三角形重心、外心、垂心、内心的向量表示及其性质

1、文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持 三角形“四心”向量形式的充要条件应用1,。是 ABC 的重心 OA OB OC 0；1若 o是 abc 的重心，则 S BOC S AOC i S AOB 了 S AB C 故 OA OB OC 0 P1- ( PPP)G 为 ABC 的重心.3tan A : tan B : tan C2. o是 abc 的垂心 Oa Ob Ob Oc OC OA ； 若O是ABC （非直角三角形）的垂心，则S BOC ： S aoc ： S AOB故tan AOA tan BOB tan COC 0 ，2 2 23. O是 ABC 的外心 |OA

2、| |OB| |OC|(或OA OB OC )sin2A : sin2B : sin2CO-CB )0| CB |若 O是 ABC 的外心则 S BOC： S AOC： S AOB sin BOC：sin AOC：sin AOB故 sin2AOA sin 2BOB sin 2COC 0AB AC BA BCOA ( ) OB (,)4. O是内心 ABC的充要条件是 iab | ac|BA | |BC |引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记 AB,BC,CA的单位向量为e1,e2,e3 ,则刚才O是ABC内心的充要条件可以写成0A(e1e3)OB(e1e2)OC(e2e3)0, O是ABC内

3、心的充要条件也可以是aOA bOB cOC 0 。若 O是 ABC的内心，则BOCS AOC ： S AOB a ： b ： c故 aOA bOB cOC M sin A OA| AB| PC |BC| PA |cA| PB 0 P 是sin BOB sin COC 0;ABC的内心;0）所在直线过T向量（叫 | AB| |分线所在直线）；（一）将平面向量与三角形内心结合考查ABC的内心（是 BAC的角平.O是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的动点POP OAAB AC(同向0,则P点的轨迹一定通过 ABC的（(A)外心（B）内心（C）重心（D）垂心解析：因为 簿是向量AB的单位向量设

4、 W与g 方向上的单位向量分别为 AB文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持OP OA AP ,则原式可化为 AP（e e2）,由菱形的基本性质知 AP平分 BAC ,那么在ABC 中，AP平分 BAC ,则知选B.（二）将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”例2.H是 ABC所在平面内任一点，hA hb hb hc hc hA 点H是 ABC的垂心.由 HAHBHBHC HB (HC HA) 0 HB AC 0 HB AC ,（反之亦然（证略）同理HC AB , hA bC .故H是 ABC勺垂心.例3.（湖南）P是ABCff在平面上一点，若 PA PB PB PC

5、 PC PA,则P是ABC勺（D ）A.外心B.内心C.重心D.垂心解析：由 PA PB PB 玩得PA PB PB PC 0 .即 PB（PA PC） 0,即PB CA 0则PB CA,同理PA BC,PC AB 所以P为 ABC的垂心.故选D.（三）将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”例4.G是 ABC所在平面内一点，ga gb GC=0 点G是4ABC的重心.证明 作图如右，图中gb GC GE连结BE和CE则CE=GB BE=GC BGC划平行四边形D是BC的中点，AD为BC边上的中线.将 GB GC GE” 代入 gA GB GC =0,得GA EG =0 Ga GE 2GD

6、,故G是 ABC勺重心.（反之亦然（证略）例5.P是 ABC所在平面内任一点.G是AABC的重心PG 1 （pa PB PC）.3*+.，.IJ工曰，丁J” 一证明 PG PA AG PB BG PC CG 3PG （AG BG CG） （PA PB PC）. G是 ABC的重心 GA GB GC=0 AG BG CG =0,即 3PG PA PB PC由此可得PG 1（PA PB PC）.（反之亦然（证略）3例6若。为 ABC内一点，OA OB OC 0 ,则。是 ABC的（）A.内心心B.外心D.重解析：由,如图以OBOC为相邻两边构作平行四边形，则-2 -文档收集于互联网，已整理，wor

7、d版本可编辑.文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.OA 2 OE,同理可证其它两边上的这个性oB oC oD,由平行四边形性质知质，所以是重心，选d （四）将平面向量与三角形外心结合考查例7若O为 ABC内一点，oA ,OB. ,OC,则。是 ABC 的（A.内心B .外心C .垂心D .重心解析：由向量模的定义知 O到ABC的三顶点距离相等。故 O是 ABC的外心 ，选B。 （五）将平面向量与三角形四心结合考查例 8.已知向量OP1,OP2,OP3满足条件OP1+OP2+OP3=o, |OP11=|o|=|o瓦|=1,求证 PiP2P3是正三角形.（数学第一册（下）

8、，复习参考题五B组第6题）1证明 由已知OPi +OP2 =- OP3 ,两边平万得 OPi OP2 =,2 1同理 OP2 OP3 =OP3 - OPi =-,2|PiP2| = |P2P；| = |P3PI|=V3,从而PiP2P3 是正三角形.反之，若点O是正三角形 PiP2P3的中心，则显然有OPi +OP2 +OP3 =0且| OPi |=| OP21=| OP31.即O是 ABCT在平面内一点,op； + op2 +op3=0 且| op1|=| op； |=| op； | 点 O是正 PiP2P3 的中心.例9.在 ABC中，已知Q G H分别是三角形的外心、重心、垂心。求证：

9、Q G H三点共 线，且 QG:GH=i:2【证明】：以A为原点，AB所在的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系。设 A（0,0）、B （xi,0）、C（X2,y 2） , D E、F分别为 AB BC AC的中点,则有：X，D (a,0)、2xi x2G(-23_ xi x2y 2)AH3x2 y2F(V，oT (X2,y4)QF (y 22）由题设可设Q （无2x；xi y；、( ,vy；)222y 3)、yH (x；,y4),即QH，故Q G H三点共线，且QG GH=i：例io.若 O、H分别是 ABC的外心和垂心.求证 F.OH OA OB OC .证明 若AABC的垂心为H,外心为

10、O,如图.连BO并延长交外接圆于D,连结AD CDAD AB , CD BC .又垂心为 H, AH BC , CH AB , .AH/ CD CH/ AD四边形AHCM平行四边形,/. AH DC DO OC ,故 OH OA AH OA OB OC .著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”一一外心、重心、垂心的位置关系：（i）三角形的外心、重心、垂心三点共线一一“欧拉线”；（2）三角形的重心在“欧拉线”上，且为外一一垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距-13 -文档收集于互联网，已整理，word版本可编辑.离是重心到外心距离的2倍。“欧拉定理”的向量形式显得特别简单，可简化成如下的

11、向量问题例11. 设Q GH分别是锐角 ABC的外心、重心、垂心.求证 OG - OH3证明按重心定理G是 ABC的重心 oG ?oA OB OC)按垂心定理OHOA OB OC由此可得OG “H.“重心”的向量风采0,则G是 ABC的重心.如图【命题11 G是AABC所在平面上白一点，若 GA GB GC(1).【命题OP OA图2】 已知。是平面上一定点,图A B, C是平面上不共线的三个点，动点 P满足(0,)，则P的轨迹一定通过 ABC的重心.当 (0,)时，由于IB)表示BC边上的中线所在直线的向量,二、“垂心”所以动点P的轨迹一定通过 ABC的重心，如图. 的向量风采【命题3】PM

12、 AABC所在平面上一点，若 PA PB PB PC PC PA,则P是 ABC的垂心.【解析】 iIH , TPC AB ,由 pa PB PB PC,得 PB(PA PC) o,即点 CA【命题4】OP oApA BC. P是 ABC的垂心.如图.图已知。是平面上一定点，A图B, C是平面上不共线的三个点，动点P满足iC ，(0,I ACicosC),则动点P的轨迹一定通过 4ABC的垂心.【解析】由题意APcosBAC cosCbC0 ,cosBcosC0,所以点表示垂直于IC的向量，即P点在过点A且垂直于BC的直线上，所以动点P的轨迹一定通过4ABC的垂心，如图.“内心”的向量风采【命

13、题5】 已知I为 ABC所在平面上的一点，且ABAC b , BC a .若C0,AAABACAbcAACA分别为方向上的单位向量,AACAAcIC 0,则I是 ABC的内心.B与工【解析】旧1做.砥，IaAI a b c.F与/BAC平分线共线，即AI平分 BAC.同理可证：BI平分 ABC, CI平分 ACB ,从而I是4ABC的内心，如图.【命题6】已知。是平面上一定点,A B, C是平面上不共线的三个点，动点P满足(0,),则动点P的轨迹一定通过 ABC的内心.ABAC【解析】由题意得aP当(0,)时，aP表示 BAC的平分线所在直线方向的向量，故动点P的轨迹一定通过 ABC的内心,如

14、图.四、“外心”的向量风采【命题7】已知。是 ABC所在平面上一点，若OAOB OC ,则。是 ABC的外心.图【解析】2OB外心，如图。【命题7 已知O是平面上的一定点,A B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP OB OCAC cosCB(0,),则动点P的轨迹一定通过 ABC的外心。【解析】 由于OB OC过BC的中点,当 (0,)时,表示垂直于B的向量(注意：理由见二、4条解释),所以P在BC垂直平分线上，动点P的轨迹一定通过 ABC的外心，如图。补充练习1.已知A、B、C是平面上不共线的三点,。是三角形ABC的重心，动点P满足OP=- ( -OA + -OB+2OC),则点 3

15、22P一定为三角形ABC的A.AB边中线的中点C.重心B.D.AB边中线的三等分点(非重心)AB边的中点1. B取AB边的中点 M,则OAOB 2OM ,由 OP3OP 3OM 2MC ,MP 2MC3点P不过重心，故选B.,即点P为三角形中1 - 1 1 =(一 OA + OB +2 OC )可行322AB边上的中线的一个三等分点，且2.在同一个平面上有 ABC及一点O满足关系式:AB2,则O为 ABC的外心B 内心重心 D 垂心2.已知 ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足：PA PB PC 0,则P为ABC的A3.C外心B 内心已知。是平面上C定点,重心 D 垂心A、B、C是平面

16、上不共线的三个点，动点P满足:OP OA (AB AC),则P的轨迹一定通过 ABC的A 外心B 内心 C 重心 D 垂心4.,已知 ABC P为三角形?PC PA?PB PB?PCPA?A 外心P为三角形所在平面上的动点，且动点 P满足:B 内心 C0 ,则P点为三角形的重心 D 垂心5.已知 ABC P为三角形所在平面上的一点，且点 P满足：a 为三角形的PB c?PC 0 ,外心B 内心 C重心6.在三角形ABC中，动点P满足:2CAB )外心B 内心 C重心垂心 2CB 2AB?CP,则 P点轨迹一定通过 ABC的:垂心一 一 ab AC 一7.已知非零向量ABWAC商足(+) BC=

17、0且aBaC i|AB| |AC|则4ABC为()D.等边三角形A.三边均不相等的三角形B.直角三角形 C.等腰非等边三角形解析：非零向量与满足) =0,即角 A的平分线垂直 |/ AB (| AB| |于 BC,AB=AC,又cosA/A=_,所以 ABC为等边三角形，选D. 39.点。是(A)(0三个内角的角平分线的交点 三条中线的交点(B)三条边的垂直平分线的交点(D)三条高的交点OB OC),则实数m二8. ABC的外接圆的圆心为。，两条边上的高的交点为 H, OH m(OAABC所在平面内的一点，满足 OA OB OB OC OC OA ,贝U点。是 ABC的(B )10.如图1,已

18、知点G是ABC的重心，过G乍直线与AB, AC两边分别交于M N两点，且M xAB ,O,。又M, N, G三点共线(A不在直线MN于是存在，使得aG aM(且1),有aG1、课前练习21.1 已知。是 ABC内的一点，若OAA、重心B 、垂心 22OB OC ,则。是4ABC的、外心 D 、内心1.2 在 ABC 中，有命题 AB AC BC ; AB BC CA 0 ;若 AB AC ? AB AC 0,则ABCJ等腰三角形；若AB?AC 0 ,则 ABC为锐角三角形，上述命题中正确的是AB 、例1、已知 ABC中，有1ABlACAB AC?BC 0 和当？ECABAC二，试判断 ABC的

19、形状。2练习1、已知 ABC中,AB a , BC b, B是4ABC中的最大角，若a?b 0,试判断 ABC 的形状。4、运用向量等式实数互化解与三角形有关的向量问题 .2. 2. 2. 2. 2. 2例2、已知O是 ABC所在平面内的一点，满足 OA|bc|oB |acCC网，则。是 ABC的A、重心B 、垂心 C 、外心 D 、内心5、运用向量等式图形化解与三角形有关的向量问题例3、已知P是 ABC所在平面内的一动点，且点 P满足OP OAAB ACAB AC0,则动点P一定过 ABC的A、重心B 、垂心 C 、外心 D 、内心练习2、已知。为平面内一点，A、B、C平面上不共线的三点，动点P满足 1 OP OAAB