几何概型精准培优专练

1、培优点十九几何概型31.长度类几何概型例1:已知函数f5,5 ,在定义域内任取一点x0 ,使f 50的概率A. -10B.C.310D.-5先解出xo0时%的取值范围：x1 22,从而在数轴上1,2区间长度占 5,5区间长度的比例即为事件发生的概率,C.3 P 1 ,故选102.面积类几何概型（1）图形类几何概型例2-1 ：如图所示，在矩形 ABCD中，AB 2a, AD a ,图中阴影部分是以 AB为直径的 半圆，现在向矩形 ABCD内随机撒4000粒豆子（豆子的大小忽略不计），根据你所学的概率 统计知识，下列四个选项中最有可能落在阴影部分内的豆子数目是（A. 1000B. 2000D. 4

2、000【解析】在矩形ABCD中，AB故由几何概型可知，半圆所占比例为一,随机撒4000粒豆子, 4落在阴影部分内的豆子数目大约为3000,故选 C.（2）线性规划类几何概型例2-2:甲乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定他们在一昼夜的时间段中随机地到C. 3达，试求这两艘船中至少有一艘在停泊位时必须等待的概率（D.工【答案】D【解析】设甲船到达的时间为 x,乙船到达的时间为 y,0 x 24则所有基本事件构成的区域n满足0 y 24,这两艘船中至少有一艘在停泊位时必须等待包含的基本事件构成的区域0A满足02424,6作出对应的平面区域如图所示:甲加到运时间I乙船到L*时间t这两艘船中至少有

3、一艘在停泊位时必须等待的概率为18 1824 24716，故选D.3.体积类几何概型例3: 一个多面体的直观图和三视图所示，M是AB的中点，一只蝴蝶在几何体ADFBCE内自由飞翔,左视圄壬偷）视留由它飞入几何体 F AMCD内的概率为（A. 34B.-3C.D.-2所求概率为棱锥AMCD的体积与棱柱ADF BCE体积的比值.由三视图可得AD DFCDCD两两垂直,可得VaDF BCESadfDC1-AD DF 2A. 23B.-3C. 83D.无法计算设阴影区域的面积为-.故选C.32.某景区在开放时间内，每个整点时会有一趟观光车从景区入口发车，某人上午到达景区入口，准备乘坐观光车，则他等待时

4、间不多于10分钟的概率为（A.工10B.C.-5由题意，此人在50分到整点之间的10分钟内到达，等待时间不多于10分钟,，概率P60 6 故选B.1_ 1_3 2梭锥体机Vfamcd DFSadmc,而SadcmADAMCD a,3241 2VF AMCD1VF AMCD -a .从而P 15 故选D.4VADF BCE2,对点增分集训、单选题1 .如图，边长为2的正方形中有一阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区2 一，域内的概率为3 .则阴影区域的面积约为（452的区域内的概率为（A. 1亚63B. .4C 3 C. 61 D.3. 一只蚂蚁在边长为 4的正三角形区域内随机爬行，

5、则它在离三个顶点距离都大于【解析】满足条件的正三角形如图所示:A其中正三角形ABC的面积SL角形 16 4734满足到正三角形ABC的顶点A , B, C的距离都小于2的平面区域如图中阴影部分所示,则 2 ,则使取到的点到三个顶点A , B , C的距离都大于2的概率为:111，1 .故选A 4.3624.在区间0,1上随机取两个数X, y,记P为事件x y 的概率，则P3A.B. 12C. 49D.【解析】如图所示,0 x 1, 0 y 1表示的平面区域为 ABCD,平面区域内满足x2y 2的部分为阴影部分的区域APQ，其中20,3，结合几何概型计算公式可得满足题意的概率值为12 22 3

6、3 1Q4D.5.在区间0,2上随机取一个数,sin； x的值介于一 1 、0到1之间的概率为（2A. 13B.-C.D.1sin -x 一，得 022t己 Asin -x2的值介于。到1之间,则构成事件A的区域长度为全部结果的区域0,2长度为2;1，3故选A.6 .点P在边长为的正方形ABCD内运动,则动点 P到定点A的距离| PA 1的概率为【解析】满足条件的正方形 ABCD,如图所示:I)其中满足动点P到定点A的距离|PA 1的平面区域如图中阴影部分所示,则正方形的面积81,阴影部分的面积随14.11、Sb% .故动点P到定点A的距离PA 1的概率P 二.故选C.Se 47.已知实数x2

7、,30，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于103的概率为（）x=2i+lA.B.C.1414D.【答案】B【解析】设实数x2,30 ,经过第一次循环得到经过第二次循环得到2x 113;经过第三次循环得到2 2x 1输出的值为8x 7,令 8x 7 103 得 x由几何概型概率得到输出的x不小于103的概率为P 30二230 2,故选B.148 .九章算术中有如下问题:“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子,则豆子落在其内切圆外的概率是（A. 215B.20C.215D.

8、 1320【解析】直角三角形的斜边长为,52 12213 ，设内切圆的半径为r ,则5 r12解得2,，内切圆的面积为豆子落在其内切圆外部的概率是4P 1 -1 5 122215 ,故选C.9 .把不超过实数x的最大整数记为x称作取整函数，又叫高斯函数,在1,4上任取x ,则x 后的概率为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】当x 1,2时，则#x 1 ,满足x 必；当 x2,3 时，x2 ,72x2,76 ,则 22x 2 ,满足 x 质；当x3,4时，x3,而J6,2J2 ,则 叵 2不满足x V2x;当x 4时，x 4 ,必2隹，则而 2 ,不满足x 必.综上，满足 xJ2x的x 1,3

9、 ,则x 反的概率为当=工，故选D.4 1310.关于圆周率 ，数学发展史上出现过许多有创意的求法，如著名的普丰实验和查理斯实验.受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值：先请120名同学每人随机写下一个x, y都小于1的正实数对 x,y ,再统计其中工”能与1构成钝角三角形三边的数又x, y的个数m ,最后根据统计个数 m估计的值.如果统计结果是 m 34,那么可以估计的值为（A. 227B. 4715C.51D.【解析】由题意,120对都小于1的正实数x, y165317两个数能与1构成钝角三角形的三边的数对 x, y ,220 x 1 一一. 1满足x2y2 1且，面积为1 ,0

10、 y 14 2.统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对x, y的个数为m 34,贝四- 1120 4 247 一.,故选B.1511.为了节省材料,某市下水道井盖的形状如图1所示，其外围是由以正三角形的顶点为圆心，正三角形的边长为半径的三段圆弧组成的曲边三角形，这个曲边三角形称作“菜洛三角形”.现有一颗质量均匀的弹珠落在如图2所示的莱洛三角形内，则弹珠恰好落在三角形ABC内的概率为（c TD 1 y【答案】A【解析】弹珠落在莱洛三角形内的每一个位置是等可能的, 由几何概型的概率计算公式可知所求概率：SA ABC12o2 sin 60 2QuuuiLiuurD ABC1212o 12o3222

11、sin60 2 sin 602 322（SULABLC为莱洛三角形的面积），故选A.12.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成， 三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC ,直角边AB , AC . AABC的三边所围成的区域记为I ,黑色部分记为II ,其余部分记为III .在整个图形中随机取一点，此点取自 I , II ,III的概率分别记为P1 , P2 ,P3 ,则（413C.P2P3D.P1P2P3A P1 P2【答案】AB.P1P3【解析】设AC b, AB c , BCa,则有 b1 2 c2 a2从而可以求得ABC的面积为2bc，黑色部分的面

12、积为S21一 bc22, 22c_ba_4441一 bc22.2c b1bc W241.bc ) .有 SiS22其余部分的面积为S3a216根据面积型几何概型的概率公式，可以得到Pi出,故选A.二、填空题13.在区间0,2内任取一个实数 a ,则使函数f x log 2a i x在0,上为减函数的概率是.【解析】二函数f xlOg 2a 1 X 在 0,上为减函数,一一 11 0 2a 1 1 , a 1,因此所求概率为21 .222 0 42214.记集合A x, y x y 16 ,集合B x, y x y 4 0, x,y A表木的平面区域分别为 1,2.若在区域 1内任取一点P x,

13、 y ,则点P落在区域2中的概率为4-，一 一.f _22_ _ ， 一一、【解析】回出A x,y x y 16表本的区域即图中以原点为圆心，半径为2的圆;集合B x, y x y 4 0, x,y A表示的区域 2,即图中的阴影部分.31由题意可得 S 1 16 , S 16- 4 4 128,2 42 _ S。32根据几何概型概率公式可得所求概率为P片S 1415.任取两个小于 1的正数x、y,若xy、1能作为三角形的三条边长，则它们能构成钝角三角形三条边长的概率是【解析】根据题意可得，三边可以构成三角形的条件为:这三个边正好是钝角三角形的三个边，应满足以下条件:对应的区域如图, 1 ,由

14、圆面积的1为-，直线和区域围成的三角形面积是44则x、y、1能作为三角形的三条边长,则它们能构成钝角三角形三条边长的概率16.父亲节小明给爸爸从网上购买了一双运动鞋,就在父亲节的当天,快递公司给小明打电话话说鞋子已经到达快递公司了，马上可以送到小明家，到达时间为晚上6点到7点之间,小明的爸爸晚上 5点下班之后需要坐公共汽车回家，到家的时间在晚上5点半到6点半之间.求小明的爸爸到家之后就能收到鞋子的概率（快递员把鞋子送到小明家的时候，会把鞋 子放在小明家门口的“丰巢”中）为 【解析】设爸爸到家时间为x，快递员到达时间为 y, 以横坐标表示爸爸到家时间，以纵坐标表示快递送达时间，建立平面直角坐标系, 爸爸到家之后就能收到鞋子的事件构成区域如下