处后直接跃到 A 外，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相 等，试问这棵树有多高?5、如图，是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出尺寸（单位: 计算两圆孔中心 A 和 B 的距离为60考点五：应用勾股定理解决楼梯上铺地毯问题mrh.，一棵8米，另只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树1 I如图18-15 所示， 某人到一个荒岛上去 探宝，在 A 处登陆后，往东走 8km,又往北 3km,再折向 北方走题图5km 处往东一拐，仅 1km?就找到&如图：有两棵树，8米-：8 米第 6 题图

9、棵高2米，两树相距8米,萍梢， 至少飞了米.C7、i40走遇到障碍后又往西走了宝藏，问：登陆点（A 处）到宝藏埋藏点（B 处）的直线距离是多少? 考点七：折叠问题1、 如图， 有一张直角三角形纸片， 两直角边 重合，折痕为A.25B.4DE 贝 U CD 等于2222C.)7D.4AC=6 BC=8 将厶 ABC 折叠，使点 B 与点 A532、如图所示，已知 ABC 中，/ C=90，AB 的垂直平分线交 BC?于 M 交 AB 于 N,若AC=4 MB=2M，求 AB 的长.3、折叠矩形 ABCD 勺一边 AD,点 D 落在 BC 边上的点 F 处,已知 AB=8CM,BC=10C 求 C

10、F 和EC4、如图，在长方形 ABC 冲，DC=5 在 DC 边上存在一点 E,沿直线 AE 把厶ADE 折叠，使点 D 恰好在 BC 边上，设此点为卩，若厶 ABF 的面积为 30,求折叠的厶 AED 的面积5、如图，矩形纸片 ABCD 勺长 AD=9cm,宽 AB=3cm，将其折叠，使点 D 与点 B 重合，那么折叠后 DE 的长是多少？&如图，在长方形 ABC 冲，将厶 ABC 沿 AC 对折至二 AEC 位置，CE 与 AD 交于点 F。（1）试说明：AF=FC （ 2）如果 AB=3 BC=4 求 AF 的长7、如图 2 所示，将长方形 ABCDS 直线 AE 折叠，顶点 D

11、 正好落在 BC 边上 F 点处，已知CE=3cm AB=8cm 则图中阴影部分面积为 _8、如图 2-3，把矩形 ABC沿直线 BD 向上折叠，使点 C 落在 C 的位置上，已知 AB=? 3,BC=7,重合部分厶 EBD 的面积为_ .9、如图 5,将正方形 ABCDT 叠，使顶点 A 与 CD 边上的点 M 重合，折痕交 AD 于 E,交 BC 于F,边 AB 折叠后与 BC 边交于点 G 如果 M 为 CD 边的中点，求证：DE DM EM=3 4:5。10、如图，长方形 ABCD 中, AB=3 BC=4 若将该矩形折叠，使 C 点与 A 点重合，则折叠后痕迹 EF 的长为（）A.

12、3.74 B . 3.75 C . 3.76 D . 3.7711、 如图1-3-11，有一块塑料矩形模板ABCD长为10cm宽为4cm将你手中足够大的直角三角板PHF的直角顶点 P落在AD 边上 （不与 A、D 重合），在 AD上适当移动三角 板顶点P:能否使你的三角板两直角边分别通过点 B与点C?若能， 请你求出这时 AP的长;若不能， 请说明理由ADEC1、如图 1,求该四边形的面积推，第 n 个等腰直角三角形的斜边长是 考点九、图形问题再次移动三角板位置，使三角板顶点 P 在 AD 上移动，直角边 PH 始终通过点 B, 另一直角边 PF 与 DC 的延长线交于点 Q 与 BC 交于点

13、 E,能否使 CE=2cr？若能，请你求出这时 AP 的长；若不能，请你说明理由12、如图所示， ABC 是等腰直角三角形，AB=AC D 是斜边 BC 的中点，E、F 分别是 AB AC 边上的点，且 DEI DF,若 BE=12 CF=5 求线段 EF的长。13、 如图， 公路 MN 和公路 PQ 在点 P 处交汇， 且/ QPN= 30， 点 A 处有一所中学， AP =160m假设拖拉机行驶时，周围 100m 以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机 的速度为 18km/h,那么学校受影响的时间为多

14、少秒？考点八：应用勾股定理解决勾股树问题1、如图所示，所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为5,则正方形 A，B，C, D 的面积的和2、已知 ABC 是边长为 1 的等腰直角三角形,等腰 Rt ACD 再以 Rt ACM 斜边BC 的斜边 AC 为直角边，画第二个三个等腰 Rt ADE，依此类BCD2、如图 2,已知，在 ABC 中，/ A = 45 , AC =2, AB =3+1，则边 BC 的长为_ 3、某公司的大门如图所示,其中四边形ABCD是长方形,上部是以AD为直径的半圆,其中AE=2.3m, BC=2m,现有一辆装满货物的卡车,高为 2.5

15、m,宽为 1.6m，问这辆卡 车能否通过公司的大门？并说明你的理由4、 将一根长 24cm的筷子置于地面直径为 5cm,高为 12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在 杯子外面的长为 hcm,贝Uh 的取值范围_。5、 如图，铁路上 A、B 两点相距 25km C D 为两村庄，DA?垂直 AB 于 A, CB 垂直 AB 于B,已知 AD=15km BC=10km 现在要在铁路 AB 上建一个土特产品收购站 E,使得 C、D 两 村到E 站的距离相等，则 E 站建在距 A 站多少千米处？考点十、航海问题1、 一轮船以 16 海里/时的速度从 A 港向东北方向航行，另一艘船同 时以 12 海里/时的

16、速度从 A 港向西北方向航行，经过 1.5 小时后，它们相距_里2、 如图，某货船以 24 海里/时的速度将一批重要物资从 A 处运往 正东方向的 M 处，在点 A 处测得某岛 C 在北偏东 60的方向上。该 货船航行30 分钟到达 B 处，此时又测得该岛在北偏东 30的方向上，已知在 C 岛周围 9 海里的区域内有暗礁，若继续向正东方向航行，该货船有无暗礁危险？试说明理由。3、如图，某沿海开放城市 A 接到台风警报，在该市正南方向 260km 的 B 处有一台风中心,沿 BC 方向以 15km/h 的速度向 D 移动，已知城市 A 到 BC 的距离 AD=100km 那么台风中心 经过多长时间从 B 点移到 D点？如果在距台风中心 30km 的圆形区域内都将有受到台风的 破坏的危险，正在 D 点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？考点一、网格问题1、如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为 1,则网格上的三角形 ABC 中，边长为 无理数的边数是（）A. 0 B . 1 C . 2 D . 32、如图，