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1、第二章矩阵及其运算1已知线性变换：求从变量到变量的线性变换解由已知：故 2已知两个线性变换 求从到的线性变换解 由已知所以有 3设, 求解4计算下列乘积：(1); (2); (3);(4);(5);(6).解(1)(2)(3)(4)(5)(6) 5设, ，问：(1)吗?(2)吗?(3)吗?解(1), 则 (2) 但故(3) 而 故 6举反列说明下列命题是错误的:（）若,则;（）若,则或;（）若,且,则.解 (1)取 ,但(2)取 ,但且(3)取 且 但7设,求.解 利用数学归纳法证明: 当时,显然成立,假设时成立,则时由数学归纳法原理知:8设,求.解 首先观察 由此推测 用数学归纳法证明: 当

2、时,显然成立. 假设时成立，则时，由数学归纳法原理知: 9设为阶矩阵，且为对称矩阵，证明也是对称矩阵.证明已知：则 从而 也是对称矩阵.10设都是阶对称矩阵，证明是对称矩阵的充分必要条件是.证明由已知： 充分性：即是对称矩阵.必要性：.11求下列矩阵的逆矩阵：(1)； (2)； (3); (4);(5); (6)解(1) 故 (2) 故存在从而 (3) , 故存在 而 故 (4) 故(5) 故存在而 从而(6)由对角矩阵的性质知 12解下列矩阵方程：(1); (2);(3);(4).解(1)(2) (3)(4)13利用逆矩阵解下列线性方程组:(1) (2) 解(1)方程组可表示为 故 从而有

3、(2) 方程组可表示为 故 故有 14设(为正整数),证明.证明一方面， 另一方面，由有故两端同时右乘就有15设方阵满足,证明及都可逆,并求及.证明由得两端同时取行列式: 即,故所以可逆,而 故也可逆.由又由16设,求.解由可得故17设,其中,求.解故所以 而 故18设次多项式,记称为方阵的次多项式.(1)设,证明: ,;(2)设,证明: ,.证明(1) i)利用数学归纳法.当时 命题成立,假设时成立,则时 故命题成立.ii)左边=右边(2) i)利用数学归纳法.当时成立假设时成立,则时成立,故命题成立,即 ii) 证明右边=左边19设阶矩阵的伴随矩阵为，证明：(1)若,则;(2) .证明(1)用反证法证明假设则有由此得这与矛盾，故当时有(2)由于, 则取行列式得到: 若 则若由(1)知此时命题也成立故有20取,验证检验: 而故21设,求及解，令

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