递推数列问题的处理策略

1、递推数列问题的处理策略；电话07342518006 湖南祁东育贤中学 周友良 421600数列是高中数学很重要的内容之一，蕴含着丰富的数学思想，尤其是递推数列问题具有很强的逻辑性，是考查逻辑推理和化归转化能力的很好素材。近年来，递推数列问题成为国内外高考命题的热点题型，这是因为递推数列问题能考查学生分析问题和解决问题的能力，这类问题使很多学生感到困难。本讲对递推数列问题进行一个研究。递推数列问题主要解决的是由递推关系求数列的通项问题和前n项和问题。一化归为等差或等比数列求解等差和等比数列是数列中最常见的两种重要数列，解题中若能把递推数列化归为等差或等比数列求解，则比较简捷。1 换元法通过适当换

2、元，转换成等比数列或等差数列。例1 已知数列的首项，前n项和为，且，求的通项公式。分析与略解：当n2时，。两式相减，得，。可见是公比为2的等比数列。又 ，得 ，则 。因此 。两边同除以，得（常数），可见是首项为，公差为的等差数列。因此，从而。评析：本例通过两次化归，第一次把数列化归为等比数列，第二次把数列化归为等差数列，随着化归的进行。问题降低了难度。例2 已知数列，=1，(，2)，求。解：是以2为公比，为首项的等比数列。=2 参数法通过选择适当的形式，引入待定的参数，再确定参数的值。例3某林场原有木材量为，木材以每年25%的增长率生长，而每年要砍伐的木材量为。(1) 求年后的木材存有量；(2

3、) 为使经过20年木材存有量翻两番，求每年的砍伐量(取2=0.3)。解：设经过年木材的存有量为，则由已知可得：=，=，=。设=()，得=得=44=(4)(1)设=4，则是以=4=5为首项，为公比的等比数列，则：=(5)·(2)由已知及(1)可得：，令，则=20(132)2=0.3=2，=100故4+100400=4=答：(略)二利用叠加或叠乘进行转化就是对已知递推式适当变形，通过累加或累积求得通项。例4已知数列，=2，=+3+2，求。解：由已知得(1)个式子相加得：=31+2+(1)+2(1)=3×。例2（2002年全国高考题）设是首项为1的正项数列，且（n=1,2,3），

4、求通项。分析与略解：则已知有。由为正项数列，知，故有。（*）方法1（叠乘法）：由（*）有。利用 ，得 方法2（叠加法）：由（*）式，记，则。利用得 。方法3（常数列）：由（*）式有，可知是常数列。则 ，得 。评析：有些数列不易直接化成等差或等比数列，但经推理可寻求特殊的关系转化为可求通项的数列。上例巧妙利用和求解。三利用归纳法求解这是一种常用的解决涉及递推数列的通法，但应用此方法时常要结合数学有关知识方能奏效，而且在推理过程中要善于挖掘隐含在问题中的条件，尤其归纳猜想十分重要，否则会误入歧途。归纳法求解递推数列的通项是先计算数列的前几项，通过观察、归纳、推理、猜想通项公式，再用数学归纳法证明。

5、例5已知数列中=，。(1) 计算，。(2) 猜想通项公式，并且数学归纳法证明。解 ：(1)根据，易得：(2)由于每项分子都是3，分母组成一个首项为5，公差为6的等差数列。所以猜想=用数学归纳法证明如下 ： 当=1时=显然成立； 假设当=时，成立，那么当=+1时，即当=+1时结论也成立。综上，由得，对一切，=都成立。例6已知是由非负整数组成的数列，满足，（n=3，4，5）。（1）求；（2）证明（n=3，4，5）；（3）求的通项公式及前n项的和。分析与略解：（1）由条件知且、均为非负数，故可能值为1、2、5、10。对其逐一讨论，并保证均为非负整数，知。（2）用数学归纳法证明：易知n=3时，等式成立

6、。假设n=k(k3)时等式成立，即。由条件。而，则上式化为，即n=k+1时等式也成立。综合上述，对n3时，有成立。（3），由（2）知，则（k=1，2，3）；，故 从而（n=1，2，3）可求得练习1 已知=，=1，=()，求。分析：由已知且当2时，是一个首项为=3，公差为3的等差数列。=3+(2)×3=33=(33)+(36)+3+1=2时=，=1时=1也满足此式。对于，均有=。2 已知是非负整数组成的数列，=0，=3且，=3,4，5，。(1)求；(2)证明：；(3)求的通项公式及前项和。解：(1)由已知有0，N()，由只能是1或2或5或10。当，不合题意。当，不合题意当，不合题意=2(2)数学归纳法证明。由(1)得=2，从而=5当=3时，显然=2=+2，命题成立。假设=(3)时命题成立，即，则当=+1时又2>0即=+1时