阶段质量检测导数应用

1、阶段质量检测(三)导数应用(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的)1 曲线y=护一2x在点1, - 2处的切线的倾斜角为()A - 135 °B 45 °C - 45 °D 135 °解析：选D y，= x 2,.1,- 2处的切线斜率为一1,倾斜角为135°2.下列求导运算正确的是(), , 1A (cosx) = sin xB. (In 2x) = jC (3x)，= 3xlog3eD (x2ex),= 2xex解析：选 B (cos x)

2、9; =- sin x, (3x)，= 3xln 3, (x2ex)' = 2xex+ x2ex.3.已知函数y= f(x),其导函数y= f' (x)的图像如图所示，则y= f(x)(A .在(一8, 0)上为减少的C .在(4,+8 )上为减少的解析：选 C 在(-8, 0)上，f' (x)>0,B .在x=0处取极小值D .在x=2处取极大值故f(x)在(-8 , 0)上为增函数，A错；在x = 0处，导数由正变负，f(x)由增变减，故在 x = 0处取极大值，B错；在(4,+8)上, f' (x)<0 ,f(x)为减函数，C对；在x= 2处取

3、极小值，D错.4.函数f(x) = x2- ln x的单调递减区间是()A. 0,-2B. ，+8C.一 8,D.,f' (x)w 0,故f(x)的单调递减1 2x2 1解析：选 A -.f' (x)= 2x-x =，当 0v g区间为5.函数f(x) = xe x, x 0,4的最小值为2D.-2eC.4 e解析：选Af'当 x qo,1)时,f'(x)>0 , f(x)单调递增,当 x qi,4时,f'(x)<0 , f(x)单调递减,4f(4)= ef>0，所以当x= 0时，f(x)有最小值，且最小值为0.e6.函数f(x) =

4、ax + x+ 1有极值的充要条件是()A.a>0B. a> 0C.a<0D. a< 0解析：选Cf' (x) 3ax2 + 1,由题意得f' (x) 0有实数根，即a以 a<0.7.函数f(x) = x 3ax a在(0,1)内有最小值，则 a的取值范围为()A.0,1)B. (0,1)C.(1,1)血,2)解析：选Bf (x) 3x 3a,由于f(x)在(0,1)内有最小值，故 a>0,且为X1 =a, X2= a,则 aq0,1), /0<a<1.8.曲线f(x) ln(2x 1)上的点到直线 2x y+ 3- 0的最短距离

5、是()A.1B. 2因为 f(0) = 0,C. 5D.3f' (x)= 0 的解i3(xm 0),所解析：选C 直线2x y+ 3 = 0的斜率为2,=2,解得 x= 1,f ' (x)=，令 一22x 1 2x 1由于 f(1) = ln(2 1) = 0,故曲线f(x)过(1,0)的切线斜率为2，则点(1,0)到直线2x y+ 3= 0的距离d=|2-0 + 3|=5,9.某厂生产某种产品x件的总成本:C(x) = 1 200+ 吕 x3,75且产品单价的平方与产品件即曲线f(x)= ln(2x 1)上的点到直线2x y+ 3= 0的最短距离是.5，故选C.数x成反比，生

6、产100件这样的产品的单价为50元，总利润最大时，产量应定为()B. 20 件A. 15 件C . 25 件D . 30 件解析：选C 设产品单价为a元，又产品单价的平方与产品件数x成反比，即a2x= k,由题知k = 250 000,2500则 a x = 250 000,所以 a =灵.总利润 y= 500 x 75x3 1 200(x>0),y, = 250昱x2，由 y' = 0,得 x= 25, x(0,25)时，y' >0, xq25,+)时，y' <0, 胡x 25所以x= 25时，y取最大值.3,+8 上是增函数，则实数a的取值范围是(

7、2 110.若函数 f(x)= x + ax+ -在A. 1,0C.讐,+8解析：选CB - 9兗D. 9 ,+s )1_1-f(x) = x2+ ax+ x在 3+8 上是增函数，1 1 ,'f' (x)= 2x+ a孑0在三，+ 8 上恒成立,1"1、f' (x)= 2x+ a x2在 3,+ 8 上递增，f'3 = 2 9+ a0,：a25.故选 C.11.已知a R，函数f(x)= 3x3 ax2 + ax+ 2的导函数f' (x)在( 8, 1)上有最小值,3若函数g(x)= fx，则()A. g(x)在(1, +m )上有最大值B.

8、 g(x)在(1,+ )上有最小值C. g(x)在(1 ,+ )上为减函数D. g(x)在(1 ,+ )上为增函数解析：选 D 函数 f(x)=3x3 ax2+ ax + 2 的导函数 f (x)= x2 2ax + a, f' (x)图像的3对称轴为2a, gx= a,又导函数f' (x)在(a, 1)上有最小值，所以a<1.函数g(x)= f : = x+£2a x a(x) = 1 -2= x2，当 x 1,+ )时，g' (x)>0，所以 g(x)在 (1 , +)上为增函数.故选D.12.设函数f' (x)是函数f(x)(x R)

9、的导函数，若 f(x) f( x) = 2x3，且当x>0时,f' (x)>3x2,则不等式 f(x) f(x 1)>3x2 3x+ 1 的解集为()A.(汽 2)C.D . (2 ,+s )解析：选 B 令 F(x)= f(x) x3，贝U F ' (x) = f' (x) 3x2,由 f(x) f( x) = 2x3,可得 F( x)= F(x),故F(x)为偶函数,又当 x>0 时，f' (x)>3x2，即 F ' (x)>0 ,F(x)在(0,+ a)上为增函数.不等式 f(x) f(x 1)>3x2 3

10、x+ 1 可化为 f(x) x3>f(x 1) (x 1)3,.F(x)>F(x 1),F(|x|)>F(|x 1|),由函数的单调性可知|x|>|x 1|,解得x>*.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分请把正确的答案填在题中的横线上)13. 函数y= 2x3 6x2 + 11的单调递减区间为 .解析：y' = 6x2 12x,令 6x2 12x<0,得 0vx<2.答案：(0,2)14. (2019北京高考)设函数f(x)= ex+ ae x(a为常数).若f(x)为奇函数，则a=若f(x)是R上的增函数，贝U a的取值范围是

11、.解析：f(x)= ex + ae-x(a为常数)的定义域为R,f(0)= e0 + ae 0= 1 + a = 0, :a =- 1.x . xx x x af(x)= e + ae ，f (x)= e ae = e x.ef(x)是R上的增函数， f (x)> 0在R上恒成立，即ex> 2在R上恒成立， aw e2x在R上恒成立.e又e >0,/aw0,即卩a的取值范围是(一, 0.答案：1(R, 015. 已知函数f(x) = xex+ c有两个零点，贝V c的取值范围是 .解析：f, (x) = ex(x+ 1),.易知f(x)在(a, 1)上是减少的，在(1,+)上

12、是增加的，且 f(x)min = f( 1) = c e_ 勺，由题意得 c e1<0，得 c<e1.1答案：( a, e )a16. 已知函数 f(x) = 2ln x+ -2(a>0).若当x (0,+a )时，f(x)> 2恒成立，则实数 a 的取值范围是.解析：f(x) > 2 即 a> 2x2 2x2ln x.2 2令 g(x)= 2x - 2x ln x,则 g' (x)= 2x(1 2ln x).由g' (x)= 0得x=畤0(舍去),1且 0<xve?时，g' (x)>0;当 x>e"时 g

13、' (x)<0 ,'x = g时 g(x)取最大值 g(e) = e,a > e.答案：e,+a )三、解答题(本大题共6小题，共70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤)17. (本小题满分10分)已知函数f(x)= ln x ex+ m在x= 1处有极值，求 m的值及f(x)的单调区间.1解：f(x)的定义域为(0,+ a), f' (x)= - ex+ m,由题意f' (1) = 0,解得m= 1,1 x 1 f (x)= x e ,利用基本函数单调性可知，在(0,+ a)上 f' (x)是减少的，且f' (1)

14、= 0,所以当0vxv1时，f' (x)>0, f(x)是增加的，当x>1时，f' (x)<0, f(x)是减少的.f(x )的单调增区间是(0,1)，单调减区间是(1 ,+a ).31218.(本小题满分12分)已知函数f(x)= x 2x + bx+ c.(1)若f(x)有极值，求b的取值范围；若f(x)在 x= 1处取得极值，且当 x 1,2时，f(x)vc2恒成立，求c的取值范围.解：(1)f' (x)= 3x2 x + b,则方程f' (x)= 0有两个不相等的实根,1由 A>0 得 1 12b>0 即 b<12.所

15、以b的取值范围是 一a, $ .-.f(x)在x= 1处取得极值，f f' (1) = 0, 3 1+ b= 0,得 b= 2.则 f' (x)= 3x2 x 2 = (3x + 2)(x 1).2令 f' (x)= 0，得 X1= 2, X2= 1,1 f 2 38又 f( 一 1) = 2 + C, f 一 3尸 27+ C,3f(1) = 2+ c, f(2) = 2+ c.f(x)max= 2+ c<c2，解得 C>2 或 C< 1.c的取值范围是(一a, 1) L(2,+ a).19.(本小题满分12分)设函数f(x) = xea x+ bx

16、,曲线y= f(x)在点(2, f(2)处的切线方程为 y= (e 1)x+ 4.求a, b的值；(2)求f(x)的单调区间.解：因为 f(x) = xea x+ bx,所以 f' (x)= (1 x)ea x+ b.f(2 尸 2e+ 2,依题设有f (2 尸 e 1,2ea2+ 2b= 2e+ 2, 即一ea-2+ b= e 1.|a = 2, 解得b= e.2 v(2)由(1)知 f(x) = xe + ex.由 f' (x)= e2 x(1 x + ex1)及 e2x>0 知，f' (x)与 1 x+ ex 1 同号.令 g(x)= 1 x+ ex 1，贝

17、U g' (x)= 1 + ex 1.所以当 x(a, 1)时，g' (x)<0 ,g(x)在区间(一a,1)上单调递减；当 x 勺1 ,+ a )时,g' (x)>0 ,g(x)在区间(1 ,+a)上单调递增.故g(1) = 1是g(x)在区间(一a ,+ a)上的最小值,从而 g(x)>0 , x(a,+a ).综上可知，f' (x)>0 , x(a, + a),故f(x)的单调递增区间为(a,+a ).20.(本小题满分12分)已知某厂生产 x件产品的成本 C = 25 000 + 200x+ 4)x2(单位:元).(1) 要使平均

18、成本最低，应生产多少件产品？(2) 若产品以每件500元售出，要使利润最大，则应生产多少产品?解：(1)设平均成本为y元，则25 000 + 200X+ 40x2x25 000x+ 200 +x40 ,y'=25000 + 200 + 40 ' =- 25000+ 4-，令 y1 = 0,得 xi= 1 000 , X2=- 1 000(舍去)当在 x x40x 40=1 000附近左侧时y' <0，当在x= 1 000附近右侧时y' >0，故当x = 1 000时，函数取得 极小值，由于函数只有一个点使y' = 0,且函数在该点有极小值，故

19、函数在该点取得最小值，因此，要使平均成本最低，应生产1 000件产品.f宀x2(2)利润函数 L = 500x 25 000 + 200x+ 亦=300x 25 000 心丄'=300x-25 000 40 ' = 300 盒，令 L ' = 0，解得 x = 6 000.当在 x= 6 000 附近左侧时L' >0，当在x = 6 000附近右侧时L ' <0,故当x= 6 000时，函数取得极大值，由于函数 只有一个使L' =0的点，且函数在该点有极大值，故函数在该点取得最大值因此，要使 利润最大，应生产 6 000件产品.342

20、1.(本小题满分12分)若函数f(x)= ax3 bx+ 4，当x= 2时，函数f(x)有极值-.(1) 求函数f(x)的解析式；(2) 若方程f(x)= k有3个不同的根，求实数k的取值范围.f ' (2 尸 0，解：(1)f ' (x)= 3ax2 b，由题意，得4，f2 尸412a b= 0，即彳48a 2b+ 4 =；，3解得1a= 3,b= 4,f(x)= x3 4x + 4.2(2)由(1)可得 f' (x) = x 4 = (x 2)(x + 2),令 f' (x)= 0，得 x= 2 或 x= 2.当x变化时，f' (x), f(x)的变

21、化情况如表:x(m， 2)2(2,2)2(2, + g)f' (x)+00+f(x)28 3432841因此，当x =- 2时，f(x)有极大值当x = 2时，f(x)有极小值4 所以函数f(x)=§ x3 4x + 4的图像大致如图所示.若f(x) = k有3个不同的根，则直线428y= k与函数f(x)的图像有3个交点， 3<k<y.实数k的取值范围为22.(本小题满分 12 分)(2019 江苏高考)设函数 f(x) = (x a)(x b)(x c), a, b, c R , f' (x)为f(x)的导函数.(1)若 a= b= c, f(4) =

22、 8，求 a 的值；若az b, b= c,且f(x)和f' (x)的零点均在集合 3,1,3中，求f(x)的极小值；4(3)若a= 0,0<bw 1, c= 1，且f(x)的极大值为 M，求证：M <石.解：(1)因为 a= b= c,所以 f(x)= (x a)(x b)(x c)= (x a)3.因为 f(4) = 8，所以(4 a)3= 8,解得 a = 2.(2)因为 b= c,所以 f(x)= (x a)(x b)2=x3 (a + 2 b) x2+ b(2a+ b)x ab2,从而 f' (x)= 3(x b) 2a+ bL 3丿2a+ b令f'(x)= 0，得 x= b 或 x=32a+ b因为a, b,厂都在集合 3,1,3中，且a工b,2a + b所以 3 = 1, a= 3, b= 3.此时，f(x) = (x 3)(x + 3)2, f' (x)= 3(x+ 3)(x 1).令 f' (x)= 0，得 x= 3 或 x = 1.当x变化时，f' (x), f(x)的变化情况如表所示:X(m， 3)3(3,1)1(1, + m )f' (X)+00+f(x)极大值极小值所以 f(x)的极小值为 f(1) = (1- 3)(1 +