高三数学第一轮总复习 2.9 指数函数与对数函数（2）

1、1第 二 章第 二 章函数函数22.9 2.9 指数函数与对数函数指数函数与对数函数第二课时第二课时题型题型4 对数函数综合问题对数函数综合问题 1. 设设a、bR，且，且a2，定义在区间，定义在区间(-b，b)内的函数内的函数f(x)= 是奇函数是奇函数. (1)求求b的取值范围；的取值范围； (2)讨论函数讨论函数f(x)的单调性的单调性.1lg12axx3 解：解：(1)函数函数f(x)= 在区间在区间(-b,b)内是奇内是奇函数等价于对任意函数等价于对任意x(-b,b)都有都有 因为因为f(-x)=-f(x)，即，即 由此可得由此可得 即即a2x2=4x2. 上式对任意上式对任意x(-

2、b，b)都成立相当于都成立相当于a2=4， 因为因为a2，所以，所以a=-2. 将其代入将其代入 中，得中，得1lg12axx(- )- ( ),101 2fxf xaxx1-1lg-lg,1-21 2axaxxx1-1 2,1-21axxxax1012axx1-20,12xx4 即即- x .上式对任意上式对任意x(-b,b)都成立相当于都成立相当于- -bb ，所以所以b的取值范围是的取值范围是(0， .(2)设任意的设任意的x1，x2(-b，b)，且，且x1x2，由由b(0， ，得，得- -bx1x2b ，所以所以01-2x21-2x1，01+2x11+2x2，从而从而f(x2)-f(x

3、1)=因此因此f(x)在在(-b，b)内是减函数，具有单调性内是减函数，具有单调性.1212121212121212212121211-21-2(1-2 )(1 2 )lg-lglglg1 0,1 21 2(1 2 )(1-2 )xxxxxxxx5 点评：点评：对数函数问题是重点知识，对数函数问题是重点知识，它综合了对数的运算、函数的有关性它综合了对数的运算、函数的有关性质等知识，所以在解题过程中计算量质等知识，所以在解题过程中计算量较大且易出错，而函数的性质的讨论较大且易出错，而函数的性质的讨论和证明又涉及到代数推理方面的和证明又涉及到代数推理方面的 问题，故又是难点知识问题，故又是难点知识

4、.6 函数函数 是奇函数是奇函数 (其中其中0a1)，则，则 (1)m=_; (2)若若m1，则，则f(x)的值域为的值域为_. 解：解： (1)因为因为f(x)是奇函数，是奇函数，所以所以f(-x)=-f(x)在其定义域内恒成立在其定义域内恒成立.即即所以所以1-m2x2=1-x2恒成立恒成立 m2=1 m=1.1-( )log1-amxf xx11-log-log,11-aamxmxxx7(2)由由(1)知，知，m=-1， yR，所以所以 的值域为的值域为R.11log1-1-yaxxyaxx-1(-1,1)01yyyaxaa1log1-axyx8 2. 设设a0且且a1,为常数为常数,函

5、数函数f(x)= (1)试确定函数试确定函数f(x)的奇偶性；的奇偶性； (2)若若f(x)是增函数，求是增函数，求a的取值范围的取值范围. 解：解：(1)f(x)的定义域为的定义域为R. 因为因为 所以所以f(x)为奇函数为奇函数. (2)设设x1x2，则，则 题型题型5 指数函数综合问题指数函数综合问题21(-).-2xxaaaa-2(- )(-) - ( ),-2xxaf xaaf xa12211212122211( )- ( )(-)-21(-)(1).-2xxxxxxxxaf xf xaaaaaaaaaa a9因为因为f(x)为增函数，则为增函数，则f(x1)-f(x2)0.则则 又

6、又x1x2，所以所以 或或 解得解得a 或或0a1.故故a的取值范围是的取值范围是(0，1)( ，+). 点评：点评：讨论函数的奇偶性，一定要按定义域讨论函数的奇偶性，一定要按定义域优先的原则，然后在定义域范围内，再判断优先的原则，然后在定义域范围内，再判断f(x)与与f(-x)是相等还是相反是相等还是相反.底数是含参式子的指数函数底数是含参式子的指数函数的单调性问题，要注意运用分类讨论思想，根据的单调性问题，要注意运用分类讨论思想，根据底数的不同情况时的单调性质得到相应的不等式底数的不同情况时的单调性质得到相应的不等式(组组)，最后综合各种情况得出所求问题的答案，最后综合各种情况得出所求问题

7、的答案. 122(-) 0,-2xxaaaa210- 2aaa201,0-2aaa 2210 设函数设函数 是是R上上的奇函数的奇函数. (1)求求a的值；的值； (2)求求f(x)的反函数；的反函数； (3)解不等式解不等式:f -1(x)log2(x+1). 解解：(1)因为因为f(x)是是R上的奇函数，所以上的奇函数，所以f(0)=0,得得a=1. (2)因为因为 所以所以y+y2x=2x-1,11所以所以2x(y-1)=-1-y,所以所以即即f-1(x)= (-1xlog2(x+1)所以不等式的解集为所以不等式的解集为x|0 x1.21log1-xx12.1-xyy221loglog

8、(1)1-xxx101-1 0 01.111-xxxxxxx 12 3. 已知函数已知函数f(x)=loga(a-ax) (a1且为常数且为常数).(1)求求f(x)的定义域和值域的定义域和值域;(2)判断判断f(x)的单调性；的单调性；(3)证明：函数证明：函数y=f(x)的图象关于直线的图象关于直线y=x对称对称.解：解：(1)由由a-ax0axa，因为，因为a1，所以，所以x1.所以所以f(x)的定义域是的定义域是(-，1).因为因为x1，a1，所以，所以0axaa-axa，所以所以loga(a-ax)logaa=1.所以所以f(x)的值域为的值域为(-，1).题型题型6 复合型指数函数

9、、对数函数问题复合型指数函数、对数函数问题13 (2)设设x1x21，则，则ax1ax2a，a-ax1a-ax2loga(a-ax1)loga(a-ax2)，即即f(x1)f(x2)，所以，所以f(x)是减函数是减函数. (3)证明证明:由由y=loga(a-ax)a-ax=ayax=a-ay，所以所以x=loga(a-ay)，所以，所以f-1(x)=loga(a-ax) (x1).于是于是f-1(x)=f(x)，故函数故函数y=f(x)的图象关于直线的图象关于直线y=x对称对称. 点评：点评：复合函数的单调性既可利用定义直复合函数的单调性既可利用定义直接判断，也可转化为简单函数来处理其单调性

10、接判断，也可转化为简单函数来处理其单调性.若函数的图象关于直线若函数的图象关于直线y=x对称，则此函数的反对称，则此函数的反函数的解析式与原函数的解析式相同函数的解析式与原函数的解析式相同.14 已知已知f(x)=lg(ax-bx)(a1b0). (1)求求f(x)的定义域；的定义域； (2)判断判断f(x)在其定义域内的单调性；在其定义域内的单调性； (3)若若f(x)在在(1，+)内恒为正，试比较内恒为正，试比较a-b与与1的大小的大小. 解：解：(1)由由ax-bx0，所以，所以( )x1，又，又 1，所以，所以x0. 所以定义域为所以定义域为(0，+).abab15(2)设设x2x10

11、，a1b0，所以所以ax2ax1，bx1bx2，-bx2-bx1，所以所以ax2-bx2ax1-bx10，所以所以 所以所以f(x2)-f(x1)0.所以所以f(x)在在(0，+)是增函数是增函数.(3)当当x(1，+)时，时，f(x)f(1)，要使要使f(x)0，须，须f(1)0，所以所以a-b1.2211-1.-axbxaxbx16 1. 指数函数指数函数y=ax(a0,且且a1)与对数函数与对数函数y=logax (a0,且且a1)互为反函数互为反函数,要能从概念、图要能从概念、图象和性质三个方面理解它们之间的联系与区别象和性质三个方面理解它们之间的联系与区别. 2. 要把对一般函数的研究方法用到指数函数要把对一般函数的研究方法用到指数函数和对数函数的研究上来，如定义域、值域、单调和对数函数的研究上来，如定