二阶倒立摆实验报告

1、研究生课程报告二阶倒立摆的控制阶倒立摆的控制指导老师：屈桢深问题描述小车质量0.8kg，摆杆1质量0.3kg,摆杆长度1.0m ；摆杆2 质量0.1kg,摆杆长度0.5m 。要求：设计NN控制器，满足指标要求：0.2Hz正弦信号幅 值裕度10%,相角裕度15度。同时系统具备抗噪声和干扰性, 控制输入合理步骤：1阶倒立摆-2阶倒立摆。小车由电机通过同步带驱动在滑杆上来回运动，保持摆杆平 衡。电机编码器和角编码器向运动卡反馈小车和摆杆位置（线位 移和角位移）。小车在轨道上可以自由滑动。单级倒立摆系统数学模型N和P分别为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。分析小车水平方向所受的合力，可得到方

2、程为:Mx F bx N由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式:d2Nm7 x l sindt22N mx ml cos ml sin把这个等式代入式中，得到系统的第一个运动方程:2M m x bx ml cos ml sin F为了推出系统的第二个运动方程，对摆杆垂直方向的合力进 行分析，得到下面的方程:P mgm4 I cos dt2P mg mlsin ml 2 cos力矩平衡方程如下:P IsinNicos I方程中力矩的方向，coscos ,sin sin ，故等式前面有负号。合并这两个方程，约去P和N，得到第二个运动方程:假设I ml2 mgl sinmixcos与1 （单位

3、是弧度）相比很小，即1，则可进行近似处理:cos1,sinddt用U代表被控对象的输入力，线性化后两个运动方程如下:2I ml mgl mixM m x bx ml u对方程（7）进行拉普拉斯变换，得到:I ml2 (s)s2 M m X(s)s2mgl(S)mlX(s)s2 bX(s)s ml (s)s2 U (s)为:推导时假设初始条件为0则摆杆角度和小车位移的传递函数(s)X(s)mls2(I ml2 )孑 mgl摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为:(s)mlA(s) I ml2 s2 mgl摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数:ml 2一s(s)q2F (s)4 b(I ml )

4、3 (M m)mgl 2 bmgls s s sqqq2 2 2q (M m)(I ml2) m2l2 以外界作用力作为输入的系统状态空间表达式为:10 (l ml2)b 2I(M m) Mml20 00 m_-I(M m) Mml20I ml202 .2 7 m glc XI(M m) Mml2*01mgl(M m)l(M m)Mml2 0I(M m) Mml2 u 0mlI(M m) Mml2以小车加速度作为输入的系统系统状态空间表达式:0003g4l010 u3_412系统的可控性、可观测性分析对于连续时间系统:X AXBuy exDu系统状态完全可控的条件为:当且仅当向量组B , AB

5、 ,., An 1 B是线性无关的，或nxn维矩阵BABAn 1B的秩为n。系统的输出可控条件为：当且仅当矩阵CB CAB CA 2 B CA n 1B D的秩等于输出向量讨的维数。应用以上原理对输入为加速度输出为摆杆与竖直方向的角度的夹角时的系统进行可控性分析即可。在忽略了空气流动，各种摩擦之后，可将倒立摆系统抽象成小车、匀质杆的系统，如图所示。图1直线两级倒立摆物理模型F面利用拉格朗日方程推导运动学方程拉格朗日方程为:L q,q Tq,q V q,qg LdtqLfiT TmTm1Tm2Tm3TnlTm1Tm2TmTm1如d x hsin 1dt2d I1Sin 1dt12mX2m,l1X

6、 1 cos1m1l12|；22 |2Tm1丄讪23Tm1Tm1Tm12miX2 miliXli2 2 12cos 1 m1l1 |13同样可以求出Tm 2 m221-m22d(x 2I1 sin 1 I2sin 2dtX 2I1 1cos 1COS1尹21m22d(2l1 cos 1 I2 cos 2)dt2I1 1 sin 1 I222 sin 2Tm21Tm2 J22IHT m2T m2m2 4I12 1如11m223%2X22* 2I1cos 1122 COS 24I1I2 I1 L COs 2 1因此，可以得到系统的总动能为:T Tm2 MX1-m221m22Tm 1 Tm2如*2

7、口11彳X22*4I12F系统的总势能为:V Vm1 Vm2ggh cos从而拉格朗日算子:2 121 cos 1 一 m1I132I1 h cos 1 I2 )2 cos3I2 I2 4I1I2 I1 I2 cos3Vm31 m2g 211 cos 1 I2cosLTV刿2 3如*2讪才 1m?2 212m2X2 2* 2li2 ,21 COS 1- rnh31 cos 1 I2 L cos,2124 22 1-I22 4I1I2m2g1 2 cos4l12migh cos 12I1COS 1 I2 cos由于因为在广义坐标2上均无外力作用,有以下等式成立:ddt1, 2求解代数方程,得到以

8、下两式1 4m3gs in 12) I2 3m2Xcos( 12(211( 4mi 12m2 12m3 9m2 cos ( 12)2) I22 2mXcos 12)/(3( 2gmi sin 1 4gm2Sin6m2l1 cos( 12)s in( 1fcos 1 4m3Xcos 13m2gcos(21)sin 24m2I2 sin( 12)cos2)3Xcos 2)42I23(m2 m3)l1l2( 3gsin 2 6I1 h sin( 19表示成以下形式:K16A 001,f2(X1取平衡位置时各变量的初值为零,A (X, 1 , 2,X，1, 2，X)(0,0,0,0,0,0,0) 0将

9、（23 ）式在平衡位置进行泰勒级数展开，并线性化，令K11=1 A 00XK123( 2gmi 4gm2 4gm3)2( 4m1 3m2 12m3)l1K13f1 9m2g 2( 4mi3m212m3)liK14K15K173( 2m1m2 4m3)2( 4m, 3m2)l1带入式，得到线性化之后的公式K12 1K13 2K17X将式在平衡位置进行泰勒级数展开,并线性化，令即:K21K22K23K27f2f2K24K25K262g(mi 2m2)4m2l216 (m 3m2)l24g(mi 3m2)3(4m2l2甲。节。16(03m2 )l2 )92(mi 2m2)4m2l22 K22 1K2

10、34-(m1 3m2)316 (mh 3m2)l292 K27X带入（22 ）式，得到K12 1K13 2K17XK22 1K23 2K27X现在得到了两个线性微分方程,由于我们采用加速度作为输K276入，因此还需加上一个方程取状态变量如下:XiX2X3X4xx由（33），（41），（42）式得到状态空间方程如下:0000000000K12K220000K13K23100000010000001000XiX2X3X4000 u1K17其中直线两级倒立摆系统参数为:小车质量2.32kgmi =0.3kg ；m2=0.2kg ； 1为摆杆1与垂直向上方向的夹角2为摆杆2与垂直向上方向的夹角；ii=

11、1m ； I2 =0.5m ； F为作用在系统上的外力由以上方程，将以下参数代入即可。0.8mim2g11120.30.29.810.5神经网络建模本文采用的神经网络采用4-5-3结构的三层前馈网。输入变量为XiX2X3X2(0-1)X3de tdtAn tyout t网络隐含层的局部诱导域和输出分别为Vjn1 jin O0 n(0-2)Oi0 n1Vjn j 1,2,3,., Q其中，w为隐含神经元的突触权值，W0表示神经元的偏置,Q为隐含神经元的节点数，隐含神经元的激活函数取双曲正切函x xe ex tanh x-xe e(0-3)网络输出层的诱导局部域和输出分别为Qvj nj 0wk2

12、n O1 n(0-4)Ok n f V2 nk 1,2,3(0-5)kpkikdO12O22O3(0-6)考虑到输出参数不能为负值,所以激活函数采用非负函数xex xe e(0-7)1f x - 1 tanh x2控制率为(0-9)de tMet kpet k et 采用BP学习算法，对网络的突触权值进行迭代修正， 并附加 一个使搜索快速收敛的全局极小的动量项。定义系统的代价函数 为。(0-9)t丄etyoutt u t Ok t2 2yout t u tOkt Vk t由于输出对控制量的偏导未知，所以用符号函数近似表示,由此带来的计算不精确的影响尽量由调整学习率来补偿。由控制 方程不难得到2

13、2,Wkjtt2WkjtO： ndwij t dt dwij t dt(0-10)其中，yita是学习率，alpha是动量因子，根据微分链式规则,(0-11)局部梯度可计算如下(0-13)Me t Kpid X' kp et kide t etdt rMe t2xkO： t(0-13)将所有公式整合，不难得到神经元k的局部梯度为2 . .yout tkt etsgFXk t f' vk2 t(0-14)由此可得，网络输出层神经元的突触权值调整的修正公式为k t O1 t wkj ''dt(0-15)同理,可得隐含层神经元的突触权值学习算法。w1i ' t

14、 1 t 0° tw1i '' t dt(0-16)其中,神经元j的局域梯度为k t wk21(0-17)至此,本文采用的神经网络原理已介绍完成，考虑到本次仿真过程采用的变时间步长仿真方式类似于连续仿真，故在上文公式中将神经网络中所有离散部分连续化。现将网络工作过程归纳如下。初始化确定网络结构，确定输入层节点数M和隐含层节点数Q,并给出各层突触权值的初值，选择学习率和动量 因子;采样得到xin和yout，并计算此时误差e ； 计算神经网络各层神经元的输入和输出，输出即为PID的 三个可调参数Kp、Ki、Kd;计算控制器的输出u ；进行神经网络的学习，在线调整突触权值矩阵，实现PID参数的自适应调整;进行下一步迭代运算直至仿真完成。仿真结果PID仿