立体几何初步第4课时平面及平面的位置关系

1、第/I章立体几何初步第4课时平面与平面的位置关系、课前-寺卒引领九八3.考情分析考点新知J解平回与平面的位置关系，在判定和证明平回与平回位置关系时，除J能熟练运用判定定理和性质定理外，还要充分利用定义，注意线线关系，线回关系以及回回关系的转化.理解囿回字直、囿囿平行的判定定理和性质定理，进一步掌握线线、线回、回回平行及垂直的相互转化.哮回归教材iHtGtUl<<x：1 .（必修2Pr习题1改编）设a、b为不重合的两条直线，a、3为不重合的两个平面，给出以下命题：假设aa且ba,那么ab：假设2_1_（!且1）_101,那么ab：假设aa且a,那么a。：假设2_1_&且2_1

2、d那么a仇其中为真命题的是.（填序号）答案：解析：错，alia,blia,直线a与b可能相交、平行或异面；错，假设aC0=1,a111,aa,p,那么aa,a0.2 .（必修2P.练习4改编）若是平面aJ_平而依直线IL平面0,那么直线1与平面a的位置关系是.答案：直线1与平面a平行或直线1在平面a内解析：不要忽略直线1在平面a内的情形.3 .（必修2P48习题12改编）已知直线a和两个不同的平面a、0,且a±a,aB，那么a、P的位置关系是.答案：垂直解析：运用两平面垂直的判定方式.4 .（必修2Psi习题16改编）已知a、0、y是三个不同的平面，命题“a。，且a_Ly=>B

3、_Ly”是真命题，若是把a、仇丫中的任意两个换成直线，另一个维持不变，在所得的所有新命题中，真命题的个数是.答案：2解析：假设a、0换为直线a、b,那么命题化为“ab,且a_Ly=>b_LY"，此命题为真命题；假设&y换为直线a、b,那么命题化为“a，且a_Lb今b_L|T,此命题为假命题；假设仇Y换为直线a、b,则命题化为“aIIa,且b.La=>a_Lb',此命题为真命题，故真命题共2个.5 .（必修2P49练习4改编）a、b、c为三条不重合的直线，。、仇丫为三个不重合平面，现给出六个命题：ac,=>ab：bc|ay,lb丫0ab；|ca,MP.

4、其斗1aY，ac.,a丫】正确的命题是0aa；ac.(填序号)今aa.1a丫答案：解析：错在a、b可能相交或异面.错在a与p可能相交.、错在a可能在a内.7D识清单1 .两平而平行的概念：若是两个平面没有公共点，那么咱们就说这两个平面相互平行.2 .两个平而平行的判定定理：若是一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.性质定理：若是两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.3 .两平面垂直的概念：若是两个平面所成的二面角是直二面角，咱们就说这两个平面相互垂直.4 .两个平而垂直的判定定理：若是一个平面通过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直.性质定理：

5、若是两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.备课札记课中技*点拨ha题很致也1精选例1（2021江苏）如图，在三棱锥SABC中，平面SAB，平而SBC,AB_LBC,AS=AB,过A作AF_LSB,垂足为F,点E、G别离是棱SA、sSC的中点.求证：(1)平面EFG平而ABC：(2)BC±SA.证明：(1)AS=AB,AF±SB,F是SB的中点.E、F别离是SA、SB的中点，.EFIIAB.EF平面ABC,ABC平面ABC,EFII平面ABC.同理FG平面ABC. ,EFAFG=F,EF、FG,平面ABC,平面EFG/平面ABC.；平面SAB

6、_L平面SBC，平面SABn平面SBC=SB,AF。平面SABrAF±SB,/.AFJ_平面SBC /BCC平面SBC,AFJLBC /ABJLBC,ABDAF=A,AB、AFg平面SABBC«L平面SAB. /SAC平面SAB，.二BC±SA.文式制焦如图，在四棱锥PABCD中，M、N别离是侧棱PA和底面BC边的中点，O是底面平行四边形ABCD的对角线AC的中点.求证：过O、M、N三点的平面与侧而PCD平行.证明：:O、M别离是AC、PA的中点，连结OM,那么OMPC丁OM平面PCD,PC平面PCDOMII平面PCD.同理，知ON/CD.VON平面PCD,CD平

7、面PCD,Z.ONII平面PCD,又OMAON=O，.二OM、ON确信一个平面OMN.由两个平面平行的判定定理知平面OMN与平面PCD平行,即过O、M、N三点的平面与侧面PCD平行.在直四棱柱ABCDAiBiJDi中，底面ABCD是菱形.求证：平而B】AC平而DGA1.证明：因为ABCDAiBCQi是直四棱柱，因此A1CNAC又AC】平面BiAC,ACC平面&AC,因此A1C/I平面BiAC.同理，ADII平面BAC因为AjCjxAD(2平面DCA,AjCjAAiD=Air因此平面BiACll平面DCiAj.致在2而手而的垂五关系例2如图，三棱锥A-BCD中，ZBCD=90°

8、,BC=CD=LAB,平面BCD,ZADB=60°,E,F别离是AC,AD上的动点，且差=盖=入(0人1).(1)求证：不论K为何值，总有平而BEF_L平面ABC：(2)当入为何值时，平面BEF_L平面ACD.(1)证明：:AB_L平面BCD，二AB±CD.CD±BCffiABABC=B,/.CD_L平面ABC.不论入为何值，恒有EFCD.EF_L平面ABC,EFU平面BEF.不论X为何值恒有平面BEF平面ABC.BEJL平面 ACD.A BE±AC.解：由知,BE_LEF.平面BEF_L平面ACDQ/BC=CD=1,ZBCD=90°zZADB

9、=60°,BD二正,AB=V2tan600二小.：.acTab2+Be?=近6AE6由AB2=AEAC，彳导AE二不,人二不二故当入二号时，平面BEF_L平面ACD.(2021江宁高中期中)如图，直三棱柱ABCAiBiG中，D、E别离是棱BC、AB的中点，点F在棱CG上，已知AB=AC,AA】=3,BC=CF=2.(1)求证：GE平面ADF：(2)设点M在棱BBi上，当BM为何值时，平面CAML平面ADF?(1)证明：港吉CE交AD于O,连结OF.因为CE,AD为ABC中线z因此O为AABC的重心，=CE=y从而0F(Z，(2)解：当BM=1时，平面CAM_L平面ADF.在直三棱柱A

10、BC-AjBiCi中，由于BiBJ_平面ABC,BB】CZ平面BiBCG,因此平面BBCG，平面ABC.由于AB二ACQ是BC中点，因此ADJ_BC又平面B|BCC】n平面ABC二BC,因此ADL平面&BCG而CMU平面&BCG,于是AD_LCM,因为BM=CD=1rBC=CF=2,因此RBCBlvaR0FCD,因止匕CM_1DF,DF与AD相交，因此CMJ_平面_L平面CAM,因此平面CAM_L平面ADF.当BM=1时，平面CAM，平面ADF.题在3并行垂直的嫁合间致例3如图，E、F别离是直角三角形ABC边AB和AC的中点，NB=90°,沿EF将三角形ABC折成如图

11、所示的锐二而角AFFB,假设M为线段AC中点.求证：(1)直线FM平面AiEB；(2)平面AFC,平面AiBC.证明：(1)取AN中点N,连结NE、NM,那么MNJbC,EFBC,因此MN二FE,因此四边形MNEF为平行四边形，因此FMEN,因为FM平面AiEB,EN(Z平面AiEB,因此直线FM平面AiEB.(2)因为E、F别离为AB和AC的中点，因此AiF=FC,因此FM_LAC.同理，EN±AiB.由知,FMIIEN,因此FMJ_AB因为AiCAAiB二A1，因此FNU平面AFC.因为FMU平面AiFC,因此平面AiFCJ_平面AiBC.备透咬式(敖师专家)如图，E、F别离是直

12、角三角形ABC边AB和AC的中点，ZB=90°,沿EF将三假设M为线段AC的中点.求证:角形ABC折成如图所示的锐二面角AiEFB,(1)直线FM平面AEB；(2)平面AiFC_L平面AiBC.证明：(1)取A】B中点N，连结NE、NM,那么MN=：BC,EF=|bC,因此MN=FE,因此四边形MNEF为平行四边形，因此FMEN.又FM平面AjEB,ENU平面A】EB,因此直线FM平面AjEB.(2)因为E、F别离为AB和AC的中点，因此AF二FC,因此FMJ_AQ同理，ENA】B,由知FMEN,因此FMLAiB,又ACAAiB/Ai,因此FM_L平面A】BC.因为FM(Z平面AiF

13、Cf因此平面AFC,平面A)BC.<答题模板【例如】(此题模拟高考评分标幅，总分值14分)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB=2EF=2,EFAB,EF，FB,ZBFC=90°,BF=FC,G、H别离为DC、BC的中点.(1)求证：平而FGH平面BDE：(2)求证：平面ACFJ_平面BDE.学生错解：证明：(1)如图，设AC与BD交于点0,连结OE、OH.由已知EF=(AB,得EFAB.V0H%B,:.EF=OH,：.四边形OEFH为平行四边形，,FH/7EO.VG、H别离为DC、BC的中点，AGHDB.，平而FGH平面BDE.(2)由四边形ABCD为正

14、方形，有ABLBC.又EFAB.:.EF_LBC,而EF_LFB,EFJ_平面BFC.VFHU平面BFC,，EF±FH.ABLFH.又BF=FC,H为BC的中点，/.FH±BC>:.FH_L平面ABCD.，FHLAC,又FHEO,:.AC±EO.又ACJ_BD,:.AC_L平面BDE.又AC(Z平而ACF,A平而ACF_L平面BDE.审题引导：(1)探讨求解进程的关键是弄清线线平行线面平行面面平行；线线垂直线面垂直面面垂直；不要跳步造成错误,如本例(1),易显现由线线平行直接推得面面平行,从而致使证明进程错误.(2)正确明白得运用线线、线面、面面的平行、垂直

15、关系的判定定理和性质定理，专门注意将条件写完整，不可遗漏，如本例在证明线、面垂直时，没有指出线线相交，就直接写出线面垂直，造成致使证明进程不严谨.标准解答：证明：(1)如图，设AC与BD交于点O,连结OE、OH,由已知EF=；AB,得EF:AB.(2分)V0H二;AB,:.EF=OH,：.四边形OEFH为平行四边形，FHEO.(4分)/FH平面BDE,E0平面BDE,，FH平而BDE.丁G、H别离为DC、BC的中点，AGH/7DB./GHg平面BDE,DB(Z平面BDE,，GH平面BDE.又FHAGH=H,/.平面FGH平面BDE.(6分)(2)由四边形ABCD为正方形，有ABLBC又EFAB

16、,AEF_LBC,(8分)而EF_LFB.BCAFB=B.:.EF_L平而BFCFH(Z平面BFC,，EF_LFH.(10分)/.AB±FH,又BF=FC,H为BC的中点，/.FH±BC>ABGBC=B,:.FHJ_平而ABCD.JFH±AC,又FHEO,:.AC_LEO,(12分)又ACLBD,EOABD=O,:.AC_L平而BDE.又AC(Z平而ACF,平而ACF_L平面BDE.(14分)错因分析:证明两平面平行、垂直关系时必然要正确运用两平面平行或垂直的判定定理,并将相应的条件写全.此题直接由线线平行推得面面平行，不符合面面平行的判定定理,致使证明进程

17、不严谨.（2）在证明线、面垂直时，没有指出相交的条件；致使证题进程不正确.新题推荐_1 .（2021-常州调研）给出以下命题： 假设一个平面通过另一个平面的垂线，那么这两个平面彼此垂直：假设一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面彼此平行： 假设两条平行直线中的一条垂直于直线m,那么另一条直线也与直线m垂直； 假设两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中，真命题是.（填序号）答案：解析：由面面垂直的判定定理可得假设一个平面通过另一个平面的垂线，那么这两个平面彼此垂直，故正确；若是一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面彼此平

18、行，但两条直线平行时，得不到平面平行，故错误；依照空间直线夹角的概念，可得两条平行直线与第三条直线的夹角相等，故假设两条平行直线中的一条垂直于直线m,那么另一条直线也与直线m垂直，即正确；依照面面垂直的性质定理，假设两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线垂直的直线与另一个平面也垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直,故正确.因此真命题是.2 .以下命题错误的选项是.（填序号）若是平面aJ平而B，那么平面a内必然存在直线平行于平而伙若是平而a不垂直于平面0.那么平面a内必然不存在直线垂直于平面供若是平面aJ平而y,平面平而Y，aC。=1,那么1_L平而丫：若是平面aJ

19、_平而。，那么平面a内所有直线都垂直于平而隹答案：3 .如下图，在四棱锥PABCD中，PAJ_底而AbCD,且底而各边都相等，M是PC上的一动点，当点M知足时，平面MBD_L平而PCD.（只要填写一个你以为是正确的条件即可）答案：口21_1（2（或8乂_1（2等）解析：由已知条件可知,BD±PC.当DM_LPC（或BM_LPC）时，即有PC_L平面MBD.而PC属于平面PCD，.二平面MBD_L平面PCD.4 .如图，在等腰梯形ABCD中，ADBC,AB=AD,ZABC=60°,E是BC的中点.如图，将4ABE沿AE折起，使二面角BAEC成直二而角，连结BC、BD,F是CD

20、的中点，P是棱BC的中点.求证：（1）AE±BD：5 2）平面PEF_L平而AECD.BD图图证明：(1)取AE中点M,连结BM、DM、DE./在等腰梯形ABCD中，ADIIBC,AB=AD,zABC=60°zE是BC的中点，.二ABE与AADE都碧边三角形，BM±AEfDM±AE.VBMflDM=M,BMrDMC平面BDM,/.AE_L平面BDM.VBD(Z平面BDM,AE±BD.(2)连结CM交EF于点N,连结PN.MEIIFC且ME=FCJ四边形MECF是平行四边形JN是线段CM的中点MP是线段BC的中点，,PNIIBM/BM_L平面AE

21、CDPN_L平面AECD,丁PN(Z平面PEF，.二平面PEF_L平面AECD.5.如图，在直四棱柱ABCDAB】GD中，底面ABCD为等腰梯形，ABCD,且AB=2CD,在棱AB上是不是存在一点F,使平面CCF平面ADDA门假设存在，求点F的位置：假设不存在，请说明理由.解：存在如此的点F,使平面CCFII平面ADDA，现在点F为AB的中点，证明如下：/ABIICD,AB=2CDJAF触CD四边形AFCD是平行四边形.，ADCF.又ADC平面ADDAi,CF,平面ADD】Ai,:CFII平面ADDiAi.又CCiHDDi,CCi,平面ADDiAi,DDi(Z平面ADDiAiCC】II平面AD

22、DiAi.又CG、CF(Z平面CCF,CGnCF=C,平面GCFII平面ADDiAi.一睹品题库(教帅g亨)L在如下图的多而体中，已知正三棱柱ABCAliG的所有棱长均为2,四边形ABDC是菱形.(1)求证：平而ADCil.平面BCC】B；(2)求该多而体的体积.(1)证明：由正三棱柱ABCAiBiG,得BBiJ_AD.而四边形ABDC是菱形，因此ADLBC又BBC平面BBCC,BC(Z平面BBCC,且BCHBBi=B，因此AD_L平面BCCiBj.又由ADCZ平面ADG,得平面ADC平面BCCiBi.(2)解：因为正三棱柱ABCAiBiG的体积为Vi=S.abcXAAi=23,四棱锥DB.C

23、iCB的体积为Vz=1s平面BCCBX(；AD)二,因此该多面体的体积为V二呼.2.如图，正方形ABCD和三角形ACE所在的平而相互垂直.EFBD,AB=>EF.求(1)BF平面ACE；(2)BF±BD.证明：(1)AC与BD交于O点，连结EO.正方形ABCD中，V2BO=AB,又因为AB二立EF,BO=EF,又因为EF/BD，,二EFBO是平行四边形BFIIEO,又丁BF平面ACE,EOU平面ACE,：.BFII平面ACE.正方形ABCD中,AC±BD,又因为正方形ABCD和三角形ACE所在的平面相互BD(Z平面ABCD,平面ABCDCI平面ACE=AC，,tBDJ_平面ACE,EO(Z平面BD±EOEOIIBF,BF±BD.3 .如图，在正三棱柱ABCDEF中，AB=2,人口=是CF的延长线上一点，FP=t.过A、B、P三点的平而交FD于M,交FE于N.(1)求证：MN平面CDE；(2)当平面PAB,平面CDE时，求t的值.(1)证明：因为ABDE,AB在平面FDE外，因此AB平面FDE,又MN是平面PAB与平面FDE的交线，因此ABMN,故MNDE.因为MN平面CDE,DEU平面CDE,因此MN平面CDE.(2)解：取AB中点G、DE中点H,连结GH,那么由GHPC知P、C、G、H在同一平面上，而且由PA二PB知6，