3.1.5空间向量运算的坐标表示

1、3.1.5空间向量运算的坐标表示軀础巩固JICHU GONGGU =则下列结论正确的是（D1. 已知向量 a=(4,-2,-4),b=(6,-3,2).(A)a+b=(10,-5,-6) (B)a-b=(2,-1,-6)(C)a - b=10(D)|a|=6-b=22,|a|=6,所以选项解析:a+b=(10,-5,-2),a-b=(-2,1,-6),aA,B,C错误.故选D.2. 已知向量 a=(x24),b=(3,y,12).且a / b,则x+y的值为（C(A)1(B)6 (C)7(D)15解析:因为a / b,所以存在实数入使得,b=入a,r 3二巩 y =汕 所以112 =仇解得 x

2、=1,y=6.所以x+y=7.故选C.3. 已知 a=(1,1,0),b=(0,1,1),c=(1,0,1),p=a-b,q=a+2b-c.等于（A ）(A)-1(B)1(C)0(D)-2解析：因为 p=a-b=(1,0,-1),q=a+2b-c=(0,3,1)所以 P- q=1x 0+0X 3+(-1) X 1=-1.故选 A.4. 已知向量a=（1,1,0）,b=（-1,0,2）, 且ka+b与2a-b互相垂直，则k 的值是（D ）137(A)1(B)g (Cp(Dp解析：由题意得，(ka+b) (2a-b)=(k-1,k,2) (3,2,-2)=3(k-1)+2k-74=0,所以k=g.

3、故选D.5. 已知向量a=(0,2,1),b=(-1,1,-2), 则a与b的夹角为(C )(A)0(B)45(C)90(D)180解析：设a与b的夹角为0 ,由向量夹角定义可得COS 0 =1叫=0,又 0 0 180 ,则 ABC勺形状是所以0 =90 .故选C.6.已知点 A(1,-2,11),B(423),C(6,-1,4),(A)等腰三角形(B)等边三角形(C)直角三角形(D)等腰直角三角形TTT解析：卫(3,4,-8), M=(5,1,-7), m=(2,-3,1), 所以|力? |= J护+ 4+护胡, | M|=占+| 云|= 丁22 + 护 + 1=”所以 I2+严|2=75

4、+14=89二严|2.所以 ABC为直角三角形.故选C.17.已知 a=(sin0 ,cos 0 ,tan0 ),b=(cos 0 ,sin 0 ,加乳日)，且 a丄b,则0等于（托(B)(A)-兀TT(C)2k n -2(k Z)TT(D)k n /(k Z)TT解析：因为 a b=2sin 2 0 cos 0 +1=sin 2 0 +1=0,所以 2 0 =2k n -rr(k Z), 0 =kn-珂k Z).故选 D.则以a,b为邻边的平行四边形的面积8. 已知 a=(2,-1,2),b=(2,2,1).(A)佰(B)(C)4(D)8ab解析：因为cos=|Q|l创2x2 + ( 1)x

5、2 + 2乂1 4=93X3所以 sin= 9 ,所以面积 S=|a|b| sin=屈，故选A.入a+b|=阿且入0,贝J入9. 已知向量 a=(0,-1,1),b=(4,1,0),|解析:因为 a=(0,-1,1),b=(4,1,0),所以入a+b=（4,1-入，入）,因为I入a+b|=佰,2 2 2所以,16+（1-入）+入=29,所以入-入-6=0,所以入=3或入=-2,因为入0,所以入=3.10. 与a=(2,-1,2)共线且满足a - x=-18的向量x=解析：因为x与a共线，所以设x=入a=(2入，-入,2入), 又a - x=-18,所以4入+入+4入二-18,所以入=-2,所以

6、 x=(-4,2,-4).答案:(-4,2,-4)11. 已知卫n=(1,5,-2),处=(3,1,z),若卫B 丄处严P=(x-1,y,-3),且 BP丄平面ABC则BP =解析：因为山B丄册,所以沖/?.曲=0, 即 1X 3+5 X 1+(-2) X z=0.所以z=4,因为BP丄平面ABC所以丄月B严丄处, fl X兀l) + 5y+ (-2) X (-3) = 0,即(3(x-l)+y+C-3；) x4=(b33154015解得 x=7 ,y=- 7 ,于是AP=(7,-7 ,-3).3315答案:(7,- 7,-3)12. 若卫B =(-4,6,-1),沖C =(4,3,-2),|

7、a|=1, 且 a a 月丄 M ,则 a=/ Ta-AB = 0,haAC = 0,由题意有I岡=代入坐标可解得3X =、134y =I1312Z = 均或34 12答案：(込辽方)或(-3412了广正广了)13. 已知向量 a=(1,2,-2),b=(-2,-4,4),c=(2,x,-4).(1)判断a,b的位置关系;若a/ c,求|c|;(3)若b丄c,求c在a方向上的投影.解:(1)因为 a=(1,2,-2),b=(-2,-4,4),所以 b=(-2,-4,4)=-2(1,2,-2)=-2a.所以a/ b.因为a / c,2 X -4所以示解得 x=4,所以 c=(2,4,-4),从而

8、|c|= Q +梓+(-疔=6.因为b丄c,所以b c=0.所以(-2,-4,4)- (2,x,-4)=-4-4x-16=0,解析：设 a=(x,y,z),3X =,134V =-13122 =.13解得x=-5.所以 c=(2,-5,-4).所以c在a方向上的投影为a c (12 - 2)N - - 4) 2-10 + 8|c|cos=|c| X Ml4=+ 2, +(-2严=3=0.14. 已知 A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2).(1)若弘/丘，几/丘,求点D的坐标;问是否存在实数a , 3使得肚=aSE +3册成立？若存在，求出a , 3的值;若不存在,说明理由.解:

9、(1)设 D(x,y,z),则 DR=(-x,1-y,-z),几=(-1,0,2),仏=(-x,-y,2-z), 片花(-1,1,0).Tf ff因为DR II AC严/卫B ,-y,-r) = m(- 1,0.2), 所以 1(-兀-g)二讯IJQrX = 一 1,y =解得(即 D(-1,1,2).TT 依题意占n=(-1,1,0),血=(-1,0,2), =(0,-1,2).假设存在实数a, 3 ,使得几=0 +3云成立,则有(-1,0,2)= a (-1,1,0)+3(0,-1,2)=(-a , a - 3 ,2 3 ),所以 a= 1, c -呂=0 邙=乙故存在a = 3 =1,使

10、得兀二a乔+P矗成立.NENGLI TISHENG =15.棱长为1的正方体 ABCDAiBCD中,E,F,G 分别是 DD,BD,BB的中点I 八、(1)求证:EF丄CF;求EF与血所成角的余弦值；求1他1的长.解：建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则 D(O,O,O),E(O,O,C(O,1,O),F( J,O),G(1,1,芍，所以品二C2-令.GG=(1,O, 2), GE=(O,-1,rr (1)因为EF CF =2 X + X (- 2)+(- 2) x O=O,所以亦丄,即EF丄CF.因为EF GG = X 1 + X O+(- E)rn亦护+即+(-护y | EF|=寸乙=

11、占Eh-CG詁+”+#=爭空X並。袞所以 C0SVM,a；=|EFMq 二T T=irT 於+(_1屮十(；)2 (3)1 G牛z =探究创新 _rrnN川U CHUnNGXtN =16.在空间坐标中，点B是A(123)在yOz坐标平面内的射影，0为坐标原点，则|OB|等于(B ) (A)奶(B)佰(C) ( D刃饭解析：因为点B是A(1,2,3)在yOz坐标平面内的射影， 所以B点的坐标是(0,2,3) 所以|0B|等于佰.故选B.17.将边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，若点P满足11 Tf SA BC TTB(C)(A) 2(B)2RP=.2 *D,则| /iP解析：设B

12、D中点为0,连接OA,OC, 则OCL平面ABD,以O为原点，心所在直线为Sx轴，创所在直线为y轴,g所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则 A( J0,0),B(0,2,0),C(0,0, 2),D(0,-2 ,0),所以仏=（亍，-亍,0）,册=(0,-L),M=（0,-诧0）,1 T -BC2(0,-T,T）+（0,-农,0）1 Q富 二q J- 2 ,0)-=(4，- *S- 4 ),- 隔 2+(-、即+(-密 所以I胛| =44故选A.18. 已知 a=(3,2-x,x),b=(x,2,0).且a与b的夹角为钝角，则实数x的取值范围是解析：因为a,b的夹角为钝角, 所以a b0,即 3x+2(2-x)+0 - x=4+x0,所以x又因为叫耐2=4网卷，1 = 4(3 -X), -7 = 4C - 2 - y 所以 1-2 = 4(-5-z).n所以11答案：(兀,-42 220.已知关于x的方程x -(t-2)x+t+3t+5=0有两个实根，且向量 a=(-1,1,3),b=(1,0,-2),c=a+tb.(1)当|c|取最小值时，求t的值; 在(1)的情况下，求b和c夹角的余弦值.、 , 2 2 解：(1)因为关于x的方程x-(t-2)x+t+3t+5=0有两个实根,所以 =(t-2) 2